1、第1讲直线与圆 直线的方程及应用1.(2015贵州模拟)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为(A)(A)x-2y+7=0(B)2x+y-1=0(C)x-2y-5=0(D)2x+y-5=0解析:由题意,可设所求直线方程为x-2y+C=0,又因为点(-1,3)在所求直线上,所以-1-23+C=0,解得C=7.故选A.2.(2015长春调研)一次函数y=-x+的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(B)(A)m1且n1(B)mn0且n0(D)m0且n0,0,n0,但此为充要条件,因此其必要不充分条件为mn0.故选B.3.(2015郑州模拟)直线l经过点A(1,2),在x
2、轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是(D)(A)(-1,) (B)(-,)(1,+)(C)(-,1)(,+)(D)(-,-1)(,+)解析:如图,kAB=-1,kAC=,因此满足条件的直线l的斜率范围是(-,-1)(,+).故选D.4.(2015山西模拟)已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为(C)(A)5(B)4(C)2(D)1解析:由题意得a2b+-(a2+1)=0,所以b=,所以|ab|=|a|=|a+|=|a|+|2.故选C.5.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上运动,则AB的中点M
3、到原点的距离的最小值为(C)(A)(B)2(C)3(D)4解析:由题意知AB的中点M的集合为到直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距离都相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0(m0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为(A)(A)(x-1)2+(y-2)2=5 (B)(x-2)2+(y-1)2=5(C)(x-1)2+(y-2)2=25(D)(x-2)2+(y-1)2=25解析:设此圆的圆心坐标为(x0,)(x00),则圆的半径r=,当且仅当2x0=,x0=1时,等号成立,圆的面积最小,此时圆心坐标为(1
4、,2),半径为,所以圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.故选A.8.以双曲线-=1的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是.解析:双曲线的渐近线方程为y=x,不妨取y=x,即4x-3y=0.双曲线的右焦点为(5,0),圆心到直线4x-3y=0的距离为d=4,即圆的半径为4,所以所求圆的标准方程为(x-5)2+y2=16.答案:(x-5)2+y2=16直线与圆、圆与圆的位置关系9.(2015资阳市高三适应性检测)对任意实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是 (C)(A)相离 (B)相切(C)相交且不过圆心(D)相交且过圆心解析:对任意的实数k,直线y=kx+1恒
5、过点(0,1),且点(0,1)在圆x2+y2=4内,所以对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是相交但直线不过圆心.故选C.10.(2015惠州模拟)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为(B)(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离解析:两圆心的距离为,且15,即|r1-r2|d0)的位置关系是“平行相交”,则b的取值范围为(D)(A)(,)(B)(0,)(C)(0,)(D)(,)(,+)解析:圆C的标准方程为(x+1)2+y2=b2,由两直线平行可得a(a+1)-6=0,解得a=2或a=-3,又当a=2时,直线l1与l2重合,舍去,
6、此时两平行线方程分别为x-y-2=0和x-y+3=0;由直线x-y-2=0与圆(x+1)2+y2=b2相切,得b=,由直线x-y+3=0与圆相切,得b=,当两直线与圆都相离时,b0,即-k0,由于k2+k+9=(k+)2+80恒成立,所以k的取值范围是(-,).故选D.7.(2015河北模拟)直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则ECF的面积为(B)(A)(B)2(C)(D)解析:由已知可得圆心到直线的距离为d=,所以|EF|=4,所以SECF=4=2.故选B.8.(2014安徽卷)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取
7、值范围是(D)(A)(0,(B)(0,(C)0,(D)0,解析:设过点P的直线方程为y=k(x+)-1,则由直线和圆有公共点知1.解得0k.故直线l的倾斜角的取值范围是0,.9.(2015江西模拟)已知两点A(1,2),B(3,1)到直线l距离分别是,-,则满足条件的直线l共有(C)(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条解析:当A,B位于直线l的同一侧时,一定存在这样的直线l,且有两条;因为|AB|=,而A到直线l与B到直线l距离之和为+-=,所以当A,B位于直线l两侧时,存在一条与AB垂直且距离A,B分别为,-的直线,综合可知满足条件的直线共有3条.10.已知直线ax+by=1与圆x2+y
8、2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且AOB是直角三角形(O是原点),则点P(a,b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为(A)(A)+1(B)2(C)(D)-1解析:由题意知AOB为直角,则原点到直线ax+by=1的距离为d=,则+a2=1,显然M(0,1)为椭圆+a2=1的焦点,所以点P(a,b)与点M(0,1)之间的最大值为+1,选A.11.(2015佳木斯模拟)已知实数x,y满足x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y-2|的最小值是(A)(A)5-(B)4-(C)-1(D)5解析:将x2+y2-4x+6y+12=0化为(x-2)2+(y+3)2=1,|2x-y-2|=,
9、所以|2x-y-2|表示圆(x-2)2+(y+3)2=1上的点到直线2x-y-2=0的距离的倍,而()min=-1=-1,所以|2x-y-2|的最小值为(-1)=5-.故选A.二、填空题12.(2015潍坊模拟)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是.解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为.因为圆关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3.点(a,b)到圆心的距离为d=,所以当a=2时,d有最小值=3.此时切
10、线长最小为=4.答案:413.当且仅当mrn时,两圆x2+y2=49与x2+y2-6x-8y+25-r2=0(r0)有公共点,则n-m的值为.解析:整理x2+y2-6x-8y+25-r2=0,得(x-3)2+(y-4)2=r2,该圆圆心是(3,4),半径为r,要使两圆有公共点需|r-7|7+r,即2r12,进而可知m=2,n=12,所以n-m=10.答案:1014.(2015赤峰市高三统考)已知O:x2+y2=1,若直线y=kx+2上总存在点P,使得过点P的O的两条切线互相垂直,则实数k的取值范围是.解析:因为圆心为O(0,0),半径R=1.设两个切点分别为A,B,则由题意可得四边形PAOB为
11、正方形,故有PO=R=,由题意知圆心O到直线y=kx+2的距离小于或等于PO=,即,即1+k22,解得k1或k-1.答案:(-,-11,+)15.(2015安徽省黄山模拟)在直角坐标系中,定义两点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离为d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题:若P,Q是x轴上两点,则d(P,Q)=|x1-x2|;已知两点P(2,3),Q(sin2,cos2),则d(P,Q)为定值;原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O,P)的最小值为;若|PQ|表示P,Q两点间的距离,那么|PQ|d(P,Q);其中为真命题的是(写出所有真命题的序
12、号).解析:若P,Q是x轴上两点,两点纵坐标均为0,则d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|=|x1-x2|,所以命题正确;若两点P(2,3),Q(sin2,cos2),则d(P,Q)=|2-sin2|+|3-cos2|=2-sin2+3-cos2=4,所以命题正确;设直线上任意一点为(x,x+1),则原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O,P)=|x|+|x+1|x+1-x|=1,即其最小值为1,所以命题错误;由基本不等式a2+b2(a+b)2,得|PQ|=(|x1-x2|+|y1-y2|)=d(P,Q),所以命题成立.综上所述,正确的命题为.答案: 直线与圆、圆与圆的
13、位置关系训练提示:(1)直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的.(2)圆的弦长的常用求法几何法:求圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则()2=r2-d2;代数法:运用根与系数的关系及弦长公式:|AB|=|x1-x2|=.(3)圆与直线l相切的情形圆心到l的距离等于半径,圆心与切点的连线垂直于l.圆与直线l相交的情形圆心到l的距离小于半径,过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦;连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦;过圆内一点的所有弦中,最短的是垂直于过这点的直径的那条弦,最长的是过这点的直径.(4)判断两圆的位置关系常用几何法,
14、即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系,一般不采用代数法.当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或公共弦长时,只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程,然后转化为直线与圆相交求公共弦长.1.已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程.解:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0化成标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有=2,解得a=-.(2)过圆心C作CDAB,则根据题意和圆的性质,
15、得解得a=-7或-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.2.已知圆M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点.(1)若Q(1,0),求切线QA,QB的方程;(2)求四边形QAMB面积的最小值;(3)若|AB|=,求直线MQ的方程.解:(1)设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1,则圆心M到切线的距离为1,即=1,解得m=-或0,所以切线QA,QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1.(2)因为MAAQ,所以=|MA|QA|=|QA|=.所以四边形QAMB面积的最小值为.(3)设AB与MQ交于P,则MPAB,所以|MP|=.易证|MB|2=
16、|MP|MQ|,即1=|MQ|,所以|MQ|=3,设Q(x,0),则|MQ|2=x2+22=9,所以x=,所以Q(,0),所以MQ的方程为2x+y-2=0或2x-y+2=0.3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设知y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0),由已知得=.又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=
17、.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.4.已知以点C(t,)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.(1)证明:由题意知圆C过原点O,所以|OC|2=t2+.则圆C的方程为(x-t)2+(y-)2=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t.所以SOAB=|OA|OB|=|2t|=4,即OAB的面积为定值.(2)解:因为|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,所以OC垂直平分线段MN.因为kMN=-2,所
18、以kOC=,所以直线OC的方程为y=x,所以=t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),|OC|=,此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4不相交,所以t=-2不符合题意,应舍去.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.5.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2)
19、,于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3.由题意,得=1,解得k=0或k=-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|CD2+1,即13.整理,得-85a2-12a0.由5a2-12a+80,得aR;由5a2-12a0,得0a.所以点C的横坐标a的取值
20、范围为0,.6.在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.解:(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r=2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=.由垂径分弦定理得+()2=22,即m=.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1x2.由x2=4得A(-2,0),B(2,0).设P(m,n),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=m2+n2,即m2-n2=2.因为=(-2-m,-n)(2-m,-n)=2(n2-1).由于点P在圆O内,故由此得n21.所以的取值范围为-2,0).
