1、第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3) (对应学生用书(文)、(理)2425页)考情分析考点新知 对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题，同时也有综合性较强的解答题出现，目的是结合其他章节的知识，综合进行考查. 幂函数的考查较为基础，以常见的5种幂函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点. 知道对数函数是一类重要的函数模型. 了解指数函数yax与对数函数ylogax的相互关系(a0，a1). 了解幂函数的概
2、念，结合函数yx，yx2，yx3，yx1，yx2的图象，了解它们的变化情况.1. (必修1P112测试8改编)已知函数f(x)logax(a0，a1)，若f(2)f(3)，则实数a的取值范围是_答案：(0，1)解析：因为f(2)f(3)，所以f(x)logax单调递减，则a(0，1)2. (必修1P89练习3改编)若幂函数yf(x)的图象经过点，则f(25)_答案：解析：设f(x)x，则9， ，即f(x)x，f(25).3. (必修1P111习题15改编)函数f(x)ln是_(填“奇”或“偶”)函数答案：奇解析：因为f(x)lnlnlnf(x)，所以f(x)是奇函数4. (必修1P87习题13
3、改编)不等式lg(x1)1的解集为_. 答案：(1，11)解析：由0x110， 1x0，a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)2. 对数函数的图象与性质a10a0；当0x1时，f(x)0(4) 当x1时，f(x)0(5) 是(0，)上的增函数(5) 是(0，)上的减函数3. 幂函数的定义形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数4. 幂函数的图象5. 幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRRx|x0x|xR且x0值域Ry|y0Ry|y0y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减，0，)增增增(，0)减，(0，)减定点(1，1)备课
4、札记题型1对数函数的概念与性质例1(1) 设a1，函数f(x)logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差是，则a_；(2) 若alog0.40.3，blog54，clog20.8，用小于号“”将a、b、c连结起来_；(3) 设f(x)lg是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是_；(4) 已知函数f(x)|log2x|，正实数m、n满足m1， 函数f(x)logax在区间a，2a上是增函数， loga2alogaa， a4.(2) 由于a1，0b1，c0，所以cba.(3) 由f(x)f(x)0，得a1，则由lg0，得解得1x0.(4) 结合函数f(x)|log2x|的图象，易知0m1，且
5、mn1，所以f(m2)|log2m2|2，解得m，所以n2.(1) 设loga1，则实数a的取值范围是_；(2) 已知函数f(x)lg(x2t)的值域为R，则实数t的取值范围是_；(3) 若函数f(x)loga|x1|在(1，0)上有f(x)0，则函数f(x)的单调减区间是_；(4) 若函数f(x)log(x22ax3)在(，1内为增函数，则实数a的取值范围是_答案：(1) 0a或a1(2) a0(3) (1，)(4) 1，2)解析：(1) 分a1与a1两种情形进行讨论(2) 值域为R等价于x2a可以取一切正实数(3) 函数f(x)的图象是由yloga|x|的图象向左平移1个单位得到， 0a1
6、.(4) 令g(x)x22ax3，则解得1a2.题型2幂函数的概念与性质例2已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数(1) 求m的值；(2) 求满足不等式(a1)(32a)的实数a的取值范围解：(1) 因为函数yx3m9在(0，)上是减函数，所以3m90，所以m3.因为mN*，所以m1或2.又函数图象关于y轴对称，所以3m9是偶数，所以m1.(2) 不等式(a1)(32a)即为(a1)32a0或0a132a或a1032a.解得a1或a，即实数a的取值范围是a1或a0，则方程(a1)t2at10有且只有一个正根a1t，不合题意；a1时，0a或3.若at2，不合题意
7、，若a3t；a1时，0，一个正根与一个负根，即1.综上，实数a的取值范围是3(1，)已知函数f(x)lg(axbx)(a1b0)(1) 求函数yf(x)的定义域；(2) 在函数yf(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴；(3) 当a、b满足什么关系时，f(x)在区间上恒取正值解：(1) 由axbx0，得x1，因为a1b0，所以1，所以x0，即函数f(x)的定义域为(0，)(2) 设x1x20，因为a1b0，所以ax1ax2，bx1bx2，所以ax1bx1ax2bx20，于是lg(ax1bx1)lg(ax2bx2)，即f(x1)f(x2)，因此函数f(x)在区间(0，)上是
8、增函数假设函数yf(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直线AB平行于x轴，即x1x2，y1y2，这与f(x)是增函数矛盾故函数yf(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴(3) 由(2)知，f(x)在区间(1，)上是增函数，所以当x(1，)时，f(x)f(1)，故只需f(1)0，即lg(ab)0，即ab1，所以当ab1时，f(x)在区间(1，)上恒取正值1. (2013南师大模拟)已知函数f(x)log2x2log2(xc)，其中c0，若对任意x(0，)，都有f(x)1，则c的取值范围是_答案：c解析：由题意，在x(0，)上恒成立，所以c.2.
9、 (2013辽宁)已知函数f(x)ln1，则f(lg2)f_答案：2解析：f(x)f(x)ln(3x)ln(3x)2ln(19x29x2)22，所以f(lg2)ff(lg2)f(lg2)2.3. (2013江西检测)已知x(log0.5)y(y)(log0.5)x，则实数x、y的关系为_答案：xy0解析：由x(log0.5)y(y)(log0.5)x，得x(log0.5)x(y)(log0.5)y.设f(x)x(log0.5)x，则f(x)f(y)，由于0log0.51，所以函数f(x)是R上的增函数，所以xy，即xy0，由af2(x)f(x)1，得a(当且仅当f(x)2时等号成立)，所以实数
10、a的最小值为.1. 若函数f(x)log2|ax1|(a0)，当x时，有f(x)f(1x)，则a_答案：2解析：由f(x)f(1x)，知函数f(x)的图象关于x对称，而f(x)log2log2|a|，从而，所以a2.2. 已知函数f(x)x，x1，8，函数g(x)ax2，x1，8，若存在x1，8，使f(x)g(x)成立，则实数a的取值范围是_答案：1，)解析：分别作出函数f(x)x，x1，8与函数g(x)ax2，x1，8的图象当直线经过点(1，1)时，a1；当直线经过点(8，4)时，a.结合图象有a或a1.3. 已知函数f(x)|lgx|，若0ab，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围是_答
11、案：(3，)解析：因为f(a)f(b)，即|lga|lgb|，所以ab(舍去)或b，得a2ba.又0ab，所以0a1f(1) 123，即a2b的取值范围是(3，)4. 已知两条直线l1：ym和l2：y，l1与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点A、B，l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点C、D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b.当m变化时，求的最小值解：由题意得xAm，xB2m，xC，xD2，所以a|xAxC|，b|xBxD|，即22m2m.因为m(2m1)2，当且仅当(2m1)，即m时取等号所以，的最小值为28.1. 指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件，是求解有关指数、对数问题时必须予以重视的，如果底数含有参数，一般需分类讨论2. 与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1) 确定定义域；(2) 把复合函数分解为几个初等函数；(3) 确定各个基本初等函数的单调区间；(4) 根据“同增异减”判断复合函数的单调性
