1、题组层级快练(六十一)1若椭圆1过点(2，)，则其焦距为()A2B2C4 D4答案D解析椭圆过(2，)，则有1，b24，c216412，c2，2c4.故选D.2已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1，F2，b4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为()A10 B12C16 D20答案D解析如图，由椭圆的定义知ABF2的周长为4a，又e，即ca，a2c2a2b216.a5，ABF2的周长为20.3已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是()A.1 B.1C.y21 D.1答案A解析圆C的方程可化为(x1)2y216
2、.知其半径r4，长轴长2a4，a2.又e，c1，b2a2c2413.椭圆的标准方程为1.4已知曲线C上的动点M(x，y)，向量a(x2，y)和b(x2，y)满足|a|b|6，则曲线C的离心率是()A. B.C. D.答案A解析因为|a|b|6表示动点M(x，y)到两点(2，0)和(2，0)距离的和为6，所以曲线C是椭圆且长轴长2a6，即a3.又c2，e.5已知椭圆1的离心率e，则m的值为()A3 B3或C. D.或答案B解析若焦点在x轴上，则有m3.若焦点在y轴上，则有m.6已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(
3、)A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆7(2017河北邯郸一模)已知P是椭圆1(0bb0)，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以根据椭圆的定义可得2a10a5，则c4，e，故选B.10设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为()A.1 B2C. D.答案A解析由题意知F1MF2，|MF2|c，|F1M|2ac，则c2(2ac)24c2，e22
4、e20，解得e1.11(2017北京丰台期末)若F(c，0)为椭圆C：1(ab0)的右焦点，椭圆C与直线1交于A，B两点，线段AB的中点在直线xc上，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案B解析因为直线1在x，y轴上的截距分别为a，b，所以A(a，0)，B(0，b)又线段AB的中点在直线xc上，所以c，即e.12(2017浙江金丽衢十二校联考)已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是()A，1) B，C，1) D(0，答案C解析设P(x，y)，则|PF2|aex，若椭圆C上存在点P，使得线
5、段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则|PF2|F1F2|，aex2c，x.axa，a，e0)，则半径为4a，则(4a)2a222，解得a，故圆的方程为(x)2y2.15(2016课标全国)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为_答案解析设E(0，m)，则直线AE的方程为1，由题意可知M(c，m)，(0，)和B(a，0)三点共线，则，化简得a3c，则C的离心率e.16.如图，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶
6、点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程答案(1)(2)1解析(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形所以有|OA|OF2|，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由2，解得x，y.代入1，得1.即1，解得a23.所以椭圆方程为1.17(2014新课标全国)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a
7、，b.答案(1)(2)a7，b2解析(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1B.y21C.1 D.1答案A解析利用椭圆的定义及性质列式求解由e，得.又AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a4，得a，代入得c1，
8、b2a2c22，故C的方程为1.3若椭圆1的离心率为，则k的值为()A21B21C或21 D.或21答案C解析若a29，b24k，则c.由，即，得k；若a24k，b29，则c.由，即，解得k21.4若椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍则m的值为()A. B.C2 D4答案A解析将原方程变形为x21.由题意知a2，b21，a，b1.2，m.5(2016北京海淀期末练习)已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为()A. B.C. D.答案B解析由椭圆方程知c1，所以F1(1，0)，F2(1，0)因为椭圆C
9、上点A满足AF2F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y02，所以y0.设P(x1，y1)，则(x11，y1)，(0，y0)，所以y1y0.因为点P是椭圆C上的动点，所以y1，的最大值为.故B正确6如图，已知椭圆C：1(ab0)，其中左焦点为F(2，0)，P为C上一点，满足|OP|OF|，且|PF|4，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示由F(2，0)，得c2.由|OP|OF|OF1|，知PF1PF.在RtPFF1中，由勾股定理，得|PF1|8.由椭圆定义，得|PF1|PF|2a4812，从而a6，得a236
10、，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆C的方程为1.7(2017贵州兴义第八中学第四次月考)设斜率为的直线l与椭圆1(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案C解析由题意知，直线l与椭圆1(ab0)两个交点的横坐标是c，c，所以两个交点分别为(c，c)，(c，c)，代入椭圆得1，两边同乘2a2b2，则c2(2b2a2)2a2b2.因为b2a2c2，所以c2(3a22c2)2a42a2c2，所以2或.又因为0eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直
11、角三角形，则椭圆的离心率为()A. B2C.2 D.答案D解析设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|m，|BF1|m.由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a2mm，即m(42)a，则|AF2|2am(22)a，在RtAF1F2中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即4c24(2)2a24(1)2a2，即有c2(96)a2，即c(a，即e，故选D.9(2013辽宁)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_答案解析如图所示根
12、据余弦定理|AF|2|BF|2|AB|22|AB|BF|cosABF，即|BF|216|BF|640，得|BF|8.又|OF|2|BF|2|OB|22|OB|BF|cosABF，得|OF|5.根据椭圆的对称性|AF|BF|2a14，得a7.又|OF|c5，故离心率e.10(2017山西协作体)若椭圆C：1(ab0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C的内接正方形的面积为_答案解析由已知得，a1，bc，所以椭圆C的方程为x21，设A(x0，y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x0y0，所以1x022y023x02，解得x02，所以椭圆C的内接正方形的面积S(2x0)24x02.11已知P是椭圆1上的一点，求点P到点M(m，0)(m0)的距离的最小值答案0m1时，|PM|minm1时，|PM|min|m2|解析设P(x，y)，则x，y满足1，y22，2x2，|PM|.若02m2，即0m1时，x2m时，函数(x2m)22m2取最小值2m2，此时|PM|的最小值为.若2m2，即m1时，二次函数(x2m)2m22在2，2上单调递减，当x2时，函数(x2m)22m2取最小值(m2)2.此时|PM|的最小值为|m2|.
