1、 抛物线高考试题考点一 抛物线的定义和标准方程1.(2013年新课标全国卷,文8)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则POF的面积为()(A)2 (B)2 (C)2 (D)4解析:设P(xP,yP)(yP0)由抛物线定义知,xP+=4,xP=3,yP=2,因此SPOF=2=2.故选C.答案:C2.(2012年四川卷,文9)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于()(A)2 (B)2(C)4 (D)2解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则M到焦点的距离为xM+=2
2、+=3,p=2,y2=4x.=42,|OM|=2.故选B.答案:B3.(2011年辽宁卷,文7)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()(A) (B)1 (C) (D)解析:|AF|+|BF|=xA+xB+=3,xA+xB=.线段AB的中点到y轴的距离为=.故选C.答案:C4.(2010年四川卷,文3)抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是()(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2,焦点到准线的距离为4.故选C.答案:C5.(2010年湖南卷,文5)设抛物线y2=
3、8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()(A)4(B)6(C)8(D)12解析:如图所示,抛物线的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,由抛物线的定义知:|PF|=|PE|=4+2=6.故选B.答案:B6.(2013年北京卷,文9)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=;准线方程为.解析:因为抛物线方程为y2=2px,所以焦点坐标为,又焦点坐标为(1,0),则p=2,准线方程为x=-1.答案:2x=-17.(2012年陕西卷,文14)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽m.解析:建立如图所示的平面直角
4、坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),则A(2,-2),将其坐标代入x2=-2py,得p=1.x2=-2y.当水面下降1 m,得D(x0,-3)(x00),将其坐标代入x2=-2y得=6,x0=,水面宽|CD|=2 m.答案:28.(2010年上海卷,文8)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程是.解析:由抛物线的定义知,点P的轨迹是以F为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y2=8x.答案:y2=8x9.(2010年重庆卷,文13)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=.解析:设A(
5、x0,y0),由抛物线定义知x0+1=2,x0=1,则直线ABx轴,|BF|=|AF|=2.答案:2考点二 抛物线的几何性质及其应用1.(2010年山东卷,文9)已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()(A)x=1(B)x=-1(C)x=2(D)x=-2解析:y2=2px的焦点坐标为,过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,=p=2,抛物线的方程为y2=4x,其准线方
6、程为x=-1.故选B.答案:B2.(2011年山东卷,文9)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()(A)(0,2) (B)0,2(C)(2,+)(D)2,+)解析:x2=8y,焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|MF|=y0+2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心F到准线的距离为4,故42.故选C.答案:C3.(2011年四川卷,文11)在抛物线y=x2+ax-5(a0
7、)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为()(A)(-2,-9)(B)(0,-5)(C)(2,-9) (D)(1,-6)解析:当x1=-4时,y1=11-4a;当x2=2时,y2=2a-1,所以割线的斜率k=a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0,由y=2x+a得切线斜率为2x0+a,2x0+a=a-2,x0=-1.直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1),即(a-2)x-y-6=0.圆5x2+5y2=36的圆心到切线的距离d=.由题意得=
8、,即(a-2)2+1=5.又a0,a=4,此时y=x2+4x-5=(x+2)2-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.答案:A4.(2010年大纲全国卷,文15)已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p=.解析:如图所示,由AB的斜率为,知=60,又=,M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l于点P,则ABP=60,BAP=30.|BP|=|AB|=|BM|,M为焦点,即=1,p=2.答案:2考点三 直线与抛物线位置关系1.(2013年江西卷,文9)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线
9、C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|等于()(A)2 (B)12 (C)1 (D)13解析:过点M作MM垂直于准线y=-1于点M,则由抛物线的定义知|MM|=|FM|,所以=sinMNM,而MNM为直线FA的倾斜角的补角.因为直线FA过点A(2,0)、F(0,1),所以kFA=-=tan ,所以sin =,所以sinMNM=,即|FM|MN|=1.故选C.答案:C2.(2013年新课标全国卷,文10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()(A)y=x-1或y=-x+1(B)y=(x-1)或y=-(x-1)(C)y
10、=(x-1)或y=-(x-1)(D)y=(x-1)或y=-(x-1)解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),又F(1,0),则=(1-x1,-y1), =(x2-1,y2),由题意知=3,因此即又由A、B均在抛物线上知解得直线l的斜率为=,因此直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).故选C.答案:C3.(2013年大纲全国卷,文12)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若=0,则k等于()(A)(B) (C) (D)2解析:法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由得k2x2-4(k2+2)x+4k
11、2=0,x1+x2=,x1x2=4,由=0,得(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+k(x1-2)-2k(x2-2)-2=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,连接MF,MP,由=0,知MAMB,则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MPAGBH,所以GAM=AMP=MAP,又|AG|=|AF|,|AM|=|AM|,所以AMGAMF,所以AFM=AGM=90,则MFAB,所以k=-=2.答案:D4.(2010年辽宁
12、卷,文7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于()(A)4(B)8 (C)8 (D)16解析:如图所示,直线AF的方程为y=-(x-2),与准线方程x=-2联立得A(-2,4).设P(x0,4),代入抛物线y2=8x,得8x0=48,x0=6,|PF|=x0+2=8,选B.答案:B5.(2009年大纲全国卷,文11)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于()(A)(B) (C)(D)解析:将y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(
13、4k2-8)x+4k2=0.设交点的横坐标分别为xA,xB,则xA+xB=-4,xAxB=4.又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,2xB+4=xA+2.xA=2xB+2.将代入得xB=-2,xA=-4+2=-2.故xAxB=4.解之得k2=.而k0,k=,满足0.故选D.答案:D6.(2012年安徽卷,文14)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=.解析:由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3点A的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的
14、纵坐标y=2,A(2,2),直线AF的方程为y=2(x-1).由解得或由图知,点B的坐标为,|BF|=-(-1)= .答案:7.(2013年浙江卷,文22)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.解:(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从
15、而|x1-x2|=4.由解得点M的横坐标xM=.同理,点N的横坐标xN=.所以|MN|=|xM-xN|=8=.令4k-3=t,t0,则k=.当t0时,|MN|=22.当t0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.(1)求p的值;(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为.故切线MA的方程为y=-(x+1)+.因为点M(1-y0)在切线MA及抛物线C
16、2上,于是y0=-(2-)+=-, y0=-=-. 由得p=2.(2)设N(x,y),A,B,x1x2,由N为线段AB中点知x=, y=. 切线MA,MB的方程为y=(x-x1)+ , y=(x-x2)+ . 由得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=,y0=.因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,所以x1x2=-. 由得x2=y,x0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.9.(2013年广东卷,文20)已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过
17、点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值.解:(1)抛物线C的焦点F(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为,=,得c=1,F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y得y=x,切线PA:y-y1=x1(x-x1),有y=x1x-+y1,而=4y1,即切线PA:y=x1x-y1,同理可得切线PB:y=x2x-y2.两切线均过定点P(x0,y0),y0=x1x0-y1,y0
18、=x2x0-y2,由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上,直线AB的方程为y0=xx0-y,即y=x0x-y0.(3)设点P的坐标为(x,y),由x-y-2=0,得x=y+2,则|AF|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得y2+(2y-x2)y+y2=0,有y1+y2=x2-2y,y1y2=y2,|AF|BF|=y2+x2-2y+1=y2+(y+2)2-2y+1=22+,当y=-,x=时,即P时,|AF|BF|取得最小值.10.(2012年福建卷,文21)如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p0)上.(1)求抛物线E的
19、方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.(1)解:依题意,|OB|=8,BOy=30.设B(x,y),则x=|OB|sin 30=4,y=|OB|cos 30=12.因为点B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p12,解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)知y=x2,y=x.设P(x0,y0),则x00,y0=,且l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得所以Q为.设M(0,y1),令=0对满足y0=(x00)的x0,y0恒成立.由于=(x0,y0-y1), =,由=0,得-y
20、0-y0y1+y1+=0,即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式对满足y0=(x00)的y0恒成立,所以解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).11.(2012年浙江卷,文22)如图所示,在直角坐标系xOy中,点P到抛物线C:y2=2px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.(1)求p,t的值;(2)求ABP面积的最大值.解:(1)由题意知得(2)由(1)知M(1,1),直线OM的方程为y=x,设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m).由题意知,设直线AB的斜率为k
21、(k0).由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故k2m=1,所以直线AB的方程为y-m=(x-m),即x-2my+2m2-m=0.由消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,所以=4m-4m20,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.从而|AB|=|y1-y2|=.设点P到直线AB的距离为d,则d=.设ABP的面积为S,则S=|AB|d=|1-2(m-m2)|.由=4m-4m20,得0m1.令u=,0u,则S=u(1-2u2).设S(u)=u(1-2u2),00)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线
22、l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解:(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以=4+8t0,解得t-.另一方面,由直线OA与l的距离d=可得=,解得t=1.因为-1,1,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.模拟试题考点一 抛物线的定义和标准方程及其应用1.(2013福建厦门高三上质检)已知F是抛物线y2=4x的焦点,
23、P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是()(A)3(B)4(C)5(D)6解析:圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,|PF|CF|-1,当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),|PF|min=-1=4.故选B.答案:B2.(2013山东潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点F与双曲线-=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则A点的横坐标为()(A)2 (B)3(C)2 (D)4解析:由-=1得c2=4+5=9.双曲线右焦点为(3,0),抛物线焦点
24、坐标为(3,0),抛物线方程为y2=12x.设d为点A(x0,y0)到准线的距离,由抛物线定义知d=|AF|=x0+3,由题意得|y0|=x0+3,代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0,解得x0=3.故选B.答案:B考点二 抛物线几何性质的应用1.(2013云南师大附中高三高考适应性月考卷)在直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.解析:线段OA的斜率k=,中点坐标为.所以线段OA的垂直平分线的方程是y-=-2(x-1),令y=0得到x=.即抛物线的焦点为.所以该抛物线的准线方程为x=-.答案:x=-2.(
25、2013云南省昆明一中高三第二次高中新课程双基检测)已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则MAF的平分线所在直线的方程为.解析:点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线,kMF=-2,所以MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.答案:x-2y+4=0考点三 直线与抛物线的位置关系1.(2013河南郑州高三第一次质量预测)已知抛物线x
26、2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为()(A)(B)(C)1 (D)2解析:易知,AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+b.由得x2-4kx-4b=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个根,x1+x2=4k,x1x2=-4b,又|AB|=6,=6,化简得b=-k2,设AB中点为M(x0,y0),则y0=+b=2k2+-k2=k2+=(k2+1)+ -12-1=2.当且仅当k2+1=,即k2=时,y0取到最小值2.故选D.答案:D2.(2013北京海淀高三上期末)已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛
27、物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.(1)求抛物线方程及其焦点坐标;(2)已知O为原点,求证:MON为定值.解:(1)点E(2,2)在抛物线y2=2px上,4=2p2,p=1.抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为.(2)显然,直线l斜率存在,且不为0.设l斜率为k,则l方程为y=k(x-2).由得ky2-2y-4k=0,设A,B.则y1+y2=,y1y2=-4.kEA=.EA方程为y-2=(x-2).令x=-2,得y=2-=.M.同理可求得N.=4+=4+=0.即MON=90,MON为定值.综合检测1.(2012东北三校第二次联考)若抛物线y2=2px
28、(p0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p的值为()(A)2 (B)18(C)2或18 (D)4或16解析:设P(x0,y0),则36=2p,即p2-20p+36=0.解得p=2或18.故选C.答案:C2.(2012洛阳二模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线与该抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则+的最小值是()(A)4(B)8(C)12(D)16解析:抛物线的准线方程为x=-1,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,+=4x1+4x2=4(|AF|+|BF|)-8=4|AB|-8.|AB|的最小值为4(当ABx轴时取得),+的最小值为8.故
29、选B.答案:B3.(2012陕西五校联考)设动点P(x,y)(x0)到定点F的距离比到y轴的距离大.记点P的轨迹为曲线C.(1)求点P的轨迹方程;(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时弦长BD是否为定值?说明理由;(3)过F作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形GRHS面积的最小值.解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F为焦点,直线l:x=-为准线的抛物线,其方程为y2=2x.(2)是定值.解法如下:设圆心M,半径r=,圆的方程为+(y-a)2=a2+,令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),BD=2,即弦长BD为定值.(3)设过F的直线GH的方程为y=k,G(x1,y1),H(x2,y2),由得k2x2-(k2+2)x+=0,x1+x2=1+,x1x2=,|GH|=2+,同理得|RS|=2+2k2.S四边形GRHS=(2+2k2)=28(当且仅当k=1时取等号).四边形GRHS面积的最小值为8.
