1、滚动测试卷二(第一五章)(时间:120分钟满分:150分)滚动测试卷第5页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.集合A=xN|x-1|1,B=x|y=1-x2,则AB的子集个数为()A.1B.2C.4D.8答案:C解析:集合A=xN|x-1|1=0,1,2,B=x|y=1-x2=x|-1x1,AB=0,1.集合AB的子集个数为22=4,故选C.2.1+2i1-2i=()A.-45-35iB.-45+35iC.-35-45iD.-35+45i答案:D解析:1+2i1-2i=(1+2i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=1-4+4i5=-35+45i.3.下列结论正确的是()
2、A.若命题p:x0,都有x20,则p:x00,使得x020B.若命题p和pq都是真命题,则命题q也是真命题C.在ABC中,a,b,c是内角A,B,C所对的边,则acos BD.命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x-2或x1,则x2+x-20”答案:C解析:若命题p:x0,都有x20,则p:x00,使得x020.故A项错误;若命题p和pq都是真命题,则命题q可能是真命题,也可能是假命题.故B项错误;在ABC中,由ab可知0ABcos B,C项正确;命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x-2且x1,则x2+x-20”.故D项错误.故选C.4.如图,
3、阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形,则这个阴影区域的面积是()A.1B.2C.2D.答案:B解析:由题意可知阴影区域的面积是S=-232cos xdx=-sin x|232=2.故选B.5.(2019广东汕头高三二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(1+x)=f(1-x),且f(1)=a,则f(2)+f(3)+f(4)=()A.0B.-aC.aD.3a答案:B解析:由f(1+x)=f(1-x),且f(x)是R上的奇函数,可知f(x)是周期为4的周期函数,f(0)=0,所以f(4)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-a,f(2)=f(1+1)=
4、f(1-1)=f(0)=0,所以f(2)+f(3)+f(4)=0-a+0=-a.6.(2019广东汕头二模)函数f(x)=3cosx-2+cos(-x)的单调递增区间为()A.-56+2k,6+2k,kZB.-23+2k,3+2k,kZC.-3+2k,23+2k,kZD.-6+2k,56+2k,kZ答案:C解析:f(x)=3cosx-2+cos(-x)=3sin x-cos x=2sinx-6,由-2+2kx-62+2k,kZ,得-3+2kx23+2k,kZ,所以f(x)的单调递增区间为-3+2k,23+2k,kZ.7.函数y=ln1-x1+x+sin x的图象大致为()答案:A解析:易知f(
5、x)=ln1-x1+x+sin x的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln1+x1-x+sin(-x)=-ln1-x1+x-sin x=-f(x),即函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C,D;又f12=ln 13+sin 12=sin 12-ln 30,故排除选项B,所以选A.8.在四边形ABCD中,ACBD,且AC=2,BD=3,则ABCD的最小值为()A.134B.-134C.154D.-154答案:B解析:设AC与BD相交于点O,以O为原点,AC,BD为坐标轴建立平面直角坐标系,设C(a,0),D(0,b),则A(a-2,0),B(0,b-3),故AB=(2-a,b-3)
6、,CD=(-a,b).ABCD=a(a-2)+b(b-3)=(a-1)2+b-322-134.当a=1,b=32时,ABCD取得最小值-134.9.设偶函数f(x)对任意xR,都有f(x+3)=-1f(x),且当x-3,-2时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10B.110C.-10D.-110答案:B解析:f(x+3)=-1f(x),f(x+6)=-1f(x+3)=-1-1f(x)=f(x).函数f(x)是以6为周期的函数.f(107.5)=f(617+5.5)=f(5.5)=-1f(2.5)=-1f(-2.5)=-14(-2.5)=110.故选B.10.已知函数y=sin(x+
7、)-2cos(x+)(0)的图象关于直线x=1对称,则sin 2=()A.-45B.-35C.35D.45答案:A解析:y=sin(x+)-2cos(x+)=5sin(x+-),其中sin =25,cos =15.函数y的图象关于直线x=1对称,+-=2+k,kZ,即=-2+k,kZ.sin 2=sin 2-2+k=sin(2-+2k)=sin(2-)=-sin 2=-2sin cos =-22515=-45,故选A.11.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B=14,sinCsinA=2,且SABC=154,则b=()A.4B.3C.2D.1答案:C解析:由cos B
8、=14,0B0时,不等式f(x)+xf(x)cbB.cabC.cbaD.bac答案:C解析:构造函数g(x)=xf(x),则g(x)=f(x)+xf(x),当x0时,不等式f(x)+xf(x)0时,g(x)0,函数g(x)单调递减.函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),g(x)在R上是奇函数,g(x)在R上是减函数.a=30.2f(30.2),b=(log2)f(log2),c=log214flog214,log214=-2,而-2log2ba.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知tanx+4=-2,则sin
9、 2x+2cos2x=.答案:45解析:tanx+4=tanx+11-tanx=-2,tan x=3,则sin 2x+2cos2x=2tanx+2tan2x+1=45.14.已知函数f(x)=-2ex,x0,lnx,x0(其中e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x)的零点是.答案:e解析:令f(x)=t,则y=f(t).由f(t)=0,可得t=1;由f(x)=1,可得x=e.故函数y=f(f(x)的零点是e.15.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是
10、有一个三角形沙田,三边分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米.答案:4 062.5解析:由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6 500米,BC=14里=7 000米,AC=15里=7 500米,在ABC中,由余弦定理有cos B=AB2+BC2-AC22ABBC=132+142-15221314=513,B为锐角,sin B=1-cos2B=1213,设ABC外接圆半径为R,则由正弦定理有bsinB=2R,R=b2sinB=7 50021213=4 062.5米.16.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABAC=BABC=
11、1,则c=.答案:2解析:由内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,可知AB=c,AC=b,BC=a.由ABAC=BABC,得cbcos A=cacos B.故由正弦定理,得sin Bcos A=cos Bsin A,即sin(B-A)=0.因为-B-A,所以B=A,从而b=a.由已知BABC=1,得accos B=1.故由余弦定理知aca2+c2-b22ac=1,即a2+c2-b2=2,故c=2.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)设向量a=(4cos ,sin ),b=(sin ,4cos ),c=(cos ,-4sin ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(+)的值;
12、(2)求|b+c|的最大值;(3)若tan tan =16,求证:ab.(1)解因为a与b-2c垂直,所以a(b-2c)=4cos sin -8cos cos +4sin cos +8sin sin =4sin(+)-8cos(+)=0,因此tan(+)=2.(2)解由b+c=(sin +cos ,4cos -4sin ),得|b+c|=(sin+cos)2+(4cos-4sin)2=17-15sin242.又当=k-4(kZ)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为42.(3)证明由tan tan =16,得16cos cos =sin sin ,故ab.18.(12分)某公司为了获得更大的收
13、益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费t百万元,可增加销售额约为-t2+7t百万元.(1)若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此增加的收益最大?(2)现该公司准备共投入5百万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改造费x(1x5)百万元,可增加的销售额约为12x2+4ln x百万元,请设计一个资金分配方案,使该公司由此增加的收益最大.(注:收益=销售额-投入,这里除了广告费和技术改造费,不考虑其他的投入)解:(1)设每年投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元,则由f(t)=(-t2+7t)-t=-t2+6t=-
14、(t-3)2+9(0t4).当t=3时,f(t)取得最大值9,即投入3百万元的广告费时,该公司由此增加的收益最大.(2)用于技术改造的资金为x百万元,则用于广告促销的资金为(5-x)百万元,设由此增加的收益是g(x)百万元.则g(x)=12x2+4ln x+-(5-x)2+7(5-x)-5=-12x2+3x+4ln x+5.g(x)=-x+3+4x=-x2-3x-4x=-(x-4)(x+1)x,1x5.则当1x0;当4x5时,g(x)0,0,02的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=fx-122,求函数g(x)在区间-6,3上的最大值,并确定此时x的值.解:(1)由题
15、图,知A=2,T4=3,则2=43,即=32.又f-6=2sin32-6+=2sin-4+=0,sin-4=0.02,-4-44,-4=0,即=4,f(x)的解析式为f(x)=2sin32x+4.(2)由(1)可得fx-12=2sin32x-12+4=2sin32x+8,g(x)=fx-122=41-cos3x+42=2-2cos3x+4,x-6,3,-43x+454,当3x+4=,即x=4时,g(x)max=4.20.(12分)(2019广东深圳高三二模)已知在ABC中,AB=2BC,AC=25,点D在边AC上,且AD=2CD,ABD=2CBD.(1)求ABC的大小;(2)求ABC的面积.解
16、:(1)依题意,设ABD=2CBD=2,则ABC=3.0ABC,03.在BAD中,由正弦定理,得ABsinADB=ADsinABD,sinADB=ABsinABDAD.在BCD中,由正弦定理,得BCsinBDC=CDsinCBD,sinBDC=BCsinCBDCD.ADB+BDC=,sinADB=sinBDC.又AB=2BC,AD=2CD,2BCsin22CD=BCsinCD,2sin cos =sin .00,得x1;由f(x)0,得-13x0时,m(x)0;当x0时,m(x)0,当x0时,h(x)0时,h(x)0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a
17、-1;当a0时,h(x)=2(ex-eln a)(x-sin x),由h(x)=0得x1=ln a,x2=0.()当0a1时,ln a0,当x(-,ln a)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当x(ln a,0)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=ln a时h(x)取到极大值.极大值为h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2,当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;()当a=1时,ln a=0,所以当x(-,+)时,h(x)0,函数h(x)在区间(-,+)内单调递增,无极值;()当a
18、1时,ln a0,所以当x(-,0)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当x(0,ln a)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=ln a时h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.综上所述:当a0时,h(x)在区间(-,0)内单调递减,在区间(0,+)内单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当0a1时,函数h(x)在区间(-,0)和(ln a,+)内单调递增,在(0,ln a)内单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.
