1、高二数学“每周一练”系列试题（27）1已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值2根据下列条件求抛物线的标准方程（1）抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；（2）过点P（2，4）；（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|53设抛物线y22px（p0）的焦点为F，Q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO交准线于P点，过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点，求证：04已知A、B两点在抛物线C：x24y上，点M（0,4）满足（1）求证：；（2）设抛物线C过A、B两点的切线交于点N求证：点N在一条定直线
2、上；设49，求直线MN在x轴上截距的取值范围5设抛物线过定点A（2,0），且以直线x2为准线（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；（2）已知点B（0，5），轨迹C上是否存在满足0的M、N两点？证明你的结论参考答案1解：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得 ，解之得或， 故所求的抛物线方程为，2、解：（1）双曲线方程化为1，左顶点为（3,0），由题意设抛物线方程为y22px（p0）且3，p6，方程为y212x（2）由于P（2，4）在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2mx或x2ny代入P点坐标求得m8，n1，所求抛物线方程为y28x或x2y（3）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y22
3、px（p0），A（m，3），由抛物线定义得5|AF|m|又（3）22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x3、证明：设Q（，y0），则R（，y0），直线OQ的方程为yx，将x代入上式，得y，P（，）又F（，0），（p，），（p，y0）04、解：设A（x1，y1），B（x2，y2），lAB：ykx4与x24y联立得x24kx160，（4k）24（16）16k2640，x1x24k，x1x216，（1）证明：x1x2y1y2x1x2（kx14）（kx24）（1k2）x1x24k（x1x2）16（1k2）（16）4k（4k）160， （2）证明：过点A的切线：yx1（xx1）y1x
4、1xx，过点B的切线：yx2xx，联立得点N（，4），所以点N在定直线y4上，（x1，y14）（x2,4y2），联立可得k22,49，k2直线MN：yx4在x轴的截距为k，直线MN在x轴上截距的取值范围是，5、解：（1）设抛物线顶点P（x，y），则抛物线的焦点F（2x2，y），由抛物线的定义可得41轨迹C的方程为1（x2）（2）不存在证明如下：过点B（0，5）斜率为k的直线方程为ykx5（斜率不存在时，显然不符合题意），由得（4k2）x210kx90，由0得k2假设在轨迹C上存在两点M、N，令MB、NB的斜率分别为k1、k2，则|k1|，|k2|，显然不可能满足k1k21，轨迹C上不存在满足0的两点
