1、选修4 - 5不等式选讲1.2020大同市高三调研设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ac13;(2)c2a+b2c+a2b1.2.2020陕西省部分学校摸底检测已知函数f(x)=|x+a|+|x - 2|.(1)当a= - 4时,求不等式f(x)6的解集;(2)若f(x)|x - 3|的解集包含0,1,求实数a的取值范围.3.2020福建福州第一次质量检测已知不等式|2x+1|+|2x - 1|4;(2)若x1R,x2R,使得f(x2)=g(x1),求实数a的取值范围.7.2020惠州市一调已知f(x)=|x+1|+|ax - a+1|.(1)当a=1时,求不等式
2、f(x)3的解集;(2)若x1时,不等式f(x)x+2恒成立,求a的取值范围.8.2020广东四校联考已知a,b,c均为正实数,且满足abc=1.(1)求证:3abc+3bac+3cab(a+b+c)2;(2)求证:1a2(b+c)+1b2(a+c)+1c2(a+b)32.9.2020四川五校联考已知函数f(x)=|x - 1|.(1)求不等式f(2x) - f(x+1)2的解集;(2)若a0,b0且a+b=f(3),求证:a+1+b+122.10.2019安徽示范高中高三测试已知f(x)=|x - 2|.(1)解不等式f(x)+1f(2x);(2)若f(m)1,f(2n)2,求|m - 2n
3、 - 1|的最大值,并求此时实数m,n的取值.11.2019蓉城名校高三第一次联考设函数f(x)=|x+1|+|2x - 1|.(1)求不等式f(x)2的解集;(2)若关于x的不等式f(x) - m2+2m+92的解集非空,求实数m的取值范围.12.2019东莞市二调已知f(x)=|mx+3| - |2x+n|.(1)当m=2,n= - 1时,求不等式f(x)2的解集;(2)当m=1,n0时,f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于24,求n的取值范围.选修4 - 5不等式选讲1.(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac得a2+b2+c2ab+bc+ac(当且仅当a=b=c
4、=13时等号成立).由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1.3(ab+bc+ac)1,即ab+bc+ac13.(2)a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,c2a+b2c+a2b+(a+b+c)2(a+b+c),即a2b+b2c+c2aa+b+c,即a2b+b2c+c2a1(当且仅当a=b=c=13时等号成立).2.(1)当a= - 4时,f (x)6即|x - 4|+|x - 2|6,即x2,4 - x+2 - x6或2x4,4 - x+x - 26或x4,x - 4+x - 26,解得x0或x或x6,所以原不等式的解集为( - ,06,+).(
5、2)f (x)|x - 3|的解集包含0,1等价于f (x)|x - 3|在0,1上恒成立,即|x+a|+2 - x3 - x在0,1上恒成立,即 - 1 - xa1 - x在0,1上恒成立,所以 - 1a0,即实数a的取值范围为 - 1,0.【归纳总结】解含有两个绝对值符号的不等式常用的方法是零点分段法.解答本题第(2)问的关键是先将问题转化为不等式恒成立问题,然后转化为求函数最值的问题.3.(1)解法一当x - 12时,原不等式可化为 - 2x - 1+1 - 2x - 1,所以 - 1x - 12.当 - 12x12时,原不等式可化为2x+1 - 2x+14,即212时,原不等式可化为2
6、x+1+2x - 14,即x1,所以12x1.综上可知,M=x| - 1x1.解法二设f (x)=|2x+1|+|2x - 1|,则f (x)= - 4x,x12,画出函数f (x)的图象如图D 2所示.令f (x)=4,得x=1,由图D 2可得,当f (x)4时, - 1x1,所以M=x| - 1x1.图D 2解法三不等式|2x+1|+|2x - 1|4等价于x - 12, - 2x - 1+1 - 2x4或 - 12x12,2x+1 - 2x+112,2x+1+2x - 14,解得 - 1x1,所以M=x| - 1x1.(2)解法一因为aM,bM,所以|a|1,|b|1.而|ab|+1 -
7、 |a| - |b|=(|a| - 1)(|b| - 1)0,所以|ab|+1|a|+|b|.解法二要证|ab|+1|a|+|b|,只需证|a|b|+1 - |a| - |b|0,即证(|a| - 1)(|b| - 1)0,因为aM,bM,所以|a|1,|b|1,所以(|a| - 1)(|b| - 1)0成立.所以|ab|+1|a|+|b|成立.4.(1)当a=1时,f (x)=|x+1|+|x+2|= - 2x - 3,x - 2,1, - 2x - 1,2x+3,x - 1.当x - 2时,f (x)3即 - 2x - 33,解得 - 3x - 2;当 - 2x - 1时,f (x)3即1
8、3,恒成立;当x - 1时,f (x)3即2x+33,解得 - 1x0.综上可得f (x)3的解集为 - 3,0.(2)f (x)=|x+1|+a|x+2|= - (a+1)x - 2a - 1,x - 2,(a - 1)x+2a - 1, - 2x0,即a - 1时,f (x)无最小值;当 - (a+1)=0,即a= - 1时,f (x)有最小值 - 1;当 - (a+1)0且a - 10,即 - 1a1时,f (x)min=f ( - 1)=a;当 - (a+1)0,即a1时,f (x)min=f ( - 2)=1.综上,若f (x)有最小值,则a的取值范围为 - 1,+),且当 - 1a
9、1时,f (x)min=f ( - 1)=a,当a1时,f (x)min=f ( - 2)=1.5.(1)当a=1时,f (x)=|2x - 3|+x - 6=3x - 9,x32, - 3 - x,x32,则原不等式等价于x32,3x - 90或x32, - 3 - x0,解得x3或x - 3,则原不等式的解集为x|x3或x - 3.(2)由f (x)=0,得|2x - 3|= - ax+6.令y1=|2x - 3|,y2= - ax+6,作出它们的大致图象,如图D 3所示.图D 3显然,当 - 2a4,即|2x - 1| - |x+2|4.当x4,解得x4,解得 - 2x12时,2x -
10、1 - (x+2)4,解得x7.综上,不等式f (x)4的解集为x|x7.(2)因为x1R,x2R,使得f (x2)=g(x1),所以g(x)的值域是f (x)值域的子集.因为f (x)=|2x - 1| - |x+2|= - x+3,x12,所以可得f (x)的值域为 - 52,+).易知g(x)=|x - a| - |x+a+1|的值域为 - |2a+1|,|2a+1|,所以 - |2a+1| - 52,即|2a+1|52,则 - 522a+152, - 74a34,即实数a的取值范围为 - 74,34.7.(1)解法一当a=1时,不等式f (x)3即|x+1|+|x|3.当x - 1时,
11、 - x - 1 - x3,解得x - 2,所以x - 2;当 - 1x0时,x+1 - x3,无解;当x0时,x+1+x3,解得x1,所以x1.综上,不等式f (x)3的解集为( - , - 21,+).解法二当a=1时,f (x)=|x+1|+|x|= - 2x - 1(x - 1),1( - 1x0),2x+1(x0),当x - 1时, - 2x - 13,解得x - 2,所以x - 2;当 - 1x0时,13显然不成立;当x0时,2x+13,解得x1,所以x1.综上,不等式f (x)3的解集为( - , - 21,+).(2)解法一当x1时,不等式f (x)x+2恒成立即|ax - a
12、+1|1恒成立.令g(x)=a(x - 1)+1,则g(x)的图象为过定点(1,1)且斜率为a的直线.数形结合可知,当a0时,|ax - a+1|1在1,+)上恒成立.所以,所求a的取值范围为0,+).解法二当x1时,不等式f (x)x+2恒成立即|ax - a+1|1恒成立.所以ax - a+1 - 1或ax - a+11,即a(x - 1) - 2或a(x - 1)0.当x1时,aR,不等式a(x - 1) - 2不恒成立,当x1时,要使不等式a(x - 1)0恒成立,需a0.所以,所求a的取值范围为0,+).8.(1)左边=3(a2+b2+c2),由柯西不等式得(1+1+1)(a2+b2
13、+c2)(a+b+c)2(取等号的条件是a=b=c),所以3abc+3bac+3cab(a+b+c)2.(2)左边=abca2(b+c)+abcb2(a+c)+abcc2(a+b)=bca(b+c)+acb(a+c)+abc(a+b)=ab+bc+aca(b+c)+ac+ab+bcb(a+c)+ab+ac+bcc(a+b) - 3=12(2ab+2ac+2bc)1a(b+c)+1b(a+c)+1c(a+b) - 3=12a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)1a(b+c)+1b(a+c)+1c(a+b) - 3,由柯西不等式得12a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)1a(b+c)+1b(
14、a+c)+1c(a+b) - 392 - 3=32(取等号的条件是a=b=c).所以1a2(b+c)+1b2(a+c)+1c2(a+b)32.9.解法一(1)因为f (x)=|x - 1|,所以f (2x) - f (x+1)=|2x - 1| - |x|=1 - x,x0,1 - 3x,0x12,x - 1,x12,由f (2x) - f (x+1)2得x0,1 - x2或0x0,b0,所以根据基本不等式得(a+1)(b+1)(a+1)+(b+1)2=2成立(当且仅当a=b=1时取等号),故命题得证.解法二(1)因为f (x)=|x - 1|,所以f (2x) - f (x+1)=|2x -
15、 1| - |x|=1 - x,x0,1 - 3x,0x0,b0,所以2a+1a+32,2b+1b+32,故2a+1+2b+1a+32+b+32=4,所以a+1+b+122成立(当且仅当a=b=1时取等号).故命题得证.【方法总结】含绝对值的不等式的解法有两种:一是零点分段法,即运用分类讨论思想求解;二是利用绝对值的几何意义求解,即运用数形结合思想求解.10.(1)原不等式等价于|x - 2|+12|x - 1|,即x2 - 2x或1x2,2 - x+12x - 2或x2,x - 2+12x - 2,解得 - 1x1或1x53或x,原不等式的解集为( - 1,53).(2)由题意得f (m)=
16、|m - 2|1,f (2n)=|2n - 2|2,|n - 1|1,|m - 2n - 1|=|(m - 2) - 2(n - 1) - 1|m - 2|+2|n - 1|+14,当且仅当m=1,n=2时,|m - 2n - 1|取得最大值4.11.(1)由题意知f (x)= - 3x,x - 1, - x+2, - 1x12,3x,x12,所以原不等式等价于x - 1, - 3x2或 - 1x12, - x+22或x12,3x2,解得x - 1或 - 1x0或x23,所以原不等式的解集为( - ,023,+).(2)由(1)知,f (x)= - 3x,x - 1, - x+2, - 1x1
17、2,3x,x12,易得f (x)min=32.要使不等式f (x) - m2+2m+92的解集非空,只需f (x)min - m2+2m+92,即32 - m2+2m+92,化简得m2 - 2m - 30,解得 - 1m3,所以实数m的取值范围是 - 1,3.12.(1)当m=2,n= - 1时,f (x)=|2x+3| - |2x - 1|.所以不等式f (x)2等价于x - 32, - (2x+3)+(2x - 1)2或 - 32x12,(2x+3)+(2x - 1)12,(2x+3) - (2x - 1)2,解得x - 32或 - 32x0或x,即x0.所以不等式f (x)2的解集是( - ,0).(2)由题设可得f (x)=|x+3| - |2x+n|=x+n - 3,x - n2.所以函数f (x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A( - 3+n3,0),B(3 - n,0),C( - n2,3 - n2).所以三角形ABC的面积为12(3 - n+3+n3)(3 - n2)=(6 - n)26.由题设知,(6 - n)2624.又n0,所以n - 6.所以n的取值范围是( - , - 6).
