1、湖南省2016届高考冲刺卷（三）文数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则（ ）A B C D【答案】D考点：复数运算【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2.集合，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：，所以，选C.考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集
2、、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍3.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为，则判断框中应填入的条件为（ ）A B C D【答案】B考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.14
3、.设是等比数列的前项和，若，则（ ）A B C D或【答案】B【解析】试题分析：，选B.考点：等比数列公比5.有四个关于三角函数的命题：或； ；111.Com； .其中真命题是（ ）A B C D【答案】D111.Com考点：命题真假6.若实数满足不等式组,且的最小值等于,则实数的值等于（ ）A B C D 【答案】A【解析】试题分析：三直线交点为，因此直线过点B时取最小值，即，选A.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下
4、，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.如图所示是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为，表面积为，选C.考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.8.若,则,则的值为（ ）A B C D
5、【答案】D考点：二倍角公式，同角三角函数关系9.如图, 有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于轴的直线经过原点向右平行移动, 在移动过程中扫过平面图形的面积为(图中阴影部分), 若函数的大致图象如图, 那么平面图形的形状不可能是（ ）A B C D【答案】C1111考点：函数图像【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.11110.在直角坐标系中, 设是曲线上任意一点, 是曲线在点处的切线, 且交坐标轴
6、于两点, 则以下结论正确的是（ ）A的面积为定值 B的面积有最小值为C的面积有最大值为 D的面积的取值范围是【答案】A【解析】试题分析：设，则,因此的面积为，所以选A.考点：导数几何意义【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.11.已知分别是双曲线的左、右焦点, 点在双曲
7、线右支上, 且为坐标原点), 若,则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A考点：双曲线定义及离心率【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.112.设函数是定义在上的偶函数, 对任意,都有,且当时, 若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根, 则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由得,作出图像如下.关于的方程恰有三个不同的实数根, 就是函数与有三个不同的
8、交点，即，选B.-1考点：函数零点【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，则 【答案】考点：分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.14. 已知,则 【
9、答案】【解析】试题分析：考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.15.某种饮料每箱装听，其中有听合格，听不合格，现质检人员从中随机抽取听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 【答案】考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，
10、常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.16. 如图, 在中, 点在线段上, 且,则 【答案】考点：向量数量积，二倍角公式，余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证
11、明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列中,.（1）求证：是等比数列, 并求的通项公式；（2）数列满足,数列的前项和为,若不等式对一切恒成立, 求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）证明等比数列，一般从定义出发，即证相邻项的比值是一个与项数无关的非零常数，即，由通项得（2）先代入化简得，所以用错位相减法求和，对不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，由于有符号数列，所以分类讨论：若为偶数, 则；若为奇数, 则，因此求交集得的取值范围试题解析：（1）由数列中, ,可得,是首项为,公比为的等比数列,.考点：等比数列定义，错位相减法求和，不等式恒成立【方法
12、点睛】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列；(2)等比中项法：在数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列；(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列.18.（本小题满分12分）某城市随机抽取一个月(天) 的空
13、气质量指数监测数据, 统计结果如下：空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数（1）根据以上数据估计该城市这天空气质量指数的平均值；（2）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失(单位：元) 与空气质量指数(记为)的关系式为,若在本月天中随机抽取一天,试估计该天经济损失大于元且不超过元的概率.【答案】（1）（2）试题解析：（1）该城市这天空气质量指数的平均值为.（2）设“在本月天中随机抽取一天,该天经济损失大于元且不超过元” 为事件由得.根据表格数据得共有天, 所以.考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题
14、中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.19.（本小题满分12分）如图, 在三棱锥中, 底面 ,且,点是的中点, 交于点. （1）求证：平面； （2）当时, 求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析（2）试题解析：（1） 底面,面,又因为是的中点, 面由已知平面.(2) 平面,平面,而,又又平面而.考点：线面垂直判定与性质定理，三棱锥体积【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，
15、需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.120. （本小题满分12分）已知双曲线的中心在坐标原点, 焦点在轴上, 离心率,虚轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点,求证：直线过定点, 并求出定点的坐标.【答案】（1）（2）试题解析：（1）设双曲线的标准方程为 , 由已知得又,解得 ,所以双曲线的标准方程为 . （2）设,联立,得,有,以为直径的圆过双曲线的左顶点,即,解得或.当时, 的方程为,直线过定点,与已知矛盾；当时,的方程为,直线过定点,经检验符合已知条件, 所以直线过定点,定点坐标为.考
16、点：双曲线标准方程，直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. （本小题满分12分）设函数.（1）若关于的不等式在为自然对数的底数) 上有实数解, 求实数的取值范围；（2）设,若关于的方程至少有一个解, 求的 最小值；【答案】（1）（2）试题解析：（1）,且当时, 在上有在上单调递增, 得,因为关于的不等式在为自然对数的底数) 上有实数
17、解, ,即,所以实数的取值范围是.111.Com考点：利用导数研究不等式有解问题，利用导数研究方程有解问题【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1
18、：几何证明选讲已知是的外角的平分线, 交的延长线于点,延长交的外接圆于点,连接.（1）求证：；（2）若是外接圆的直径, 求的长.【答案】（1）详见解析（2）6【解析】试题分析：（1）在圆中证明线段线段，一般转化为证角相等，利用四点共圆可得，再根据对顶角相等及同弧所对角相等得，由于是的外角的平分线所以，因此（2）根据直径所对圆周角为直角，可得两个直角三角形，结合条件，先求，再求试题解析：（1）证明：平分,因为四边形内接于圆, 又.（2）是圆的径,在中, 又在中,.考点：四点共圆 123.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为为参数), 曲线的极坐标方程为,直线与曲
19、线交于两点, 与轴交于点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）求的值.【答案】（1）（2）试题解析：（1）利用极坐标公式, 把曲线的极坐标方程化为,所以曲线的普通方程是,即.（2）直线和曲线交于两点, 与轴交于点,把直线的参数方程为参数) 代入曲线的普通方程是中, 得,.考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设.（1）解不等式；（2）若不等式在上恒成立, 求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（2）当时, 由于原不等式在上恒成立, 在上恒成立, 设,易知在上为增函数,.考点：绝对值定义，不等式恒成立问题【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
