1、空间的角和距离A一、知识梳理1异面直线所成的角：（1）定义：过空间上一点P（注意取图形中的特殊点）作、，则与所成的锐角或直角就叫做异面直线所成的角范围。（2）范围：（3）求法：平移法：向量法：两直线所在的向量的夹角，异面直线所成的角与夹角相等或互补。2直线与平面所成的角：（1）定义：若直线是平面的斜线，其求法是：找出直线在平面内的射影，则锐角就是直线与平面所成的角。若或，则直线与平面所成的角为；若，则直线与平面所成的角为；（2）范围：（3）求法：定义法；向量法：找出射影，求线线角；求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为,则.3二面角：（1）、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引
2、棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。（注意二面角的五个条件）（2）、三垂线定理及逆定理法（选学内容）：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。（3）、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。（4）、投影法：利用s投影面=s被投影面这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题（5）、异面直线距离法：EF2=m2+n2+d22mn（6）、向量法：设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有（图1
3、）或 （图2）ll图1 图2 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角具体情况要根据题中所成二面角的大小来确定,向量求出的二面角是一个重要的参考值.4空间的距离（A）点到平面的距离求法：（1）直接法：过点作平面的垂线，垂足，则是点到平面的距离；（2）等体积法：利用三棱锥的体积相等，求点到平面的距离。（3）转移法：（4）向量法：点M到面的距离cos（就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.由cos 得距离公式： （B）线面距离，面面距离可以转化为点到平面的距离求法二、题型探究探究一 线线角例1：如图1，在三棱锥SABC中，求异面直线SC与AB所成角的余弦值。 图1 图2
4、 解法1：用公式当直线AB平面，AB与所成的角为，l是内的一条直线，l与AB在内的射影所成的角为，则异面直线l与AB所成的角满足。以此为据求解， 由题意，知平面ABC，由三垂线定理，知，所以平面SAC。因为，由勾股定理，得 。在中，在中，。设SC与AB所成角为，则，解法2：平移过点C作CD/BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则是异面直线SC与AB所成的角，又四边形ABCD是平行四边形。由勾股定理，得：。在中，由余弦定理，得：。点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；（2）证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（
5、常用余弦定理），求出所构造角的度数题型二 线面角（1）直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1 （ 如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，SBA=45, SBC=60, M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。解:（1） SCSB,SCSA, 图1SC平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面SAB上的射影， SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60。（2） 连结SM,CM，则SM
6、AB,又SCAB,AB平面SCM,面ABC面SCM过S作SHCM于H, 则SH平面ABCCH即为 SC 在面ABC内的射影。 SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin SCH=SHSCSC与平面ABC所成的角的正弦值为77（“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）（2）. 利用公式sin=h其中是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线
7、段的长。例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的角。解：设点 B 到AB1C1D的距离为h,VBAB1C1=VABB1C113 SAB1C1h= 13 SBB1C1AB，易得h=125 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为,则sin=hAB=45 图2AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 45 （3）. 利用公式cos=cos1cos2 （如图3） 若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面内的射影，OC为面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角， 图31为OA与OB所成的角，即线面
8、角，2为OB与OC所成的角，那么 cos=cos1cos2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60, ，求直线OA 与 面OBC所成的角的余弦值。解：AOB=AOC OA 在面OBC 内的射影在BOC 的平分线OD上，则AOD即为OA与面OBC所成的角，可知 DOC=30 ,cosAOC=cosAODcosDOC cos60=cosAODcos30 cosAOD= 33 OA 与 面OBC所成的角的余弦值为33。 图4（4）向量法：找出射影，求线线角；求出
9、平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为,则.题型探究三：二面角：例4（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（）问7分，（）问6分）如题（18）图，在五面体中，四边形为平行四边形，平面，求：二面角的平面角的正切值解法一:由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，为二面角的平面角，记为.在中, ,由得,从而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值为.解法二: 如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设，因四边形为平行四边形,则可设, .由得,解得.即.故由,因,故为二面角的平面角，又,所以点评：线面距离往往转
10、化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。题型探究四：空间距离三、方法提升：1转化思想： 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形 2求角的三个步骤：一猜,二证,三算猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证3二面角的平面角的主要作法：定义 三垂线定义 垂面法四、 反思感悟： 五、课时作业：一、填空题1如图，直线a、b相交与点O且a、b成600，过点O 与a、b都成600角的直线有（ C ）A1 条 B2条 C3条 D4条2（江苏理）正三棱锥P-ABC高为2，
11、侧棱与底面所成角为，则点 到侧面的距离是（ B ）A B C6 D3（全国理）如图，正四棱柱中，则异面直线所成角的余弦值为（ D ）A B C D4已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于5（四川理）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 6在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1， E、F分别为BC与A1D1的中点， (1) 求直线A1C与DE所成的角；(2) 求直线AD与平面B1EDF所成的角；(3) 求面B1EDF 与 面ABCD所成的角。 (1)如图，在平面ABCD内，过C作CP/DE
12、交直线AD于P，则（或补角）为异面直线A1C与DE所成的角。在中，易得，由余弦定理得。O故异面直线A1C与DE所成的角为。（2）， AD在面B1EDF内的射影在EDF的平分线上。而B1EDF是菱形，DB1为EDF的平分线。故直线AD与面B1EDF所成的角为ADB1在RtB1AD中，则。（3）连结EF、B1D，交于点O，显然O为B1D的中点，从而O为正方体ABCDA1B1C1D1的中心，作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心。再作HMDE，垂足为M ，连结OM，则OMDE（三垂线定理），故OMH为二面角B1-DE-A的平面角。在RtDOE中，则由面积关系得。在RtOHM中。7如图，在Rt
13、中，斜边AB=4Rt可以通过Rt以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角动点D的斜边AB上（I）求证：平面COD平面AOB；（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；（III）求CD与平面AOB所成角的最大值解法一：（I）由题意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角在中，又 在中，（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且当最小时，最大，这时，垂足为，与平面所成角的最大值为解法二：（I）同解法一（II）建立空间直角坐标系，如图，则，（III）同解法一【变式】如右下图,在
14、长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2 E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1(1) 求二面角CDEC1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),故设向量与平面C1DE垂直，则有（II）设EC1与FD1所成角为，则8.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（）求证：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大小；分析：本小题主要考查直线与
15、平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解答：解法一：（）取中点，连结为正三角形，正三棱柱中，平面平面，ABCDOF平面连结，在正方形中，分别为的中点， ， 在正方形中， 平面（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面，为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又， （）中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由得， 点到平面的距离为解法二：（）取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面， 平面取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，xzABCDOFy， ， 平面（）设平面的法向量为， 令得为平面的一个
16、法向量由（）知平面， 为平面的法向量，【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。【变式】在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。（1）求证：AB平面BCD（2）求异面直线BC与AD所成的角。解：(1)在梯形ABCD中,AD=2，又平面ACD，故又，且平面BCD（2）因为BA=BC，为AC中点，取CD中点E，AB中点F，连结OE、OF、EF，则OE/AD，OF/BC，所以AD与BC所成的角为或其补角
17、.作FH/BO交AC于H，连结HE, 则FH平面ACD在三角形EOF中，又，EO=1由余弦定理知故异面直线BC与AD所成的角为【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。9.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA面ABCD，PAABa，E为BC中点.（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小解：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，PA平面ABCD， ADPA、AB, PAAB=ADA平面BPA于A, 过A作AOPF于O，连结OD,则AOD即为平面PD
18、E与平面PAD所成二面角的平面角。得， （2）解法1（面积法）如图ADPA、AB, PAAB=ADA平面BPA于A, 同时BC平面BPA于B,PBA是PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为, cos=SPAB/SPCD=/2 =450 ，即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45。解法2（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，则PQPA、PD，于是APD是两面所成二面角的平面角。 在RtPAD中，PA=AD，则APD=45。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45。【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循
19、一作二证三计算的步骤，但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。10.如图，四面体ABCD中， O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。方法一：（I）证明：连结OC在中，由已知可得而即平面（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线，（III）解：设点E到平面ACD的距离为在中，而点E到平面ACD的距离为方法二：（I）同方法一。（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则（III
20、）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量。又点E到平面ACD的距离【点晴】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。【变式】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN2C1N（）求二面角B1AMN的平面角的余弦值；（）求点B1到平面AMN的距离。解（）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，M（0，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以,因为所以,同法可得。故为二面角AMN的平面角故二面角AMN的平
21、面角的余弦值为。（）设n=(x, y, z)为平面AMN的一个法向量，则由得, 故可取设与n的夹角为a，则。所以到平面AMN的距离为。11.如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求BF的长；（）求点C到平面AEC1F的距离.解法1：（）过E作EH/BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH/AD，且EH=AD.AFEC1，FAD=C1EH. RtADFRtEHC1.DF=C1H=2. （）延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CMAG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理
22、可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.AEC1F为平行四边形，（II）设为面AEC1F的法向量，的夹角为a，则C到平面AEC1F的距离为【点晴】本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，空间距离也遵循一作二证三计算的步骤，但体积法是一种很好的求空间距离的方法，同学们不妨一试。【文】正三棱
23、柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。（1）求点到直线AC的距离.（2）求直线到平面的距离解：（1）连结BD，由三垂线定理可得：，所以就是点到直线AC的距离。BACD在中（2）因为AC与平面BD交于的中点，设，则/DE，所以/平面，所以到平面BD的距离等于点到平面BD的距离，等于点到平面BD的距离，也就等于三棱锥的高， ，_o_E_A_B_C_D_P_x_y_8_z，即直线到平面BD的距离是【点晴】求空间距离注意三点：1常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法12.如图，在四棱锥PABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD
24、，AB=，BC=1，PA=2， E为PD的中点（）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离解法一：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，2).从而=（，1，0），=（，0，-2）.设与的夹角为，则，AC与PB所成角的余弦值为（） N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x, 0, z),则由NE面PAC可得即化简得即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，解法二：（）设ACBD=O，连O
25、E，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角, 在AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，, 即AC与PB所成角的余弦值为（）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在RtADF中DF=.设N为PF的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC从而NE面PACN点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。13（2009天津卷理）（本小题满分12分）如图，在五面体A
26、BCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=A(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；来源:学科网来源:学科网ZXXK（III）求二面角A-CD-E的余弦值方法一：（）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EPPC，EPAD。由ABAD，可得PCAD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=60。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60（II）证明：因为来源:学*科*网（III）由（I）可得，.
