1、第三章3.3.2(建议用时：40分钟)考点对应题号基础训练能力提升1.球的结构特征8112.球的体积和表面积1,43.球的截面问题9134.几何体的外接球与内切球问题2,3,5,6,710,12一、选择题1若两个球的半径之比是13，则两个球的表面积之比是()A19B127C13D11A解析设两球的半径为r1，r2，则r1r213.由球的表面积公式S4r2，得S1S2rr19.2已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()AB4 C2DD解析正四棱柱的外接球的球心为上、下底面的中心连线的中点，所以球的半径r1，球的体积Vr3.故选D项3已知三棱柱的侧棱与底面垂
2、直，底面是一个两直角边分别为1和2的直角三角形，若三棱柱的外接球的表面积为9，则三棱柱的体积为()A1BC2D3C解析设三棱柱的外接球的半径为R，则4R29，解得R，因为底面是直角三角形，所以底面斜边所在的侧面的对角线恰好是外接球的直径，所以侧棱的长h2，所以三棱柱的体积为V1222.4母线长为2r，底面半径为r的圆柱被一个平面截去一部分后与半球组成一个几何体，其直观图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1B2C4D8B解析该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径也为r，圆柱的底面半径为r，母线长为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2. 又S1620，所以(5
3、4)r21620，r2.故选B项5已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为()AB4CDD解析设正方体的棱长为a，则6a224，解得a2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长为2，等于球的直径长，所以球的半径长是，所以此球的体积为()3.6一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是()A20B25 C50D200C解析设三棱锥的外接球半径为r，则有(2r)232425250，即4r250，故它的外接球的表面积S4r250.二、填空题7一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上如果正四棱柱的底面边长为
4、1 cm，那么该棱柱的表面积为_cm2.解析设正四棱柱的高为a cm，由正四棱柱与球内接的性质知411a2，所以a，所以正四棱柱的表面积S11241(24)cm2.答案248在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为_.解析三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，因为侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，所以ABAC，ADAC，ABAD，所以AB，AC1，AD，所以球的直径为，所以半径为，所以三棱锥外接球的表面积为46.答案69
5、如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VPABCD，则球O的表面积是_.解析正四棱锥PABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO底面ABCD，POR，SABCD2R2，VPABCD，所以2R2R，解得R2，所以球O的表面积是16.答案16三、解答题10已知高与底面直径之比为21的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500，求球的体积解析设圆柱的底面半径为r，高为h，球的半径为R，则，所以h4r.因为V柱500，所以r2h500，即r24r500，所以r3125，所以r5.由圆柱内接于球知Rr，即R5，所以V球R3(
6、5)3.所以球的体积为.11如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积(其中BAC30)解析如图，在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，则ACR，BCR，CO1R，则AO1R，BO1，则V球R3，V圆锥AO12RR3，V圆锥BO12R3.V几何体V球V圆锥AO1V圆锥BO1R3R3R3R3.故该几何体的体积为R3.12一个高为16的圆锥内接于一个体积为972的球，在圆锥里又有一个内切球(1)求圆锥的侧面积；(2)求圆锥的内切球的体积解析(1)如图所示，作出轴截面，则等腰SAB内接于圆O，而圆O1内切于SAB设外接球的半径为R，即圆
7、O的半径为R，则有R3972，所以R3729，R9，所以SE2R18.因为SD16，所以ED2.连接AE，又SE是直径，所以SAAE，所以SA2SDSE1618288，则SA12.因为ABSD，D为AB中点，所以AD2SDDE16232，则AD4.所以S圆锥侧2ADSA41296.(2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，因为SAB的周长为2(124)32，所以r32816，解得r4.所以圆锥的内切球的体积V球r3.四、选做题13如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()Acm3 Bcm3Ccm3 Dcm3A解析如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm)设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，即R5.所以V球53(cm3)
