1、模块综合检测(一)(时间:120分钟,分值:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1数列an满足an13an1,a11,则此数列的第3项是()A13 B10 C7 D4A解析:因为an13an1,a11,所以a23a113114,所以a33a2134113.故选A2an为等差数列,且a72a41,a30,则公差d()A2 B C D2B解析:a72a41,a34d2(a3d)1,4d2d1,d.3已知函数f(x)3x22,则f(5)()A15 B30 C32 D77B解析:依题意f(x)6x,所以f(5)30.故选B4设等比数列an满足a1a21,a1a33,则S6()
2、A63 B21 C21 D63B解析:设数列an的公比为q,a1a21,a1a33,解得S621.故选B5函数f(x)的单调递增区间是()A(,1) B(1,1)C(1,) D(,1)和(1,) B解析:f(x)的定义域为R,且f(x),所以当1x0,f(x)单调递增,所以f(x)的单调递增区间为(1,1)故选B6数列an满足a11,log2an1log2an1(nN*),它的前n项和为Sn,则满足Sn1 025的最小n值是()A9 B10 C11 D12C解析:数列log2an是以0为首项,公差为1的等差数列,log2an0(n1)1n1,an2n1,Sn1222232n12n11 025,
3、2n1 026.因为2101 024,2112 048,所以,最小n值是11.选C7函数f(x)的图象大致是()C解析:由f(x),得f(x)(x0)令g(x)1ln x,则g(x)0,g(e2)1ln e210由f(x)a0,得a0,x.又函数f(x)ln xax有小于1的极值点,所以1且a0,所以a1.故选B二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9过点P(2,6)作曲线f(x)x33x的切线,则切线方程可能是()A3xy0 B24xy540C9xy240 D12xy240AB解析:y3x23.设曲线的切点为(x0,y0),则k3x3,y0x3x0.切线方程为y(x3x0)(3
4、x3)(xx0)又切线经过点P(2,6),则6(x3x0)(3x3)(2x0),解得x00或x03,切点为(0,0)时,切线方程为3xy0;切点为(3,18)时,切线方程为24xy540.10记Sn为等差数列an的前n项和若a13a5S7,则以下结论一定正确的是()Aa40BSn的最大值为S3CS1S6D|a3|a5|AC解析:设等差数列an的公差为d,则a13(a14d)7a121d,解得a13d,所以ana1(n1)d(n4)d,所以a40,故A正确;因为S6S15a40,所以S1S6,故C正确;由于无法确定d的正负,故S3可能为最大值,也可能为最小值,故B不正确;因为a3a52a40,所
5、以a3a5,即|a3|a5|,故D不正确故选AC11在数列an中,若aap(n2,nN* ,p为常数),则an称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断,其中正确的为()A若an是等方差数列,则a是等差数列B若an是等方差数列,则a是等方差数列C(1)n是等方差数列D若an是等方差数列,则akn(kN*,k为常数)也是等方差数列ACD解析:对于A,an是等方差数列,可得aap(n2,nN*,p为常数),即有a是首项为a,公差为 d的等差数列,故正确;对于B,例如:数列是等方差数列,但是数列n不是等方差数列,所以B不正确;对于C,数列(1)n中,aa(1)n2(1)n120(n2,nN),所以
6、数列(1)n是等方差数列,故C正确; 对于D, 数列an中的项列举出来是:a1,a2,ak,a2k,数列akn中的项列举出来是: ak,a2k,a3k,.aaaaaap,aa(aa)(aa)(aa)kp,aakp, 所以,数列akn是等方差数列,故D正确故选ACD12设f(x)xacosx,x的最大值为M,则()A当a1时,MB当a2时,MD当a3时,MAB解析:对于选项A,当a1时,f(x)在区间上递减,所以M0,f(x)在区间上递增,即M,故选项B正确对于选项C,当a1时,在上, xtan x恒成立,所以f(x)xcosxtan xcosxsinx,所以M0,f(x)在区间上递增,M3,故
7、选项D错误故选AB三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知等差数列an的前n项和为Sn,a19,4,则an_.2n11解析:设公差为d,因为4,所以4d2d4,即d2.所以ana1(n1)d92(n1)2n11.14.设函数f(x)x3ax2,若曲线yf(x)在点P(1,f(1)处的切线方程为xy0,则实数a_.2解析:因为点P(1,f(1)在该切线上,所以f(1)1,则f(1)1a1,解得a2.15.已知等差数列an的前n项和为Snpn22nq(p,qR,nN*),则q_;若a1与a5的等差中项为8,则pq_.02解析:由等差数列的性质可得q0.又a1与a5的等差中项为8,
8、所以a1a516,即S540,所以25p1040,解得p2,即pq202.16.设a,bR,若x0时恒有0x4x3axb(x21)2,则ab等于_1解析:验证发现,当x1时,将1代入不等式有0ab0,所以ab0,当x0时,可得0b1,结合ab0可得1a0.令f(x)x4x3axb,即f(1)ab0.又f(x)4x33x2a,f(x)12x26x,令f(x)0,可得x,则f(x)4x33x2a在上递减,在上递增又1a0,所以f(0)a0,f(1)1a0.又x0时恒有0x4x3axb,结合f(1)ab0知,1必为函数f(x)x4x3axb的极小值点,也是最小值点故有f(1)1a0,由此得a1,b1
9、.所以ab1.四、解答题(本题共6小题,共70分)17.(10分)在等差数列an中,已知a1a2a321,a1a2a3231.(1)求该数列中a2的值;(2)求该数列的通项公式an.解:(1)由等差数列性质得a1a2a33a221,a27.(2)设等差数列公差为d,a1a2a3(a2d)a2(a2d)7(7d)(7d)7(49d2)231.解得d4,ana2(n2)d,即an4n1或an4n15.18.(12分)(1)求曲线y在点(1,1)处的切线方程;(2)求经过点(4,0)且与曲线y相切的直线方程解:y,y. (1)当x1时,得在点(1,1)处的切线的斜率为1,切线方程为y1(x1),即x
10、y20.(2)设切点为,则切线的斜率为,切线方程为y(xx0),切线过点(4,0),(4x0),解得x02,所求切线方程为y(x2),即x4y40.19.(12分)设f(x)aln xx1,曲线yf(x)在点(1,f(1)处取得极值(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间和极值解:(1)因为f(x)aln xx1,所以f(x).由f(1)0,可得a20,解得a2.(2)由(1)可知,f(x)2ln xx1,f(x).令f(x)0,解得x1,x21,又因为函数f(x)定义域为(0,),所以f(x)在区间和(1,)单调递减,在区间单调递增故f(x)的极大值为f(1)0,f(x)的极小值为f2
11、2ln 3.20.(12分)设数列an满足:a11,且2anan1an1(n2),a3a412.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和解:(1)由2anan1an1(n2)可知数列an是等差数列,设公差为d,因为a11,所以a3a4a12da13d12,解得d2,所以an的通项公式为an2n1(nN*)(2)由(1)知,所以数列的前n项和 Sn.21.(12分)已知数列an的前n项和为Sn,a11,a2,2an1(nN*且n2)(1)证明:为等差数列;(2)求数列的前n项和Tn.(1)证明:因为2an1,所以anan12anan1,即anan12anan1,等式两边同时除以anan1,
12、得2(n2),且2,所以数列为首项为1,公差为2的等差数列(2)解:由(1)得2n1,(2n1)3n,则Tn13332(2n1)3n,3Tn132(2n3)3n(2n1)3n1,得2Tn32(323n)(2n1)3n132(2n1)3n12(1n)3n16,故Tn(n1)3n13.22.(12分)已知aR,函数f(x)(x2ax)ex(xR)(1)当a2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增,求a的取值范围解:(1)a2时,f(x)(x22x)ex的导数为f(x)ex(2x2)由f(x)0,解得x.即有函数f(x)的单调递减区间为(,),(,),单调递增区间为(,)(2)函数f(x)(x2ax)ex的导数为f(x)exax2(a2)x由函数f(x)在(1,1)上单调递增,则有f(x)0在(1,1)上恒成立,即为ax2(a2)x0,即有x2(a2)xa0,则有1(a2)a0且1(a2)a0,解得a,则a的取值范围为.