1、第六节对数与对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在化简运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(3)了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a0,且a1).1.对数的概念(1)对数的定义:一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)几种常见的对数:对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a1)logaN常用对数底数为10lg N自然对数底数
2、为eln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质:alogaN=N;logaaN=N.(a0且a1)(2)对数的重要公式:换底公式:logbN=logaNlogab(a,b均大于0且不等于1);相关结论:logab=1logba,logablogbclogcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).(3)对数的运算法则:如果a0且a1,M0,N0,那么loga(MN)=logaM+logaN;logaMN=logaM-logaN;logaMn=nlogaM(nR);logamMn=nmlogaM(m,nR,且m0).3.对数函数的图象与性质a10a1时,y0;当0x1时,y
3、1时,y0;当0x0是(0,+)上的增函数是(0,+)上的减函数提醒当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a1和0a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0cd1ab.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)loga(MN)=logaM+logaN.()(2)logaxlogay=loga(x+y).()(3)log2x2=2log2x.()(4)若logamlogan,
4、则m0,且a1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),1a,-1,函数图象经过第一、四象限.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.设a=log2,b=log12,c=-2,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.bacC.acbD.cba答案C3.计算:log23log34+(3)log34=.答案44.函数f(x)=log2x,x4的值域为.答案2,+)5.函数y=log0.5(4x-3)的定义域为.答案34,16.(教材习题改编)函数y=loga(4-x)+1(a0,且a1)的图象恒过点.答案(3,1)对数的概念、性质与运算命题方向一对数的概念与性质典例1(1)若loga2
5、=m,loga5=n,则a3m+n() A.11B.13C.30D.40(2)已知2a=5b=10,则a+bab=.(3)设52log5(2x-1)=9,则x=.答案(1)D(2)1(3)2命题方向二对数的运算典例2计算:(1)(lg 2)2+lg 2lg 50+lg 25;(2)log34273+lg 5+7log72+log23log94+lg 2;(3)(log32+log92)(log43+log83).解析(1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.(2
6、)原式=log3334-1+lg 5+2+lg3lg22lg22lg3+lg 2=34-1+(lg 5+lg 2)+2+1=-14+1+3=154.(3)原式=log32log43+log32log83+log92log43+log92log83=lg2lg3lg32lg2+lg2lg3lg33lg2+lg22lg3lg32lg2+lg22lg3lg33lg2=12+13+14+16=1512=54.规律方法对数运算的求解思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质求解.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数
7、的运算性质,将其转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.1-1(1)(lg 5)2+lg 2lg 5+lg 20-log23log38+2(1+log25)=.(2)如果45x=3,45y=5,那么2x+y=.答案(1)9(2)1解析(1)原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+lg 10-log23log28log23+22log25=1+1-3+10=9.(2)45x=3,45y=5,x=log453,y=log455,2x+y=2log453+log455=log459+log455=log45(95)=1.对数函数的图象及应用典例3(1)函数f(x)=ln|x-1|的大致图象是
8、() (2)当0x12时,4x0且a1),则a的取值范围是() A.0,22B.22,1C.(1,2)D.(2,2)(3)已知函数f(x)=4+loga(x-1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是.答案(1)B(2)B(3)(2,4)解析(1)当x1时, f(x)=ln(x-1),又f(x)的图象关于直线x=1对称,故选B.(2)易知0a412,解得a22,22abcB.bacC.cbaD.cab(2)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.acbB.abcC.bcaD.calog2e1,b=ln 2ab,故选D.(2)a=log52log5
9、5log0.50.25=2,0.510.50.20.50,故12c1,所以ac0,且a1).(1)若a=12,求函数f(x)的值域;(2)当f(x)在区间14,32上为增函数时,求a的取值范围.解析(1)当a=12时,ax2-x+1=12x2-x+1=12(x-1)2+10恒成立,故函数f(x)的定义域为R,12x2-x+1=12(x-1)2+112,且函数y=log12x在(0,+)上单调递减,log1212x2-x+1log1212=1,即函数f(x)的值域为(-,1.(2)依题意可知,当a1时,由复合函数的单调性可知,必有y=ax2-x+1在14,32上单调递增,且ax2-x+10对任意
10、x14,32恒成立.故有x=12a14,a142-14+10,解得a2;当0a0对任意x14,32恒成立,故有x=12a32,a322-32+10,解得29logab(a0且a1)的不等式,需借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需分a1与0ab的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式,再求解.3-1设a=log36,b=log510,c=log714,则()A.cbaB.bcaC.acbD.abc答案Da=log36=1+log32=1+1log23,b=log510=1+log52=1+1log25,c=log714=1+log72=1+1log27,且log27lo
11、g25log230,abc.3-2已知函数f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,求f(lg 2)+f lg12的值.解析由1+9x2-3x0恒成立知,函数f(x)的定义域为R,又f(-x)+f(x)=ln(1+9x2+3x)+1+ln(1+9x2-3x)+1=ln(1+9x2+3x)(1+9x2-3x)+2=ln 1+2=2,所以f(lg 2)+flg12=f(lg 2)+f(-lg 2)=2.A组基础题组1.函数y=log23(2x-1)的定义域是() A.1,2B.1,2)C.12,1D.12,1答案D2.log6log4(log381)的值为()A.-1B.1C.0D.2答案C3.已知
12、函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,且a1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a1,c1B.a1,0c1C.0a1D.0a1,0c1答案D4.(2019河南郑州模拟)设a=log50.5,b=log20.3,c=log0.32,则()A.bacB.bcaC.cbaD.ablog50.2=-1,b=log20.3log0.3103=-1,log0.32=lg2lg0.3,log50.5=lg0.5lg5=lg2-lg5=lg2lg0.2.-1lg 0.2lg 0.30,lg2lg0.3lg2lg0.2,即ca,故bca.故选B.5.若lg 2=a,lg 3=b,则log418
13、=()A.a+3ba2B.a+3b2aC.a+2ba2D.a+2b2a答案Dlog418=lg18lg4=lg2+2lg32lg2.因为lg 2=a,lg 3=b,所以log418=a+2b2a.故选D.6.已知函数f(x)=log2(x2-2x+a)的最小值为2,则a=()A.4B.5C.6D.7答案B7.已知函数f(x)=lg1-x1+x,若f(a)=12,则f(-a)=()A.2B.-2C.12D.-12答案Df(x)=lg1-x1+x的定义域为x|-1x0 在-1,+)上恒成立,所以3+a+50a-8,即-8a-6,选C.9.设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数,那么a的值为(
14、)A.1B.-1C.12D.-12答案D函数f(x)=lg(10x+1)+ax的定义域为R,因为f(x)为偶函数,所以f(x)-f(-x)=0,即lg(10x+1)+ax-lg(10-x+1)+a(-x)=(2a+1)x=0.从而2a+1=0,a=-12.10.若函数f(x)=logax(0a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍,则a的值为.答案2411.若loga(a2+1)loga(2a)0且a1,故必有a2+12a,又loga(a2+1)loga(2a)0,所以0a1,所以a12.综上,a12,1.12.已知2x16且log2x12,求函数f(x)=log2x2log2x2的值域.
15、解析由2x16,解得x4,log2x2,又log2x12,12log2x2,f(x)=log2x2log2x2=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2=log2x-322-14,当log2x=32时, f(x)min=-14.又当log2x=12时, f(x)=34;当log2x=2时, f(x)=0,当log2x=12时, f(x)max=34.故f(x)的取值范围是-14,34.B组提升题组1.已知f(x)=log12x,则不等式(f(x)2f(x2)的解集为() A.0,14B.(1,+)C.14,1D.0,14(1,+)答案D由(f(x)2f(x2)得
16、,(log12x)2log12x2log12x(log12x-2)0,即log12x2或log12x0,解得x0,14(1,+).2.设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1,x2,则()A.x1x21D.0x1x21答案D作出y=10x与y=|lg(-x)|的大致图象,如图.显然x10,x20.不妨令x1x2,则x1-1x20,所以10x1=lg(-x1),10x2=-lg(-x2),此时10x110x2,即lg(-x1)-lg(-x2),由此得lg(x1x2)0,所以0x1x21,故选D.3.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z
17、2xD.3y2x1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k,2x3y=2lgklg2lg33lgk=lg9lg81,则2x3y,2x5z=2lgklg2lg55lgk=lg25lg321,则2x5z,故选D.4.已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0mn,且f(m)=f(n),若f(x)在m2,n上的最大值为2,则nm=.答案9解析f(x)=|log3x|,实数m,n满足0mn,且f(m)=f(n),m12,不符合题意.故nm=9.5.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)当x1,4时,求函数h(x)=f(x)+1g(x)的值域;(2)如果对任
18、意的x1,4,不等式f(x2)f(x)kg(x)恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)h(x)=(4-2log2x)log2x=-2(log2x-1)2+2.因为x1,4,所以log2x0,2,故函数h(x)的值域为0,2.(2)由f(x2)f(x)kg(x)得(3-4log2x)(3-log2x)klog2x.令t=log2x,因为x1,4,所以t=log2x0,2,所以(3-4t)(3-t)kt对一切t0,2恒成立.当t=0时,kR;当t(0,2时,k(3-4t)(3-t)t恒成立,即k4t+9t-15恒成立.因为4t+9t12,当且仅当4t=9t,即t=32时取等号,所以4t+9t-15min=-3,则k-3.综上,k(-,-3).
