1、2022精编复习题（三十四） 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积小题对点练点点落实对点练(一)空间几何体的三视图和直观图1给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱其中正确的命题个数是()A0B1 C2D3解析：选A直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误，故选A.2(2021广州六校联考)已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数为()A5B4 C3D2解析：选B
2、由题知可以作为该几何体的俯视图的图形可以为.故选B.3在如图所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和B和C和D和解析：选D由题意得，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)，且内有一条虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是；俯视图即在底面的射影，是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是.4.如图，OAB是OAB的水平放置的直观图，其
3、中OAOB2，则OAB的面积是_解析：在RtOAB中，OA2，OB4，OAB的面积S244.答案：45一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为_cm.解析：如图，过点A作ACOB，交OB于点C.在RtABC中，AC12 cm，BC835(cm)AB13(cm)答案：13对点练(二)空间几何体的表面积与体积1已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A.B.C.D.解析：选C设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2rl，l2r，则圆锥的表面积S表r2(2r)2a，r2，2r.2(全国卷)如图，网
4、格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90B63 C42D36解析：选B由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V321032663.3(2021湖北四校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A16B(10)C4(5)D6(5)解析：选C该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，其表面积为S444(5).4(山东高考)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2
5、,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，V21121212.答案：25我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)解析：由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为Vh(rrr中r下)9(10262106)588(立方寸)，降雨量为3(寸)答案：36(2021合肥市质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的
6、体积是原直三棱柱的体积的_解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为 2(24)6的四棱锥，其体积为624.而直三棱柱的体积为2248，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的.答案：对点练(三)与球有关的切、接应用问题1在三棱锥A BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为()A2B6 C4D24解析：选B设相互垂直的三条侧棱AB，AC，AD分别为a，b，c则ab，bc，ac，解得a，b1，c.所以三棱锥A BCD的外接球的直径2R，则其外接球的表面积S4R26.2已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为()A8B12 C.D
7、3解析：选D如图所示，过顶点A作AO底面BCD，垂足为O，则O为正三角形BCD的中心，连接DO并延长交BC于点E，又正四面体的棱长为，所以DE，ODDE，所以在直角三角形AOD中，AO.设正四面体外接球的球心为P，半径为R，连接PD，则在直角三角形POD中，PD2PO2OD2，即R222，解得R，所以外接球的表面积S4R23.3(2021湖北七市(州)联考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为()A36B. C32D28解析：选B根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4
8、，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球，其中心到三棱柱 6个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径三棱柱的底面是边长为4的正三角形，底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为2，外接球的半径R ，外接球的表面积S4R24，故选B.4.(2021陕西西工大附中训练)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD底面ABCD，且PDm，PAPCm，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是_解析：由PD底面ABCD，得PDAD.又PDm，PAm，则ADm.设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP(图略)，易知VP ABCDVO ABCDVO PADVO PA
9、BVO PBCVO PCD，即m2mm2Rm2Rm2Rm2Rm2R，解得R(2)m，所以此球的最大半径是(2)m.答案：(2)m大题综合练迁移贯通1有一根长为3 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC3 cm，AB4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度AC5(cm)故铁丝的最短长度为5 cm.2.一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为
10、1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.所以V11.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形S2(11112)62.3一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积解：正三棱锥S ABC如图所示，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高连接AH并延长交BC于点E，则E为BC的中点，且AEBC.ABC是边长为6的正三角形，AE63，AHAE2.在ABC中，S ABCBCAE639.在RtSHA中，SA，AH2，SH，V正三棱锥SABCSH99.
