1、1二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题目 录题型 01二次函数平移问题题型 02二次函数翻折问题题型 03二次函数对称问题题型 04二次函数旋转问题题型 05二次函数折叠问题题型 01二次函数平移问题1.二次函数的平移变换平移方式(n 0)一般式 y=ax2+bx+c顶点式 y=a(x-h)2+k平移口诀向左平移 n 个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移 n 个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移 n 个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移 n 个单位y=ax2+bx+c
2、-ny=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.1(2023上海杨浦统考一模)已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2-2ax-3 a 0与 x 轴交于点 A、点 B(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，且 AB=42(1)求抛物线的表达式；(2)点 P 是线段 BC 上一点，如果 PAC=45，求点 P 的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，将该抛物线向左平移，点 D 平移至点 E
3、 处，过点 E 作 EF 直线 AP，垂足为点F，如果 tanPEF=12，求平移后抛物线的表达式2(2023广东湛江校考一模)如图 1，抛物线 y=36 x2+4 33x+2 3 与 x 轴交于点 A，B(A 在 B 左边)，与 y 轴交于点 C，连 AC，点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，过点 D 作 DE AC 交抛物线于点 E，交 y 轴于点 P(1)点 F 是直线 AC 下方抛物线上点一动点，连 DF 交 AC 于点 G，连 EG，当 EFG 的面积的最大值时，直线 DE 上有一动点 M，直线 AC 上有一动点 N，满足 MN AC，连 GM，NO，求 GM+MN+NO 的最
4、小值；(2)如图 2，在(1)的条件下，过点 F 作 FH x 轴于点 H 交 AC 于点 L，将 AHL 沿着射线 AC 平移到点 A与点 C 重合，从而得到 AHL(点 A，H，L 分别对应点 A，H，L)，再将 AHL 绕点 H 逆时针旋转(0 0与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点.过点 A、点 C 分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点 B设抛物线 C2与 x 轴交于 E、F 两点(点 E 在左边)现将图中的CBA 沿直线 l 折叠，折叠后的 BC 边与 x 轴交于点 M当 8 n 12 时，若要使点 M 始终能够落在线段EF(包括两端点)上，请通过计算加以说明：抛物
5、线 C1在向抛物线 C2平移时，沿 x 轴的方向上需要向左还是向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？5(2023浙江湖州统考中考真题)如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2-4x+c 的图象与 y 轴的交点坐标为 0,5，图象的顶点为 M矩形 ABCD 的顶点 D 与原点 O 重合，顶点 A，C 分别在 x轴，y 轴上，顶点 B 的坐标为 1,54 (1)求 c 的值及顶点 M 的坐标，(2)如图 2，将矩形 ABCD 沿 x 轴正方向平移 t 个单位 0 t 0)，y=-x+b 的图象的“等值点”分别为点 A，B，过点 B 作 BC x 轴，垂足为 C当 AB
6、C 的面积为 3 时，求 b 的值；(3)若函数 y=x2-2 x m的图象记为 W1，将其沿直线 x=m 翻折后的图象记为 W2，当 W1，W2两部分组成的图象上恰有 2 个“等值点”时，请直接写出 m 的取值范围3(2023江苏无锡无锡市民办辅仁中学校考一模)如图，将二次函数 y=x2+2x+1 的图象沿 x 轴翻折，然后向右平移 1 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度得到二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，函数 y=x2+2x+1 的图象的顶点为 A，函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点为 B，和 x 轴的交点为 C，D(点 D 位于点C 左侧)6 (1)求函数 y=ax2+
7、bx+c 的解析式；(2)从 A，C，D 三点中任取两点和点 B 构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；(3)点 M 是线段 BC 上的动点，N 是 ABC 三边上的动点，是否存在以 AM 为斜边的 RtAMN，使 AMN的面积为 ABC 面积的 13？若存在，求 tanMAN 的值，请说明理由4(2023山东淄博统考中考真题)如图，一条抛物线 y=ax2+bx 经过 OAB 的三个顶点，其中 O 为坐标原点，点 A 3,-3，点 B 在第一象限内，对称轴是直线 x=94，且 OAB 的面积为 18 (1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点 B 的坐标；(3)设 C 为线段 AB
8、的中点，P 为直线 OB 上的一个动点，连接 AP，CP，将 ACP 沿 CP 翻折，点 A 的对应点为 A1问是否存在点 P，使得以 A1，P，C，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由5(2023辽宁鞍山校考一模)抛物线与坐标轴交于 A-1,0，B 4,0，C 0,2 (1)求抛物线的解析式；(2)点 D 是 x 轴上的一点，过点 D 作 EF AC，交抛物线于 E、F，当 EF=3AC 时，求出点 D 的坐标；7(3)点 D 是 x 轴上的一点，过点 D 作 DE AC，交线段 BC 于 E，将 DEB 沿 DE 翻折，得到 DEB
9、，若DEB 与 ABC 重合部分的面积为 S，点 D 的横坐标为 m，直接写出 S 与 m 的函数关系式并写出取值范围题型 03二次函数对称问题二次函数图象的翻折与旋转变换前变换方式变换后口诀y=a(x-h)2+k绕顶点旋转 180y=-a(x-h)2+ka 变号，h、k 均不变绕原点旋转 180y=-a(x+h)2-ka、h、k 均变号沿 x 轴翻折y=-a(x-h)2-ka、k 变号，h 不变沿 y 轴翻折y=a(x+h)2+ka、h 不变，h 变号1(2023湖南岳阳统考二模)在平面直角坐标系中，将抛物线 C1：y=2x2-(m+1)x+m 绕原点旋转180 后得到抛物线 C2，在抛物线
10、 C2上，当 x 32 时，若最高点与最低点的纵坐标的差为 154，直接写出 m 的值84(2023四川德阳统考中考真题)已知：在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于点 A(-4,0)，B(2,0)，与 y 轴交于点 C(0,-4)(1)求抛物线的解析式；(2)如图 1，如果把抛物线 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折 180，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象当平面内的直线 y=kx+6 与新图象有三个公共点时，求 k 的值；(3)如图 2，如果把直线 AB 沿 y 轴向上平移至经过点 D，与抛物线的交点分别是 E，F，直线 BC 交 EF 于点H，过点 F 作 FG CH 于点 G，若
11、 DFHG=2 5求点 F 的坐标5(2023山东日照统考中考真题)在平面直角坐标系 xOy 内，抛物线 y=-ax2+5ax+2 a 0交 y 轴于点 C，过点 C 作 x 轴的平行线交该抛物线于点 D (1)求点 C，D 的坐标；(2)当 a=13 时，如图 1，该抛物线与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，点 P 为直线 AD 上方抛物线上一点，将直线 PD 沿直线 AD 翻折，交 x 轴于点 M(4,0)，求点 P 的坐标；(3)坐标平面内有两点 E1a,a+1,F 5,a+1，以线段 EF 为边向上作正方形 EFGH若 a=1，求正方形 EFGH 的边与抛物线的所
12、有交点坐标；当正方形 EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为 52 时，求 a 的值6(2023河南新乡统考二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2-2ax+a-1 经过原点9(1)求抛物线的解析式及顶点坐标(2)将该抛物线在 y 轴右侧的部分记作 W，将 W 绕原点 O 顺时针旋转 180 得到 W，W 与 W 组成一个新的函数图像，记作 G点 M，N 为图像 G 上两点(点 M 在点 N 的左侧)，且到 y 轴的距离分别为 2 个单位长度和 3 个单位长度，点 Q 为图像 G 上点 M，N 之间(含点 M，N)的一个动点，求点 Q 的
13、纵坐标 yQ的取值范围；若点(m,y1)，(m+1,y2)在图像 G 上，且 y1 y2，请直接写出 m 的取值范围7(2023湖南永州统考二模)在平面直角坐标系中，二次函数 y=-x2+2mx-m2+9 的图象与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)(1)求 A、B 两点的坐标(用含 m 的式子表示)；(2)将该二次函数图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象若当-3 x-1 时，这个新函数 G 的函数值 y 随 x 的增大而减小，结合函数图象，求 m 的取值范围；(3)已知直线 l：y=1，点 C 在二次函数 y=-x2+2mx-m2+
14、9 的图象上，点 C 的横坐标为 2m，二次函数 y=-x2+2mx-m2+9 的图象在 C、B 之间的部分记为 M(包括点 C，B)，图象 M 上恰有一个点到直线 l 的距离为 2，直接写出 m 的取值范围8(2023河北统考二模)如图，函数 y1=-a x+12+3 x 0的图象过原点，将其沿 y 轴翻折，得到函数 y2的图象，把函数 y1与 y2的图象合并后称为函数 L 的图象.(1)a 的值为；函数 y2的解析式为(注明 x 的取值范围)；(2)对于函数 L，当函数值 y 随 x 的增大而减小时，x 的取值范围是；(3)当直线 y=x+b 与函数 L 的图象有 3 个公共点时，求 b
15、的值.9(2023江苏苏州统考一模)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a 0)交 x 轴于A 1，0、B 3，0两点，交 y 轴于 C 0，3，将该抛物线位于直线 y=m(m 为常数，m 0)下方的部分沿直线 y=m 翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像 W”10(1)求该抛物线的解析式；(2)若 m=0 时，直线 y=x+n 与图像 W 有三个交点，求 n 的值；(3)若直线 y=x 与图像 W 有四个交点，直接写出 m 的取值范围题型 04二次函数旋转问题1(2023安徽校联考模拟预测)如图，已知抛物线 y=ax2+bx-3 与 x 轴交于 A-3,0，B
16、1,0两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴为直线 l，点 P 是直线 l 上一点 (1)求抛物线的表达式；(2)求 PBC 周长的最小值；(3)将线段 PC 绕点 P 旋转 90，得到线段 PQ，点 C 的对应点为点 Q，当点 Q 在抛物线上时，求点 Q 的坐标2(2023辽宁沈阳统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=13 x2+bx+c 的图象经过点 A 0,2，与 x 轴的交点为点 B3,0和点 C (1)求这个二次函数的表达式；(2)点 E，G 在 y 轴正半轴上，OG=2OE，点 D 在线段 OC 上，OD=3OE以线段 OD，OE 为邻边作矩形 ODFE，连接
17、GD，设 OE=a连接 FC，当 GOD 与 FDC 相似时，求 a 的值；11当点 D 与点 C 重合时，将线段 GD 绕点 G 按逆时针方向旋转 60 后得到线段 GH，连接 FH，FG，将GFH 绕点 F 按顺时针方向旋转(0 180)后得到 GFH，点 G，H 的对应点分别为 G、H，连接DE当 GFH 的边与线段 DE 垂直时，请直接写出点 H 的横坐标3(2023河南周口校联考二模)如图 1，抛物线 y1=ax2+bx+c 分别交 x 轴于 A-1,0，B 3,0两点，且与 y 轴交于点 C 0,-3 (1)求抛物线的表达式及顶点 P 的坐标(2)如图 2，将该抛物线绕点 4,0旋
18、转 180求旋转后的抛物线的表达式旋转后的抛物线顶点坐标为 Q，且与 x 轴的右侧交于点 D，顺次连接 A，P，D，Q，求四边形 APDQ 的面积4(2023广东东莞东莞市东莞中学初中部校考三模)孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线 y=ax2 a 0的性质时，如图将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O，两直角边与该抛物线交于 A、B 两点，请解答以下问题：(1)如图 1，若测得 OA=OB=2 2，求 a 的值；(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 BF x 轴于点 F，测得 OF=1，求此时点 A、B 的
19、坐标；(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标题型 05二次函数折叠问题1(2023山西大同校联考模拟预测)如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y=34 x-9 与 x 轴、y 轴分别12交于 B，C 两点，抛物线 y=14 x2+bx+c 经过 B，C 两点，与 x 轴的另一个交点为 A (1)求 B，C 两点的坐标及抛物线的解析式，并直接写出点 A 的坐标；(2)如图 1，点 D 在线段 OB 上运动，连接 CD，沿直线 CD 折叠 BCD 得到 BCD，当 BD x 轴时，求BDC 的度数及点
20、D 的坐标；(3)如图 2，连接 AC，作 COE=ACO，OE 交 ABC 的边于点 E，请直接写出 CE 的长2(2023安徽芜湖校考一模)已知抛物线 y=ax2+2x+c a 0与 x 轴交于点 A-1,0和点 B 3,0，与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 O 与点 D 关于线段 BC 对称 (1)求抛物线的解析式(2)如图 1，P 为 AD 上方的抛物线上的一个动点，连接 PB 交 AD 于点 E当 ABD 的面积被直线 BP 分成 1:3 的两部分时，求点 P 的坐标(3)如图 2，若直线 AD 沿过点 D 的直线 m 折叠后恰好经过点 M214,0，请直接写出直线 m 与抛物线
21、的交点 Q 的坐标3(2023江苏苏州校考二模)如图，二次函数 y=12 x2+bx+c 与 x 轴交于 O 0,0，A 4,0两点，顶点为 C，连接 OC、AC，若点 B 是线段 OA 上一动点，连接 BC，将 ABC 沿 BC 折叠后，点 A 落在点 A 的位置，线段 AC 与 x 轴交于点 D，且点 D 与 O、A 点不重合13 (1)求二次函数的表达式；(2)求证：OCD ABD；DBBA 的最小值；(3)当 SOCD=8SABD时，求直线 AB 的解析式4(2023浙江湖州统考一模)一张矩形纸片 ABCD(如图 1)，AB=6，AD=3点 E 是 BC 边上的一个动点，将 ABE 沿
22、直线 AE 折叠得到 AEF，延长 AE 交直线 CD 于点 G，直线 AF 与直线 CD 交于点 Q初步探究(1)求证：AQG 是等腰三角形；(2)设 FQ=m，当 BE=2CE 时，计算 m 的值；深入探究(3)将矩形纸片放入平面直角坐标系中(如图 2 所示)，点 B 与点重合，边 OC、OA 分别与 x 轴、y 轴正半轴重合点 H 在 OC 边上，将 AOH 沿直线 AH 折叠得到 APH当 AP 经过 CD 的中点 N 时，求点 P 的坐标；在的条件下，已知二次函数 y=-x2+bx+c 的图象经过 A、D 两点若将直线 AH 右侧的抛物线沿AH 对折，交 y 轴于点 M，请求出 AM 的长度5(2023山东枣庄校考模拟预测)已知：如图，抛物线 y=-x2+bx+c 经过原点 O，它的对称轴为直线x=2，动点 P 从抛物线的顶点 A 出发，在对称轴上以每秒 1 个单位的速度向下运动，设动点 P 运动的时间为 t 秒，连接 OP 并延长交抛物线于点 B，连接 OA，AB14(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)当三点 A，O，B 构成以为 OB 为斜边的直角三角形时，求 t 的值；(3)将 PAB 沿直线 PB 折叠后，那么点 A 的对称点 A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的 t 的值；若不能，请说明理由
