1、广东省湛江市吴川二中2015届高三上学期11月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1（5分）设集合A=x|x+2=0，集合B=x|x24=0，则AB=（）A2B2C2，2D2（5分）复数z=i（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）双曲线2x2y2=8的实轴长是（）A2BC4D4（5分）已知向量=（1，0），=（，），则下列结论中正确的是（）A|=|B=C与共线D（）与垂直5（5分）“x（x3）0”是“|x1|2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）已知平
2、面、和直线m，给出条件：m；m；m；由这五个条件中的两个同时成立能推导出m的是（）ABCD7（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A7B9C10D158（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k+1A，那么称k是A的一个“好元素”给定S=1，2，3，4，5，6，7，8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A
3、6个B12个C9个D5个二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分25分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）已知f（x）=lnx+的定义域为10（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=11（5分）若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1，a2=b2=2则a5b5=12（5分）按如图的程序框图运行后，输出的S应为13（5分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，B=120，则ABC的面积等于（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题.【极坐标与参数方程】14（3分）在
4、极坐标系中，直线1的方程是sin（+）=，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线2的方程是3x+ky=1如果直线1与2垂直，则常数k=【几何证明选讲】15（3分）如图，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC=3，DE=2，DF=1，则BD的长为 、AB的长为 三、解答题：本大题共6小题，满分79分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知函数的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知且，求17（12分）某班50位学生期2015届中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：40，50），5
5、0，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望18（14分）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，BAD=ADC=90，AB=AD=CD=a，PD=a（1）若M为PA中点，求证：AC平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小19（14分）已知数列an的前n项和是Sn，且Sn+an=1（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log3（1Sn+1）（nN*），求适合方程的正整数n的值20（1
6、3分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列（1）求椭圆C的方程；（2）记GF1D的面积为S1，OED（O为原点）的面积为S2试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由21（14分）设函数f（x）=（x1）exkx2（kR）（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在0，k上的最大值M广东省湛江市吴川二中2015届高三上学期11月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共
7、8小题，每小题5分，共40分.1（5分）设集合A=x|x+2=0，集合B=x|x24=0，则AB=（）A2B2C2，2D考点：交集及其运算 专题：计算题分析：分别求出两集合中方程的解，确定出A与B，找出A与B的公共元素即可求出交集解答：解：由A中的方程x+2=0，解得x=2，即A=2；由B中的方程x24=0，解得x=2或2，即B=2，2，则AB=2故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）复数z=i（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：化简复数z，根据
8、复数与复平面内点的对应关系可得答案解答：解：z=i（1+i）=1+i，故复数z对应的点为（1，1），在复平面的第二象限，故选B点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题3（5分）双曲线2x2y2=8的实轴长是（）A2BC4D考点：双曲线的标准方程 专题：计算题分析：将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长解答：解：2x2y2=8即为a2=4a=2故实轴长为4故选C点评：本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值4（5分）已知向量=（1，0），=（，），则下列结论中正确的是（）A|=|B=C与共线D（）与垂直考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题分析：利用向量模的坐标公式求出两
9、个向量的模判断出A错；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积判断出B错；利用向量共线的充要条件判断出C错；利用向量的坐标公式及向量垂直的充要条件判断出D对解答：解：所以A不对故B不对故C不对故选D点评：本题考查向量模的坐标公式、考查向量的数量积公式、考查向量共线的充要条件、考查向量垂直的充要条件5（5分）“x（x3）0”是“|x1|2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：分别解出不等式x（x3）0和|x1|2，从而得到答案解答：解：由x（x3）0，解得：0x3，由|x1|2，解得：1x3，由0x3
10、1x3，故“x（x3）0”是“|x1|2”的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题6（5分）已知平面、和直线m，给出条件：m；m；m；由这五个条件中的两个同时成立能推导出m的是（）ABCD考点：平面与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：根据面面平行的性质，可得结论解答：解：根据面面平行的性质，可得m，时，m故选：D点评：本题考查平面与平面垂直的性质，比较基础7（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9抽到的
11、32人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A7B9C10D15考点：系统抽样方法 专题：概率与统计分析：由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n1）30=30n21，由45130n21750 求得正整数n的个数解答：解：96032=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=9+（n1）30=30n21由 45130n21750 解得 15.7n25.7再由n为正整数可得 16n25，且
12、nz，故做问卷B的人数为10，故选：C点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题8（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k+1A，那么称k是A的一个“好元素”给定S=1，2，3，4，5，6，7，8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A6个B12个C9个D5个考点：元素与集合关系的判断 专题：新定义分析：要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，列举可得解答：解：要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起（要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”）故不含“好元素”的集合共有1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，
13、6，5，6，7，6，7，8共6种可能故选A点评：本题考查新定义，读懂新定义并列举是解决问题的关键，属基础题二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分25分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）已知f（x）=lnx+的定义域为（0，1考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：直接由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立取交集即可解答：解：要使函数有意义，则，解得0x1所以原函数的定义域为（0，1故答案为：（0，1点评：本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值范围，是基础题
14、10（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值解答：解：由题意得，y=k+，在点（1，k）处的切线平行于x轴，k+1=0，得k=1，故答案为：1点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大11（5分）若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1，a2=b2=2则a5b5=80考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知结合等差数列和等比数列的通项公式求得等差数列的公差和等比数列的公比，然后求
15、得a5，b5，则答案可求解答：解：由等差数列an满足a1=1，a2=2，得d=1，a5=5，等比数列bn满足b1=1，b2=2，得q=2，b5=24=16，a5b5=80故答案为：80点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础的计算题12（5分）按如图的程序框图运行后，输出的S应为40考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i5，计算输出S的值解答：解：由程序框图知：第一次运行i=1，T=311=2，S=0+2=2，i=2，不满足条件i5，循环，第二次运行i=2，T=321=5，S=5+2=7，i=3，不满足条件i5，循环，第三次运
16、行i=3，T=331=8，S=7+8=15，i=4，不满足条件i5，循环，第四次运行i=4，T=341=11，S=15+11=26，i=5，不满足条件i5，循环，第五次运行i=5，T=351=14，S=26+14=40，i=6，满足条件i5，程序终止，输出S=40故答案是：40点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法比较基础13（5分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，B=120，则ABC的面积等于考点：正弦定理 专题：计算题；解三角形分析：先根据余弦定理建立关于a的等式，解出a=再根据三角形的面积公式加以计算，可
17、得ABC的面积解答：解：根据余弦定理，可得b2=a2+c22accosB，即6=a2+22a（），解之得a=因此ABC的面积S=故答案为：点评：本题给出三角形的两条边和其中一条边的对角，求它的面积着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积求法等知识，属于中档题（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题.【极坐标与参数方程】14（3分）在极坐标系中，直线1的方程是sin（+）=，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线2的方程是3x+ky=1如果直线1与2垂直，则常数k=3考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：把极坐标方程化为直角
18、坐标方程，再利用两条直线垂直的条件求出k的值解答：解：把直线1的方程是sin（+）=化为直角坐标方程为 x+y=，即 x+y1=0再根据直线2的方程是3x+ky=1，直线1与2垂直，则1=1，求得 k=3，故答案为：3点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两条直线垂直的条件，属于基础题【几何证明选讲】15（3分）如图，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC=3，DE=2，DF=1，则BD的长为 、AB的长为 考点：相似三角形的性质 专题：计算题；压轴题分析：由题中条件：“DEBC，EFCD”易得FDEDBC，从而得到对应边成比例，再结合题中已知线段的长度，即可求得BD的长、AB
19、的长解答：解：由DEBC，EFCD，知FDEDBC由，所以故答案为：；点评：此题主要考查的是相似三角形的性质，正确的判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分79分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知函数的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知且，求考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（1）依题意知，A=2，由图得T=从而可得=2；又2+=2k+，kZ，（0，），可求得，于是可得函数f（x）的解析式；（2
20、）易求cos=，利用两角和的正弦即可求得f（）=2sin（+）的值解答：解：（1）由函数最大值为2，得A=2由图可得周期T=4（）=，=2 又2+=2k+，kZ，=2k+，kZ，又（0，），=，f（x）=2sin（2x+）；（2）（，），且sin=，cos=，f（）=2sin（2+）=2（sincos+cossin）=2+（）=点评：本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简求值，属于中档题17（12分）某班50位学生期2015届中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，
21、100（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人，则随机变量的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望解答：解：（1）由300.006+100.01+100.054+10x=1，得x=0.018（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，9
22、0分以上的学生有3人随机变量的可能取值有0，1，2点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型的概率公式和离散型随机变量的数学期望，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题18（14分）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，BAD=ADC=90，AB=AD=CD=a，PD=a（1）若M为PA中点，求证：AC平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定 专题：计算题分析：（1）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MNAC，再根据线面平行的判定定理可得答案（2）以D为空间坐标系的原点，分
23、别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角解答：解：（1）证明：连接PC，交DE与N，连接MN，在PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点MNAC，（2分）又AC面MDE，MN面MDE，所以 AC平面MDE（4分）（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），所以，（6分）设平面PAD的单位法向量为，则可取 （7分）设面PBC的法向量，则有即：，取z=1，则（10分）设平面PAD与平面PBC所
24、成锐二面角的大小为，（11分）=60，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60（12分）点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离19（14分）已知数列an的前n项和是Sn，且Sn+an=1（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log3（1Sn+1）（nN*），求适合方程的正整数n的值考点：等差数列与等比数列的综合 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由S，得（n2），两式相减得an与an1的递推式，由递推式易判断数列an为等比数列，
25、从而可求an；（2）由（1）易求得1Sn+1，进而可求bn，利用裂项相消法可求得，从而可把方程变为关于n的方程，解出即可；解答：解：（1）由S，得（n2），两式相减得，an+=0（n2），即（n2），由S得=1，即=1，解得，所以数列an各项均不为0，且是以为首项、为公比的等比数列，所以an=；（2）由（1）知，即1Sn+1=，所以b=（n+1），则=，所以=+=，所以方程 即=，解得n=100，故适合方程 的正整数n的值为100点评：本题考查由数列递推公式求通项公式，考查等比数列及用列项相消法进行数列求和，熟练掌握an与Sn间的关系是解决本题的关键20（13分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点
26、为F1（1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列（1）求椭圆C的方程；（2）记GF1D的面积为S1，OED（O为原点）的面积为S2试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）依题意，|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，求出a，再利用c=1，求出b，即可求椭圆C的方程；（2）假设存在直线AB，使得 S1=S2，确定G，D的坐标，利用GFDOED，即可得到结论解答
27、：解：（1）因为|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，所以2a=|AF1|+|AF2|=2|F1F2|=4，所以a=2（2分）又因为c=1，所以b2=3，（3分）所以椭圆C的方程为 （4分）（2）假设存在直线AB，使得 S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直设AB方程为y=k（x+1）（5分）将其代入，整理得 （4k2+3）x2+8k2x+4k212=0（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以 故点G的横坐标为所以G（，）（8分）因为 DGAB，所以k=1，解得xD=，即D（，0）（10分）RtGDF1和RtODE1相似，若S1=S2，则|GD|=|OD|（11分）所
28、以 ，（12分）整理得 8k2+9=0 （13分）因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得 S1=S2（14分）点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（14分）设函数f（x）=（x1）exkx2（kR）（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在0，k上的最大值M考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数的运算法则即可得出f（x），令f（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f（x），令f（x）=0得出极
29、值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值解答：解：（1）当k=1时，f（x）=（x1）exx2，f（x）=ex+（x1）ex2x=x（ex2）令f（x）=0，解得x1=0，x2=ln20所以f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（，0）0（0，ln2）ln2（ln2，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值所以函数f（x）的单调增区间为（，0）和（ln2，+），单调减区间为（0，ln2）（2）f（x）=（x1）exkx2，x0，k，f（x）=xex2kx=x（ex2k），f（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）令（k）=kln（2k），所以（k）在上是减函数，（1
30、）（k），1ln2（k）k即0ln（2k）k所以f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，ln（2k）ln（2k）（ln（2k），k）f（x）0+f（x）极小值f（0）=1，f（k）f（0）=（k1）ekk3f（0）=（k1）ekk3+1=（k1）ek（k31）=（k1）ek（k1）（k2+k+1）=（k1）ek（k2+k+1），k10对任意的，y=ek的图象恒在y=k2+k+1下方，所以ek（k2+k+1）0所以f（k）f（0）0，即f（k）f（0）所以函数f（x）在0，k上的最大值M=f（k）=（k1）ekk3点评：熟练掌握导数的运算法则、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键
