1、广东省珠海实验中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1（5分）已知数列an的通项公式是an=23n，则该数列的第五项是（）A13B13C11D162（5分）已知an为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（）A4B5C6D73（5分）不等式4x24x+10的解集是（）ABCRD4（5分）已知（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）Aa1或a24Ba=7或a=24C7a24D24a75（5分）若ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则ABC（）A一定是锐角三角形B一定
2、是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6（5分）如果实数ab0，那么，下列不等式中不正确 的是（）Aa2b2BCD7（5分）记等差数列an的前n项和为Sn，若，S4=20，则S6=（）A16B24C36D488（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东30处，则两灯塔A、B间的距离为（）A400米B500米C700米D800米9（5分）数列an满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2009的值是（）A20072008B20082009C20092D2009201010（5分）某厂去年产
3、值为a，计划在5年内每年产值比上一年增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是（）A1.14aB1.15aC10（1.151）aD11（1.151）a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11（5分）在等比数列an中，已知a3=4，a6=32，则公比q=12（5分）在ABC中，若A=60，B=45，BC=3，则AC=13（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块14（5分）在R上定义运算：xy=x（1y） 若不等式（xa）（x+a）1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共7小题，共80分.解答应写出文字说明
4、，证明过程或演算步15（12分）已知不等式x22x30的解集是A，不等式x2+x60的解集是B，若不等式x2+ax+b0的解集是AB，则：（1）求AB；（2）求a+b16（12分）a，b，c为ABC的三边，其面积SABC=12，bc=48，角A为锐角（）求角A；（）已知b+c=14，求边长a17（14分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：学段硬件建设（万元）配备教师数教师年薪（万元）初中26/班2/班2/人高中54/班3/班2/人因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设
5、初中班x个，高中班y个）（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？18（14分）已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，且a2=3，4S2=S4（1）求数列an的通项公式；（2）求证数列2an是等比数列；（3）求使得Sn+22Sn的成立的n的集合19（14分）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（）求A的大小；（）若sinB+sinC=1，试判断ABC的形状20（14分）已知Sn是数列an的前n项和，且a1=1，nan+1=2Sn（nN*）（1）求a2，
6、a3，a4的值；（2）求数列an的通项an；（3）设数列bn满足bn=，求数列bn的前n项和Tn21设三角形ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，sinA=4sinB（1）求b边的长；（2）求角C的大小广东省珠海实验中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1（5分）已知数列an的通项公式是an=23n，则该数列的第五项是（）A13B13C11D16考点：数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列分析：把数列an的通项公式an=23n中的n取5即可得出解答：解：数列an的通项公式是an=23n，a5=2
7、35=13故选A点评：本题考查了由数列的通项公式求某一项，属于基础题2（5分）已知an为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（）A4B5C6D7考点：等差数列 专题：计算题分析：将a2+a8用a1和d表示，再将a5用a1和d表示，从中寻找关系解决，或结合已知，根据等差数列的性质a2+a8=2a5求解解答：解：解法1：an为等差数列，设首项为a1，公差为d，a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=12；a1+4d=6；a5=a1+4d=6解法2：a2+a8=2a5，a2+a8=12，2a5=12，a5=6，故选C点评：解法1用到了基本量a1与d，还用到了整体代入思想；解法2应用了等差数
8、列的性质：an为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，qN+）时，am+an=ap+aq特例：若m+n=2p（m，n，pN+），则am+an=2ap3（5分）不等式4x24x+10的解集是（）ABCRD考点：一元二次不等式的解法 专题：计算题分析：由配方法，不等式4x24x+10可化为（2x1）20，结合对应二次函数的图象可得解集解答：解：不等式4x24x+10可化为（2x1）20由于二次函数y=（2x1）2的图象为开口向上的抛物线，并且与x轴相切与点（，0），结合图象可知，不等式的解集为：故选A点评：本题为一元二次不等式的解集的求解，结合对应二次函数的图象是解决问题的关键，属基础题4（5分
9、）已知（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）Aa1或a24Ba=7或a=24C7a24D24a7考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：计算题；转化思想分析：将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可解答：解：因为（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，所以有（3321+a）3（4）26+a0，解得7a24故选C点评：本题考查线性规划知识的应用一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点5（5分）若ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则ABC（）A一定是锐角三角形B一定是直角
10、三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用 专题：计算题；压轴题分析：先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角解答：解：根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t0）c2=a2+b22abcosCcosC=0角C为钝角故选C点评：本题主要考查余弦定理的应用注意与正弦定理的巧妙结合6（5分）如果实数ab0，那么，下列不等式中不正确 的是（）Aa2b2BCD考点：不等关系与不等式 专题：计算题分析
11、：由于实数ab0，故ab0，故 2a2b，即 解答：解：由于实数ab0，故a2b20，故A正确 由于实数ab0，可得 ，故B正确由于实数ab0，可得 ，故C正确由于实数ab0，ab0，2a2b，即 ，故D 不正确，故选 D点评：本题考查不等式与不等关系，指数函数的单调性，求得即 ，是解题的关键7（5分）记等差数列an的前n项和为Sn，若，S4=20，则S6=（）A16B24C36D48考点：等差数列的前n项和 分析：结合已知条件，利用等差数列的前n项和公式列出关于d的方程，解出d，代入公式，即可求得s6解答：解：，S4=20，S4=2+6d=20，d=3，S6=3+15d=48故选D点评：本题
12、考查了等差数列的前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用8（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东30处，则两灯塔A、B间的距离为（）A400米B500米C700米D800米考点：解三角形的实际应用 专题：计算题分析：根据题意，ABC中，AC=300米，BC=500米，ACB=120，利用余弦定理可求得AB的长解答：解：由题意，如图，ABC中，AC=300米，BC=500米，ACB=120利用余弦定理可得：AB2=3002+50022300500cos120AB=700米故选C点评：本题以方位角为载
13、体，考查三角形的构建，考查余弦定理的运用，属于基础题9（5分）数列an满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2009的值是（）A20072008B20082009C20092D20092010考点：数列递推式 专题：计算题分析：根据an+1=an+2n可知利用叠加法，a2009=a1+（a2a1）+（a3a2）+（a2009a2008），然后利用等差数列求和公式进行求解即可解答：解：a1=0，an+1=an+2n，a2a1=2，a3a2=4，a2009a2008=4016，a2009=a1+（a2a1）+（a3a2）+（a2009a2008）=0+2+4+4016=20082009故选B点
14、评：本题主要考查数列的性质和应用，以及数列的递推关系和叠加法，属于中档题易错点是找不规律，导致无从下手10（5分）某厂去年产值为a，计划在5年内每年产值比上一年增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是（）A1.14aB1.15aC10（1.151）aD11（1.151）a考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由题意依次列出每年的产值，构成等比数列，求和可得到选项解答：解：由题意，去年产值是a，第一年要比去年产值增加10%，那么第一年就是a+10%a，即a（1+0.1）=1.1a第二年又比第一年增加10%，所以第二年是a（1+0.1）2=1.12a依此类
15、推，第五年是a（1+0.1）5=1.15a五年总产值为：1.1a+1.12a+1.15a=11（1.151）a故选D点评：本题考查数列求和，数列的知识，考查计算能力，推理能力，是基础题，也是易错题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11（5分）在等比数列an中，已知a3=4，a6=32，则公比q=2考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：直接利用等比数列的通项公式求解即可解答：解：在等比数列an中，已知a3=4，a6=32，q3=8，q=2故答案为：2点评：本题考查等比数列的基本性质，基本知识的考查12（5分）在ABC中，若A=60，B=45，BC=3，则AC=2考点
16、：正弦定理 专题：计算题分析：由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长解答：解：A=60，B=45，BC=3，由正弦定理=得：AC=2故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键13（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2块考点：归纳推理 专题：探究型分析：通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可解答：解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；设第n个图案中有
17、白色地面砖n块，用数列an表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2a1=a3a2=4，可知数列an是以6为首项，4为公差的等差数列，an=6+4（n1）=4n+2故答案为4n+2点评：由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键14（5分）在R上定义运算：xy=x（1y） 若不等式（xa）（x+a）1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是考点：函数恒成立问题 专题：计算题分析：利用新定义的运算：xy=x（1y），将不等式转化为二次不等式，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方，从而有0，解0即可解答：解：根据运算法则得（xa）（x+a）=（xa）（1xa）1化
18、简得x2xa2+a+10在R上恒成立，即0，解得a故答案为点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查了函数恒成立问题，题目比较新颖，关键是理解定义了新的运算，掌握恒成立问题的处理策略，属于中档题三、解答题：本大题共7小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步15（12分）已知不等式x22x30的解集是A，不等式x2+x60的解集是B，若不等式x2+ax+b0的解集是AB，则：（1）求AB；（2）求a+b考点：交集及其运算；一元二次方程的根的分布与系数的关系 专题：计算题分析：（1）先解一元二次不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求出这两个集合的交集即可；（2）根据（1）中的AB，结
19、合不等式与方程之间的关系，利用韦达定理，求得a，b即可解答：解：（1）由x22x30解得1x3，A=x|1x3由x2+x60解得x3或x2，B=x|x3或x2AB=（2，3）（2）由不等式x2+ax+b0的解集是x2+ax+b=0，设x2+ax+b=0的两个实数根为x1、x2，则有，根据韦达定理，得：，解得，a+b=1点评：本题主要考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题解决时，首先要解决的问题是会解一元二次不等式16（12分）a，b，c为ABC的三边，其面积SABC=12，bc=48，角A为锐角（）求角A；（）已知b+c=14，求边长a考点：余弦定理 专题：解三角形分析：（）
20、利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，bc的值代入求出sinA的值，根据A为锐角，求出A的度数即可；（）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把b+c与bc，cosA的值代入即可求出a的值解答：解：（）由SABC=bcsinA，得12=48sinA，sinA=，A为锐角，A=60；（）b+c=14，cosA=，bc=48，a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc=196144=52，解得：a=2点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键17（14分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得
21、到了如下的数据表格（以班级为单位）：学段硬件建设（万元）配备教师数教师年薪（万元）初中26/班2/班2/人高中54/班3/班2/人因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？考点：简单线性规划的应用 专题：应用题；探究型分析：设初中x个班，高中y个班，年利润为z，根据题意找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解解答：解：（I）设开设初中班x个，高中班y个，根据题意，线性约束条
22、件为（1分） （5分）（II）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y（6分）由（I）作出可行域如图（9分）由方程组得交点M（11分）作直线l：2x+3y=0，平移l，当l过点M，z取最大值70（13分）开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元（14分）点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键18（14分）已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，且a2=3，4S2=S4（1）求数列an的通项公式；（2）求证数列2an是等比数列；（3）求使得Sn+22Sn的成立的n的集合考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比关系的确定
23、专题：综合题分析：（1）设数列an的首项为a1，公差为d，由题意得：，解方程可得（2）要证明数列为等比数列，只要证明依题为常数（3）由（1）可求Sn，然后代入不等式Sn+22Sn，结合nN*可求n的值解答：解：（1）设数列an的首项为a1，公差为d由题意得：解得：a1=1，d=2an=2n1（2）依题，数列是首项为2，公比为4的等比数列（3）由a1=1，d=2，an=2n1得Sn=n2点评：本题主要考查了利用等，差数列的基本量表示等差数列的通项公式及前n项和的求解，及利用定义证明等比数列的综合应用19（14分）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sin
24、B+（2c+b）sinC（）求A的大小；（）若sinB+sinC=1，试判断ABC的形状考点：解三角形；三角函数的化简求值 专题：计算题分析：（）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A（）把（）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知ABC是等腰的钝角三角形解答：解：（）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c22bccosA故（）由（）得sin2A=sin
25、2B+sin2C+sinBsinC变形得=（sinB+sinC）2sinBsinC又sinB+sinC=1，得sinBsinC=上述两式联立得因为0B60，0C60，故B=C=30所以ABC是等腰的钝角三角形点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的20（14分）已知Sn是数列an的前n项和，且a1=1，nan+1=2Sn（nN*）（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列an的通项an；（3）设数列bn满足bn=，求数列bn的前n项和Tn考点：数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合 专题：综
26、合题；等差数列与等比数列分析：（1）在中，分别令n=1、2、3即可求得a2，a3，a4的值；（2）累乘法：n1时，由nan+1=2Sn，得（n1）an=2Sn1，化简得nan+1=（n+1）an，即（n1），则，由此可得an=n（n1），注意验证a1；（3）裂项相消法：由（2）可求得，各项按此规律展开即可求得Tn；解答：解：（1）由得，a2=2a1=2，2a3=2S2，则a3=a1+a2=3，由3a4=2S3=2（a1+a2+a3），得a4=4；（2）当n1时，由nan+1=2Sn，得（n1）an=2Sn1，得nan+1（n1）an=2（SnSn1），化简得nan+1=（n+1）an，（n1）
27、a2=2，以上（n1）个式子相乘得（n1），又a1=1，；（3），=点评：本题考查由数列递推式求通项公式、数列求和等知识，若数列an满足：=f（n），则往往利用累乘法求an；若an为等差数列，公差d0，则数列的前n项和用裂项相消法求解，其中=21设三角形ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，sinA=4sinB（1）求b边的长；（2）求角C的大小考点：余弦定理；正弦定理 专题：计算题分析：（1）由正弦定理列出关系式，将a的值，及sinA=4sinB代入，即可求出b的值；（2）由余弦定理表示出cosC，将a，b及c的值代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数解答：解：（1）由正弦定理得：bsinA=asinB，（3分）又a=4，sinA=4sinB，4bsinB=4sinB，即4sinB（b1）=0，又sinB0，则b=1；（6分）（2）由余弦定理得：cosC=，（9分）又0C180，C=60（12分）点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键
