1、第五讲空间角与距离、空间向量及应用1.2020湖北部分重点中学高三测试如图8 - 5 - 1,E,F 分别是三棱锥P - ABC的棱AP,BC的中点,PC=10,AB=6,EF =7,图8 - 5 - 1则异面直线AB与PC所成的角为()A.30B.60 C.120D.1502.2019湖南长沙市长郡中学二模图8 - 5 - 2中的三个正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F ,G均为所在棱的中点,过E,F ,G作正方体的截面.下列各选项中,关于直线BD1与平面EF G的位置关系描述正确的是()图8 - 5 - 2A.BD1平面EF G的有且只有,BD1平面EF G的有且只有B.BD1平
2、面EF G的有且只有,BD1平面EF G的有且只有C.BD1平面EF G的有且只有,BD1平面EF G的有且只有D.BD1平面EF G的有且只有,BD1平面EF G的有且只有3. 2019安徽宣城二调如图8 - 5 - 3,在棱长为2的正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F 分别为棱AA1,BB1的中点,M为棱A1B1上一点,且A1M=(00),则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,a),D1(0,0,a),所以AC=( - 2,2,0),AD1=( - 2,0,a),CC1=(0,0,a).设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则nAC=0,nA
3、D1=0,即-2x+2y=0,-2x+az=0,取x=1,则n=(1,1,2a)为平面ACD1的一个法向量.设直线CC1与平面ACD1所成的角为,则sin =|cos|=|nCC1|n|CC1|=|22+4a2a|=13,解得a=4,故选C.5.C设E,F,G分别为AC,AB,AC 的中点,连接HE,HG,EF,FG,FH,CH,则HE平面ABC,HG平面ABC ,EFAB,FGAB.设EFG=,易知H与E,F,G共面,则EFH=2,由二面角的定义,知EFG为二面角C - AB - C 的平面角.易知HE=EFtan 2=tan 2,CE=2.设球H的半径为R,则CH=R,在RtCEH中,CH
4、2=CE2+EH2,即R2=2+tan22,由12=4R2,得R2=3,所以tan22=1,所以=2.故选C.6.(1)因为BAP=90,所以PAAB,又侧面PAB底面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,PA平面PAB,所以PA平面ABCD.又BD平面ABCD,所以PABD.又BCD=120,四边形ABCD为平行四边形,所以ABC=60,又AB=AC,所以ABC为等边三角形,所以四边形ABCD为菱形,所以BDAC.又PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BD平面PAC,又BD平面PBD,所以平面PAC平面PBD. (2)由平面AMC把四面体PACD分成体积相等的两部分,知M为P
5、D的中点.取BC的中点N,连接AN,由AB=AC知ANBC.由(1)知PA平面ABCD,以A为坐标原点,AN,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图D 8 - 5 - 12所示的空间直角坐标系,图D 8 - 5 - 12则A(0,0,0),C(3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),PM=(0,1, - 1),PC=(3,1, - 2),AM=(0,1,1),AC=(3,1,0).设平面MPC的法向量为v1=(x1,y1,z1),则PMv1=0,PCv1=0,即y1-z1=0,3x1+y1-2z1=0,令y1=1,则可得v1=(33,1,1)为平面MPC
6、的一个法向量.设平面MAC的法向量为v2=(x2,y2,z2),则AMv2=0,ACv2=0,即y2+z2=0,3x2+y2=0,令x2=1,则可得v2=(1, - 3,3)为平面MAC的一个法向量.设二面角P - MC - A的大小为,则|cos |=|v1v2|v1|v2|=17,则二面角P - MC - A的正弦值为437.7.如图D 8 - 5 - 13所示,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.图D 8 - 5 - 13(1)易知D(0,0,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),C(0,3,0),则DA1=(1,0,1),
7、CD1=(0, - 3,1),|cos|=|DA1CD1|DA1|CD1|=122=24.所以异面直线D1C与A1D所成角的余弦值为24.(2)由题意知,m=(0,0,1)为平面DEC的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面D1EC的法向量,则|cos|=|mn|m|n|=|z|x2+y2+z2=cos 45=22,所以z2=x2+y2.易知D1C=(0,3, - 1),由nD1C得nD1C=0,所以3y - z=0.令y=1,由知n=(2,1,3)为平面D1EC的一个法向量,又易知CB=(1,0,0),所以点B到平面D1EC的距离d=|CBn|n|=26=33.8.(1)在半圆柱中,BB1平
8、面PA1B1,PA1平面PA1B1,所以BB1PA1.因为A1B1是上底面对应圆的直径,所以PA1PB1.因为PB1BB1=B1,PB1平面PBB1,BB1平面PBB1,所以PA1平面PBB1.(2)根据题意,以C为坐标原点建立空间直角坐标系C - xyz,如图D 8 - 5 - 14所示.图D 8 - 5 - 14设CB=1,则C(0,0,0),A1(0,1,2),B1(1,0,2),所以CA1=(0,1,2),CB1=(1,0,2).易知n1=(0,0,1)为平面PA1B1的一个法向量.设平面CA1B1的法向量为n2=(x,y,z),则y+2z=0,x+2z=0,令z=1,则x= - 2,
9、y= - 2,所以n2=( - 2, - 2,1)为平面CA1B1的一个法向量.所以cos=115=55.由图可知二面角P - A1B1 - C为钝二面角,所以所求二面角的余弦值为 - 55.9.AC连接B2C和D2B2.易知AD1BC1B2C,则D2CB2为异面直线D2C与AD1所成的角.连接AB2,易知AB2A2B,AB2BC,又A2BBC=B,所以AB2平面A2BCD2.连接B1C,同理可证B1C平面ABC1D1,所以平面A2BCD2与平面ABC1D1的夹角即异面直线AB2与B1C所成的角.连接AD2,易知B1CAD2,所以异面直线AB2与B1C所成的角即D2AB2.又A1A2=2A1B
10、1=2B1C1=2,所以B2D2C与B2D2A均为正三角形,所以D2CB2=60,D2AB2=60,即异面直线D2C与AD1所成的角为60,平面A2BCD2与平面ABC1D1的夹角为60,故A正确,B错误.因为B1C平面ABC1D1,且B1C与BC1垂直平分,所以点B1与点C到平面ABC1D1的距离相等,又A1B1平面ABC1D1,所以点A1与点B1到平面ABC1D1的距离相等,即点A1与点C到平面ABC1D1的距离相等,故C正确.取D1D2的中点E,连接A2E,EC1,易知A2EBC1,EC1A2B,故四边形A2BC1E为平面A2BC1截长方体所得的截面,在A2BC1中,A2B=BC1=2,
11、A2C1=6,所以SA2BC1=32,截面面积为3,故D错误.故选AC.10.B如图D 8 - 5 - 15,图D 8 - 5 - 15正方体ABCD - A1B1C1D1中,连接AC,交BD于点O.因为BD=BC1=DC1=2,所以BC1D是等边三角形,故三棱锥C - BC1D为正三棱锥.设O 为BC1D的中心,连接CO ,则CO 平面BC1D,延长CO 到M,使得MO =O C,连接OO ,则OO AM,所以AM与平面ABCD所成的角等于OO 与平面ABCD所成的角.易知BDOO ,BDAC,OO AC=O,所以BD平面AMC,又BD平面ABCD,故平面AMC平面ABCD,且平面ABCD平
12、面AMC=AC,根据两个平面相互垂直的性质可知OO 在平面ABCD上的射影一定落在线段AC上,故O OC为OO 与平面ABCD所成的角,即AM与平面ABCD所成的角.因为OC=22,OO =13322=66,所以O C=(22)2-(66)2=33,所以tanO OC=3366=2,故选B.11.221010 如图D 8 - 5 - 16,正方体ABCD - A1B1C1D1中,设CD,BC的中点分别为H,G,连接HE,HG,GE,HF,ME,NH.图D 8 - 5 - 16易知MENH,ME=NH,所以四边形MEHN是平行四边形,所以MNHE.因为MN平面EFHG,HE平面EFHG,所以MN
13、平面EFHG,所以过EF且与MN平行的平面为平面EFHG,易知平面EFHG截正方体所得截面为矩形EFHG,EF=2,FH=2,所以截面EFHG的面积为22=22.连接AC,交HG于点I,易知CIHG,平面EFHG平面ABCD,平面EFHG平面ABCD=HG,所以CI平面EFHG.连接EI,因为EI平面EFHG,所以CIEI,所以CEI为直线CE和截面EFHG所成的角.在RtCIE中,易知CE=1+22=5,CI=14AC=224=22,所以sinCEI=CICE=1010.12.(1)由已知得四边形ABFE是正方形,且边长为2,如图D 8 - 5 - 17,连接BE,则AFBE,又AFBD,B
14、EBD=B,BE平面BDE,BD平面BDE,AF平面BDE.又DE平面BDE,AFDE.又AEDE,AEAF=A,AE平面ABFE,AF平面ABFE,DE平面ABFE.图D 8 - 5 - 17(2)由(1)知ED,EA,EF两两垂直,以E为坐标原点,EA,EF,ED的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图D 8 - 5 - 17所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),F(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,1),AF=( - 2,2,0),AD=( - 2,0,1),FC=(0,0,2).设平面ADF的法向量为n=(x,y,z),由nAF=0,nAD=0得-2x+2y=0,-
15、2x+z=0,不妨取x=1,则n=(1,1,2)为平面ADF的一个法向量.设平面ACF的法向量为m=(x1,y1,z1),由mAF=0,mFC=0得-2x1+2y1=0,2z1=0,不妨取x1=1,则m=(1,1,0)为平面ACF的一个法向量.设二面角D - AF - C的大小为,易知02,则cos =|cos|=|mn|m|n|=226=33.二面角D - AF - C的余弦值为33.13.(1)因为平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,DE平面ADEF,DEAD,所以DE平面ABCD.因为AC平面ABCD,所以DEAC.又四边形ABCD是正方形,所以ACBD.因为DEB
16、D=D,DE平面BED,BD平面BED,所以AC平面BED.又AC平面ACE,所以平面ACE平面BED.(2)因为DA,DC,DE两两垂直,所以以D为坐标原点,建立如图D 8 - 5 - 18所示的空间直角坐标系D - xyz.图D 8 - 5 - 18则A(3,0,0),F(3,0,26),E(0,0,36),B(3,3,0),C(0,3,0),所以CA=(3, - 3,0),BE=( - 3, - 3,36),EF=(3,0, - 6).设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),则nBE=-3x-3y+36z=0,nEF=3x-6z=0,取x=6,得n=(6,26,3)为平面BEF的一个法
17、向量.所以cos=CAn|CA|n|=-363239= - 1313.所以直线CA与平面BEF所成角的正弦值为1313.(3)假设在线段AF上存在符合条件的点M,由(2)可设M(3,0,t),0t26,则BM=(0, - 3,t).设平面MBE的法向量为m=(x1,y1,z1),则mBM=-3y1+tz1=0,mBE=-3x1-3y1+36z1=0,令y1=t,得m=(36 - t,t,3)为平面MBE的一个法向量.由(1)知CA平面BED,所以CA是平面BED的一个法向量,|cos|=|mCA|m|CA|=|96-6t|32(36-t)2+t2+9=cos 60=12,整理得2t2 - 66
18、t+15=0,解得t=62,故在线段AF上存在点M,使得二面角M - BE - D的大小为60,此时AMAF=14.14.(1)在直角梯形ABCD中,BC=1,AB=2,ABBC,AC=5,即AP=AC=5,BP=3BC=3,BA2+AP2=BP2,BAAP.又ADBC,BAAD,又APAD=A,BA平面PAD.BA平面ABCD,平面PAD平面ABCD.(2)如图D 8 - 5 - 19,过点P作POAD交AD于点O,连接OC,图D 8 - 5 - 19由(1)可知PO平面ABCD,易知PAO为PA与平面ABCD所成的角,tanPAO=2.又AP=5,AO=1,PO=2.AOBC且AO=BC,
19、四边形ABCO为矩形,OCAD.以O为坐标原点,OC,OD,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图D 8 - 5 - 19所示.则A(0, - 1,0),P(0,0,2),D(0,1,0),B(2, - 1,0),AB=(2,0,0),AP=(0,1,2).设平面APB的法向量为n=(x,y,z),则有nAB=0,nAP=0,即2x=0,y+2z=0,令y=2,则n=(0,2, - 1)为平面APB的一个法向量.同理可得平面PBD的一个法向量为m=(2,2,1).cos=mn|m|n|=353=55,由图可知二面角A - PB - D的平面角为锐角,二面角A - PB -
20、D的余弦值为55.15.(1)BC的中点即为所找的点O.AB=AC,AOBC,又EC平面ABC,AO平面ABC,ECAO.BCEC=C,BC平面BDEC,EC平面BDEC,AO平面BDEC.又CF平面BDEC,AOCF. (2)以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴,过点A且平行于EC的直线为z轴建立如图D 8 - 5 - 20所示的空间直角坐标系,图D 8 - 5 - 20则A(0,0,0),E(0, - 2,4),D( - 2,0,2),O( - 1, - 1,0),AO=( - 1, - 1,0),ED=( - 2,2, - 2).设EF=ED(01),则可得F( - 2,2
21、 - 2,4 - 2),则AF=( - 2,2 - 2,4 - 2).设平面AOF的法向量为m=(x,y,z),则mAO=0,mAF=0,令x=1,则m=(1, - 1,2-12-)为平面AOF的一个法向量.易得平面ACE的一个法向量为n=(1,0,0).令|cos|=|mn|m|n|=1(2-12-)2+2=12,解得=12.故当F为DE的中点时,平面ACE与平面AOF所成的锐二面角的大小为4.【素养落地】试题以四棱锥为载体,结合探究性的设问方式,要求考生分析几何元素间的位置关系、数量关系,然后运用空间向量法解决几何问题,使直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养得到了综合考查.16.(1)如
22、图D 8 - 5 - 21所示,连接AC,BD交于点G,连接EG,FG.图D 8 - 5 - 21因为四边形ABCD为矩形,且E,F分别是AD,SC的中点,所以EGCD,FGSA.又SA平面ABCD,所以GF平面ABCD,所以GFAD.又ADGE,GEGF=G,GE平面GEF,GF平面GEF,所以AD平面GEF,所以ADEF.因为EF与平面ABCD所成的角为45,所以FEG=45,从而GE=GF,所以SA=AB.取SB的中点H,连接AH,FH,则由F,H分别为SC,SB的中点,得FHBC且FH=12BC,所以FHAE且FH=AE,从而四边形AEFH为平行四边形.又由SA=AB,知AHSB.又B
23、C平面SAB,所以AHBC.又SBBC=B,SB平面SBC,BC平面SBC,从而AH平面SBC.从而EF平面SBC.又SC平面SBC,从而EFSC.综上知EF为异面直线AD与SC的公垂线.(2)设BC=2,则EF=12BC=1,从而GE=GF=22,所以SA=AB=2,以A为坐标原点,AB,AD,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,AB,AD,AS的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),D(0,2,0),S(0,0,2),C(2,2,0),从而SC=(2,2, - 2),BC=(0,2,0).设平面BCS的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1SC=0,n1BC=0,令z1=1,可得n1=(1,0,1)为平面BCS的一个法向量.同理,可求得平面SCD的一个法向量为n2=(0,1,2).设二面角B - SC - D的平面角为,则|cos |=|n1n2|n1|n2|=223=33,故sin =1-(33)2=63.
