1、第二讲双曲线1.2020惠州市一调设双曲线的一条渐近线为直线y=2x,且一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,则此双曲线的方程为()A.54x2-5y2=1B.5y2-54x2=1 C.5x2-54y2=1D.54y2-5x2=12.2020陕西省部分学校摸底检测设双曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为()A.13B.12C.11D.103.2020南昌市测试圆C:x2+y2-10y+16=0上有且仅有两点到双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率的取值范围是(
2、)A.(2,5)B.(53,52)C.(54,52)D.(5,2+1)4.2019安徽示范高中高三测试已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点M在双曲线E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=14,则双曲线E的离心率为()A.153B.32C.132D.25.2020江西红色七校第一次联考双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上且tanF1PF2=43,O为坐标原点,则|OP|=.6.2020四川五校联考已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线与双曲线C交于A,B两点,若AF2
3、B=60,ABF2的面积为3a2,则双曲线的渐近线方程为.7.2020陕西省百校第一次联考已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1与l2,A与B为l1上关于坐标原点对称的两点,M为l2上一点且kAMkBM=e(e为双曲线C的离心率),则e的值为()A.5B.5+12C.2D.28.2020成都高三摸底考试已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点N(-c,3b22a).若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|+|MN|4b,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(133,5)B.(5,13)C.(
4、1,133)(5,+)D.(1,5)(13,+)9.2020洛阳市第一次联考已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1AF2B,则双曲线C的离心率为()A.2+73B.4+73C.3+174D.5+17410.2019河北廊坊省级示范高中联考已知点F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若AF2B=23,SAF2B=23,则双曲线C的虚轴长为.11.2020惠州市二调新定义题我们把焦点相同,离心率互为倒
5、数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当F1PF2=60时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A.3B.2C.233D.212.新角度题已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,c为椭圆C的半焦距,过A1的直线与圆x2+y2=c2切于点N,与双曲线E:x2c2-y2b2=1在第一象限交于点M,满足MA1MA2,若椭圆C的离心率为e1,双曲线E的离心率为e2,则e2+1e1的值为()A.165B.5C.655D.2513.双空题在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线方程为2xy=0,且该双曲线经
6、过点(54,32),则该双曲线的标准方程为,焦点坐标为.第二讲双曲线1.C抛物线y2=4x的焦点为点(1,0),则双曲线的一个焦点为点(1,0),设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由题意可得ba=2,12=a2+b2,得a2=15,b2=45,所以双曲线的方程为5x2 - 54y2=1,故选C.2.C由题意得双曲线的实半轴长a=2,虚半轴长b=3.根据双曲线的定义得|AF2| - |AF1|=2a=4,|BF2| - |BF1|=2a=4,+得|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+8=|AB|+8.易得|AB|min=2b2a=3,所以|AF2|+|BF2|的最小
7、值为11,故选C.3.C不妨设该渐近线经过第二、四象限,则该渐近线的方程为bx+ay=0.因为圆C:x2+(y - 5)2=9,所以圆C的圆心为(0,5),半径为3,所以2|5a|a2+b24,结合a2+b2=c2,得54ca1,所以双曲线E的离心率为153.故选A.【解题关键】解决本题的关键是将齐次方程15c2 - 15a2 - 2ac=0转化为关于e的一元二次方程.5.5因为tanF1PF2=43,所以sinF1PF2=437,cosF1PF2=17.由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 - 2|PF1|PF2|cosF1PF2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2
8、|2-27|PF1|PF2|=16,又|PF1| - |PF2|=2,所以|PF1|PF2|=7,则F1PF2的面积为12|PF1|PF2|sinF1PF2=23.设P(x0,y0),因为F1PF2的面积为122c|y0|=23,所以|y0|=3,代入x2 - y23=1得x02=2,所以|OP|=x02+y02=2+3=5.6.y=3x解法一如图D 10 - 2 - 2,连接AF1,BF1,则四边形AF2BF1是平行四边形,设|AF2|=x,则|BF1|=x,|BF2|=x+2a,SABF2=12|AF2|BF2|sinAF2B=12x(x+2a)32=3a2,解得x=(5 - 1)a,则|
9、BF2|=(5+1)a.在BF1F2中,由余弦定理得4c2=(5 - 1)2a2+(5+1)2a2 - 2(5 - 1)(5+1)a2( - 12),化简得c2=4a2,又c2=a2+b2,故b2=3a2,ba=3,所以双曲线的渐近线方程为y=3x.图D 10 - 2 - 2解法二如图D 10 - 2 - 2,连接AF1,BF1,则四边形AF2BF1是平行四边形,因为AF2B=60,所以F1AF2=120,易知SABF2=12S四边形AF2BF1=SAF1F2=b2tan60=3a2,故b2a2=3,ba=3,所以双曲线的渐近线方程为y=3x.7.B设M(x0,y0),A(x1,y1),则B(
10、 - x1, - y1).不妨设l1:y=bax,l2:y= - bax,则y0= - bax0,y1=bax1,所以kAMkBM=y0 - y1x0 - x1y0+y1x0+x1=y02 - y12x02 - x12=b2a2.因为kAMkBM=e,所以b2a2=e,即c2 - a2a2=e,整理得e2 - e - 1=0,解得e=152.又e1,所以e=1+52,故选B.8.C由双曲线定义知|MF2| - |MF1|=2a,所以|MF2|=|MF1|+2a,因为|MF2|+|MN|4b恒成立,所以|MF1|+|MN|4b - 2a恒成立,即(|MF1|+|MN|)min4b - 2a.由题
11、意易知点N在双曲线左支的上方,由平面几何知识知,当MF1x轴且点M在x轴上方时,|MF1|+|MN|取得最小值3b22a,所以3b22a4b - 2a,即3(ba)2 - 8ba+40,解得0ba2.又e=ca=1+(ba)2,所以e(1,133)(5,+),故选C.9.C如图D 10 - 2 - 3,连接BF1,AF2,由双曲线的定义知,|AF2| - |AF1|=2a,|BF1| - |BF2|=2a,由|BF1|=|AF1|=2c,可得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c - 2a,在AF1F2中,由余弦定理可得cosAF1F2=4c2+4c2 - (2a+2c)222c2c=c2
12、- 2ac - a22c2,在BF1F2中,由余弦定理可得cosBF2F1=4c2+(2c - 2a)2 - 4c222c(2c - 2a)=c - a2c,由F1AF2B,可得BF2F1+AF1F2=,则有cosBF2F1+cosAF1F2=0,即c2 - 2ac - a22c2+c - a2c=0,整理得2c2 - 3ac - a2=0,可化为2e2 - 3e - 1=0,解得e=3+174或e=3 - 174(舍去),所以双曲线C的离心率为3+174.故选C.图D 10 - 2 - 310.22设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形,所以
13、SAF1B=23,F1AF2=3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,由余弦定理得4c2=r12+r22 - 2r1r2cos 3.又|r1 - r2|=2a,所以r1r2=4b2.又SAF1B=12r1r2sin 3=23,所以b2=2,则该双曲线的虚轴长为22.11.A设椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,椭圆的长半轴长为a1,椭圆的半焦距为c,双曲线的实半轴长为a2,|PF1|=x,|PF2|=y,xy.由椭圆、双曲线的定义得x+y=2a1,x - y=2a2,x=a1+a2,y=a1 - a2.在PF1F2中,由余弦定理得cosF1PF2=x2+y2 - (2c)22xy=cos
14、60,2(a12+a22) - 4c22(a12 - a22)=12,a12+3a22=4c2.e1e2=ca1ca2=1,c2=a1a2,a12+3a22=4a1a2,即(a1 - a2)(a1 - 3a2)=0,a1=3a2,3a22=c2,e2=ca2=3,即双曲线的离心率为3.故选A.12.D如图D 10 - 2 - 4,图D 10 - 2 - 4由已知得,a2=b2+c2,则A1,A2分别为双曲线E:x2c2-y2b2=1的左、右焦点.连接ON,由直线A1M与圆x2+y2=c2切于点N,得|ON|=c,ONMA1,又MA1MA2,所以ONA2M,从而|A1N|=b,|A1M|=2b,
15、|A2M|=2|ON|=2c.由双曲线的定义得|A1M| - |A2M|=2c,即2b - 2c=2c,b=2c,从而椭圆的离心率e1=ca=15,双曲线的离心率e2=ac=5,所以e2+1e1=25,故选D.【技巧点拨】在解决有关圆的问题时,要多注意结合几何图形,充分利用圆的几何性质;涉及双曲线定义的题目,要抓住“双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于2a(a为双曲线的实半轴长)”这个特征;涉及椭圆定义的题目,要抓住“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2m(m为椭圆的长半轴长)”这个特征.【素养落地】试题将椭圆、双曲线、直线与圆等知识有机结合起来,引导考生要抓住解析几何问题的本质,
16、在剖析问题本质的基础上,建立“数”与“形”的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.13.x2 - y24=1(5,0)解法一(1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由双曲线的渐近线方程为2xy=0,知b=2a,由b=2a,2516a2 - 94b2=1,得a2=1,b2=4,所以双曲线的标准方程为x2 - y24=1,焦点坐标为(5,0).(2)设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),由双曲线的渐近线方程为2xy=0,知a=2b,由a=2b,94a2 - 2516b2=1,得b2= - 1,不合题意,舍去.综上,双曲线的标准方程为x2 - y24=1,焦点坐标为(5,0).解法二因为点(54,32)在渐近线y=2x的下方,所以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由双曲线的渐近线方程为2xy=0,知b=2a,由b=2a,2516a2 - 94b2=1,得a2=1,b2=4,所以双曲线的标准方程为x2 - y24=1,焦点坐标为(5,0).解法三由双曲线的渐近线方程为2xy=0,设双曲线的方程为4x2 - y2=,再将(54,32)代入双曲线的方程,得=4,所以双曲线的标准方程为x2 - y24=1,焦点坐标为(5,0).
