1、第2课时直线与椭圆 直线与椭圆的位置关系1.若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()A.m1 B.m0C.0m5且m1 D.m1且m5答案D解析方法一由于直线ykx1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则00且m5，5k2m10，m1且m5.2.已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根
2、，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点. 弦长及中点弦问题命题点1弦长问题例1斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，
3、B两点，则|AB|的最大值为()A.2 B. C. D.答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.命题点2中点弦问题例2已知P(1，1)为椭圆1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_.答案x2y30解析方法一易知此弦所在直线的斜率存在，设其方程为y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1x
4、22，2，解得k.经检验，k满足题意.故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.方法二易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.经检验，k满足题意.此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|(
5、k为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点A(1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|时，则直线l的方程为_.答案xy10或xy10.解析由题意得b1，c1.a2b2c2112.椭圆方程为x21.若直线l斜率不存在时，|CD|2，不符合题意.若l斜率存在时，设l的方程为ykx1，联立得(k22)x22kx10.8(k21)0恒成立.设C(x1，y1)，D(x2，y2).x1x2，x1x2.|CD|x1x2|.即，解得k22，k.直线l方程为xy10或xy10.(2)(
6、2019石家庄模拟)已知椭圆1(ab0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2).AB的中点为M，x1x22，y1y21.PFl，kPFkl.1，1.0，0，可得2bca2，4c2(a2c2)a4，化为4e44e210，解得e2，又0eb0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线P
7、B的斜率.解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0).设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二
8、次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.跟踪训练2已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程.解(1)由题意知，F1B1B2为等边三角形，则即解得故椭圆C的方程为3y21.(2)易知椭圆C的方程为y21，当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y
9、k(x1)，由得(2k21)x24k2x2(k21)0，8(k21)0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)，因为，所以0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k210，解得k2，即k，故直线l的方程为xy10或xy10.1.若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A.至多为1 B.2 C.1 D.0答案B解析由题意知，2，即b0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，1
10、)，则椭圆E的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1答案D解析kAB，kOM1，由kABkOM，得，a22b2.c3，a218，b29，椭圆E的方程为1.6.(2019南昌模拟)椭圆ax2by21(a0，b0)与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()A. B. C. D.答案B解析方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则axby1，axby1，即axax(byby)，则1，1，由题意知，1，过点与原点的直线的斜率为，即，(1)1，故选B.方法二由消去y，得(ab)x22bxb10，可得AB中点P的坐标为，kOP，.7.直线ykxk1与椭圆1的位置关系
11、是_.答案相交解析由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.设F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_.答案1解析F2AB是面积为4的等边三角形，ABx轴，A，B两点的横坐标为c，代入椭圆方程，可求得|F1A|F1B|.又|F1F2|2c，F1F2A30，2c.又 2c4，a2b2c2，由解得a29，b26，c23，椭圆C的方程为1.9.设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是_.答
12、案1解析()()0，PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212，2mn4，mn2，mn1.10.(2020湖北部分重点中学联考)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|3|BF1|，|AB|BF2|，则椭圆C的离心率为_.答案解析设|BF1|k，则|AF1|3k，|BF2|4k.由|BF1|BF2|AF1|AF2|2a，得2a5k，|AF2|2k.在ABF2中，cosBAF2，又在AF1F2中，cosF1AF2，所以2ck，故离心率e.11.已知椭圆C：1，过椭圆C上一点P(1，)作倾斜角互
13、补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，则直线AB的斜率为_.答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为yk(x1)，代入椭圆方程化简，得(k22)x22k(k)xk22k20，显然1和x1是这个方程的两解，因此x1，y1，由k代替x1，y1中的k，得x2，y2，所以.故直线AB的斜率为.12.设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0，1)是E上一点.(1)求椭圆E的方程；(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且2，求直线BF2的方程.解(1)由题意知，b1，且e2，解得a22，所以椭圆E的方程为y21.(2)由题意知，直线A
14、B的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为xmy1，设A(x1，y1)，B(x2，y2).由得(m22)y22my10，则y1y2，y1y2，因为F1(1，0)，所以(1x2，y2)，(x11，y1)，由2可得，y22y1，由可得B，则或，所以直线BF2的方程为x6y0或x6y0.13.(2019全国100所名校联考)已知椭圆C：x21(b0，且b1)与直线l：yxm交于M，N两点，B为上顶点.若|BM|BN|，则椭圆C的离心率的取值范围是()A. B. C. D.答案C解析设直线yxm与椭圆x21的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(b21)x22mxm2b20，所以x1x2
15、，x1x2，(2m)24(b21)(m2b2)4b2(b21m2)0.设线段MN的中点为G，知G点坐标为，因为|BM|BN|，所以直线BG垂直平分线段MN，所以直线BG的方程为yxb，且经过点G，可得b，解得m.因为b21m20，所以b2120，解得0b，因为e21b2，所以eb0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点.若ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为_.答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减得0.(*)因为ABF1的重心为G，所以故代入(*)式得0，所以，即a23b2，所以椭圆C的离心率e.15.已知椭圆具有
16、如下性质：若椭圆的方程为1(ab0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：1(ab0)，其焦距为2，且过点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则OCD面积的最小值为()A. B. C. D.2答案B解析由题意可得2c2，即c1，a2b21，将点代入椭圆方程，可得1，解得a，b1，即椭圆的方程为y21，设B(x2，y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为xy2y1，令x0，得yD，令y0，可得xc，所以SOCD，又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x20，y20，y1，即有2，即SOCD，
17、当且仅当y，即点B的坐标为时，OCD面积取得最小值，故选B.16.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OAOB时，求AOB的面积.解(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，由题意可得解得故椭圆C的标准方程为y21.(2)直线OP的方程为yx，设直线AB的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2).将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2mxm210，由3m24(m21)0，得m24，所以x1x2m，x1x2m21.由OAOB，得0，x1x2y1y2x1x2x1x2m(x1x2)m2(m21)m(m)m2m20，得m2.又|AB|，O到直线AB的距离d，所以SAOB|AB|d.
