1、第三讲二次函数与幂函数 1.下列说法正确的个数是()二次函数y=ax2+bx+c,xa,b的最值一定是4ac - b24a二次函数y=ax2+bx+c(xR)不可能是偶函数二次函数y=x2+mx+1在1,+)上单调递增的充要条件是m - 2幂函数的图象不可能出现在第四象限当n0时,幂函数y=xn在(0,+)上是增函数.若幂函数y=xn是奇函 数,则y=xn是增函数.A.2B.3C.4D.52.2017浙江,5,4分若函数f (x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M - m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有
2、关3.2020南阳模拟已知点(m,9)在幂函数f (x)=(m - 2)xn的图象上,设a=f (m - 13),b=f (ln 13),c=f (22),则a,b,c的大小关系为()A.acbB.bcaC.cabD.bacbaB.abcdC.dcabD.abdc 图 2 - 3 - 15.2018上海,7,5分已知 - 2, - 1, - 12,12,1,2,3,若幂函数f (x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减, 则=.考法1 二次函数的图象及应用1 对数函数y=logax(a0且a1)与二次函数y=(a - 1)x2 - x在同一坐标系内的图象可能是当0a1时,y=logax为减函数,
3、y=(a - 1)x2 - x的图象开口向下,对称轴为直线x=12(a - 1)1时,y=logax为增函数,y=(a - 1)x2 - x的图象开口向上,对称轴为直线x=12(a - 1)0,排除B.选A.A1.如果函数f (x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f (1+x)=f ( - x),那么 () A.f (0)f (2)f ( - 2) B.f (0)f ( - 2)f (2)C.f (2)f (0)f ( - 2) D.f ( - 2)f (0)f (2)考法2 二次函数的性质及应用命题角度1二次函数的最值2已知函数f (x)= - x2+2ax+1 - a在0x1时有最大值
4、2,则实数a的值为.函数解析式函数图象的对称轴为直线x=a讨论a取不同值时,直线x=a与0,1的位置关系根据最值求出参数(数形结合思想和分类讨论思想的应用)易知y= - x2+2ax+1 - a(xR)的图象的对称轴为直线x=a.当a1时,函数f (x)= - x2+2ax+1 - a(0x1)的图象如图2 - 3 - 2(3)中实线部分所示,当x=1时,y有最大值ymax=f (1)=a=2,a=2.综上可知,a的值为 - 1或2.2.(1)将示例2中的条件“在0x1时有最大值2”改为“在0x1时有最小值2”,则实数a的值为.(2)将示例2中的条件“在0x1时有最大值2”改为“f (x)2在
5、0,1上恒成立”,则实数a的取值范围为.(3)将示例2中的条件“在0x1时有最大值2”改为“f (x)2在a,a+1上恒成立”,则实数a的取值范围为.命题角度2二次函数与不等式恒成立问题32020河北沧州七校联考已知两函数f (x)=8x2+16x - k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.(1)对任意x - 3,3,都有f (x)g(x)成立,则k的取值范围为;(2)存在x - 3,3,使f (x)g(x)成立,则k的取值范围为;(3)对任意x1,x2 - 3,3,都有f (x1)g(x2),则k的取值范围为.(1)设h(x)=f (x) - g(x)=6x2+12x - 4 - k
6、,将原问题转化为x - 3,3时,h(x)0恒成立,故h(x)max0.由二次函数性质可知h(x)max=h(3)=86 - k,由86 - k0,得k86.(2)由题意知,“存在x - 3,3,使f (x)g(x)成立”等价于“h(x)=f (x) - g(x)=6x2+12x - 4 - k0在 - 3,3上有解”,故h(x)min0.由二次函数的性质可知h(x)min=h( - 1)= - 10 - k,由 - 10 - k0,得k - 10.(3)对任意x1,x2 - 3,3,都有f (x1)g(x2)成立,所以f (x)maxg(x)min,x - 3,3.由二次函数的性质可得f (
7、x)max=f (3)=120 - k,g(x)min=g( - 1)=2.所以120 - k2,解得k118. 不等式恒成立问题一般可等价转化为最值问题求解.本题的三小问表面上非常相似,但其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练,准确掌握不等式成立的充要条件.3.已知函数f (x)=x2 - 2ax+5(a1).(1)若函数f (x)的定义域和值域均为1,a,则实数a的值为;(2)若f (x)在区间( - ,2上单调递减,且对任意的x1,x21,a+1,总有|f (x1) - f (x2)|4,则实数a的取值范围为.考法3 幂函数的图象与性质的应用4 在同一直角坐标系中,函数f (x
8、)=xa(x0),g(x)=loga x的图象可能是ABC D当a1时,y=xa与y=logax均为增函数,但y=xa递增越来越快,排除C;当0a1时,y=xa为增函数,y=logax为减函数,排除A,且y=xa递增越来越慢,排除B.D5比较下列各组数的大小.(1)1.112,0.912,1;(2)( - 22)23,( - 107) - 23,( - 1.1)43.(1)把1看作112,易知幂函数y=x12在(0,+)上是增函数.00.911.1 , 0.9121121.112.即0.91211.112.(2) ( - 22)23 =(22)23,( - 107) - 23=( - 710)
9、23=(710)23,( - 1.1)43=(1.12)23=1.2123,幂函数y=x23在(0,+)上是增函数,且710 2 21.21,( - 107) - 23( - 22)23( - 1.1)43.6当x(0,+)时,幂函数y=(m2 - m - 1)x - 5m - 3为减函数,则实数m的值为A.m=2 B.m= - 1C.m= - 1或m=2 D.m152由幂函数知m2 - m - 1=1由函数在(0,+)上为减函数,得幂指数小于0求得m的值,得出结论因为函数y=(m2 - m - 1)x - 5m - 3既是幂函数又是(0,+)上的减函数,所以m2 - m - 1=1, - 5
10、m - 3(m2+m - 1)12,则实数m的取值范围是.数学探究二次函数的零点分布的类型及解题方法7 m为何值时,f (x)=x2+2mx+3m+4满足下列条件.(1)有且仅有一个零点;(2)有两个零点且均比 - 1大.先将二次函数的零点满足的条件用准确的式子表示出来,然后求解即可.(1)由f (x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,可知方程f (x)=0有两个相等实根,故=0,即4m2 - 4(3m+4)=0,即m2 - 3m - 4=0,m=4或m= - 1.(2)解法一设f (x)的两个零点分别为x1,x2,则x1+x2= - 2m,x1x2=3m+4.由题意,知=4m2 -
11、4(3m+4)0,(x1+1)(x2+1)0,(x1+1)+(x2+1)0,即m2 - 3m - 40,3m+4 - 2m+10, - 2m+20,解得m4或m - 5,m1, - 5m0, - m - 1,f( - 1)0,即m2 - 3m - 40,m0. - 5m - 1.m的取值范围为( - 5, - 1).5.(1)若二次函数f (x)=x2 - 2x+m在区间(1,4)内存在零点,则实数m的取值范围是.(2)若方程x2+(k - 2)x+2k - 1=0的两根中,一个根在0和1之间,另一个根在1和2之间,则实数k的取值范围是.1.B因为x的取值有范围限制,所以函数最值不一定是4ac
12、 - b24a,故错误;当b=0时,二次函数y=ax2+bx+c(xR)为偶函数,故错误;由 - m21得,m - 2,故正确;由幂函数的图象与性质可知正确;当n= - 1时,幂函数y=xn是奇函数,但不是增函数,故错误.正确说法的个数为3,故选B.2.B由题意得f(x)=(x+a2)2 - a24+b,分情况讨论:当0 - a21时,f(x)min=m=f( - a2)= - a24+b,f(x)max=M=maxf(0),f(1)=maxb,1+a+b,M - m=maxa24,1+a+a24与a有关,与b无关;当 - a21时,f(x)在0,1上单调递减,M - m=f(0) - f(1
13、)= - 1 - a与a有关,与b无关.综上所述,M - m与a有关,但与b无关,故选B.3.Af(x)=(m - 2)xn为幂函数,m - 2=1,得m=3.f(3)=3n=9,得n=2.f(x)=x2,f(x)为偶函数且在(0,+)上单调递增.易知a=f(1313),c=f(1212),b=f(ln 13)=f( - ln 3)=f(ln 3).(13)136=19a.又ln 3112121313,acbcd,故选B.5. - 1 - 2, - 1, - 12,12,1,2,3,幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,是奇数,且f(2)f(0).故选A.2.(1)易知函数f(x)
14、= - x2+2ax+1 - a(0x1)的最小值在端点处取得,故f(0)=2,f(0)f(1)或f(1)=2,f(1)f(0),即1 - a=2,1 - aa或a=2,a1 - a,无解,故a的取值范围为.(2) - 1,2由题意知f(x)max2,由示例2可知,a0,1 - a2,解得 - 1a1,a2,解得11)在1,a上单调递减,所以f(x)max=f(1)=6 - 2a=a,f(x)min=f(a)= - a2+5=1,解得a=2.即实数a的值为2.(2)2a3因为f(x)在( - ,2上单调递减,函数f(x)的对称轴为直线x=a,所以a2.所以f(x)在1,a上单调递减,在a,a+
15、1上单调递增,所以f(x)min=f(a)=5 - a2,f(x)max=maxf(1),f(a+1),又f(1) - f(a+1)=6 - 2a - (6 - a2)=a(a - 2)0,所以f(x)max=f(1)=6 - 2a.因为对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1) - f(x2)|4,所以f(x)max - f(x)min4,即6 - 2a - (5 - a2)4,解得 - 1a3,又a2,所以2a3.即实数a的取值范围为2a3.4.5 - 12mm2+m - 1,解2m+10,得m - 12;解m2+m - 10,得m - 5 - 12或m5 - 12;解2m+1m2+m - 1,即m2 - m - 20,得 - 1m2.综上,实数m的取值范围是5 - 12m2.5.(1)( - 8,1)二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x=1.若在区间(1,4)内存在零点,只需f(1)0即可,即 - 1+m0,解得 - 8m0,f(1)0,即2k - 10,1+k - 2+2k - 10,解得k12,k14,即12k23,所以实数k的取值范围是(12,23).图D 2 - 3 - 1
