1、2015-2016学年广东省珠海二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数2+3i的共轭复数是（）A23iB2+3iC23iD32i2下列函数中x=0是极值点的函数是（）Af（x）=x3Bf（x）=cosxCf（x）=sinxxDf（x）=3下面使用类比推理正确的是（）A直线ab，bc，则ac，类推出：向量，则B同一平面内，直线a，b，c，若ac，bc，则ab类推出：空间中，直线a，b，c，若ac，bc，则abC实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24b类推出：复数a，b，若方程x2+
2、ax+b=0有实数根，则a24bD以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2=r2类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r24已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c0，1，2，3，4，则不同的二次函数的个数共有（）A125B15C100D105下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b平面，直线a平面；所以直线b直线a，在这个推理中（）A大前提正确，结论错误B小前提与结论都是错误的C大、小前提正确，只有结论错误D大前提错误，结论错误6如果曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为xln3+y=
3、0，那么（）Af（x0）0Bf（x0）0Cf（x0）=0Df（x）在x=x0处不存在7已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）ABCD8由直线x=，x=2，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是（）ABCD2ln29用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A自然数a，b，c都是奇数B自然数a，b，c都是偶数C自然数a，b，c中至少有两个偶数D自然数 a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数10若关于x的方程x33xm=0在0，2上有根，则实数m的取值范围是（）A2，2B0，2C2，0D
4、（，2）（2，+）11若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）A1或B1或C或D或712以圆x2+y22x2y1=0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为（）A76B78C81D84二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的横线上.13若复数z=m+1+（m1）i为纯虚数，则实数m=_14要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_种不同的种法（用数字作答）15的值为_16有13名医生，其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的
5、选派方法种数为N，则下列等式：C135C71C64；C72C63+C73C62+C74C61+C75； C135C71C64C65； C72C113；其中能成为N的算式是_三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知f（x）=1x（4t3）dt，求f（1i）f（i）18已知二次函数f（x）=ax2+bx3在x=1处取得极值，且在（0，3）点处的切线与直线2x+y=0平行（）求f（x）的解析式；（）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间19从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：能组成多少个没有重复数字的七位数？上述七位数中三个偶数排在一起
6、的有几个？在中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？在中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？20当nN*时，Tn=+（）求S1，S2，T1，T2；（）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明21已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2（）求函数h（x）=f（x）x+1的最大值；（）对于任意x1，x2（0，+），且x1x2，是否存在实数m，使mg（x1）mg（x2）x2f（x2）+x1f（x1）恒为正数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由22设函数f（x）=aexx1，aR（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）当x（0，+）时，f（x）0恒成立，求a的取值范围；（）求证：
7、当x（0，+）时，ln2015-2016学年广东省珠海二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数2+3i的共轭复数是（）A23iB2+3iC23iD32i【考点】复数的基本概念【分析】直接利用复数的概念写出结果即可【解答】解：复数2+3i的共轭复数是：23i故选：A2下列函数中x=0是极值点的函数是（）Af（x）=x3Bf（x）=cosxCf（x）=sinxxDf（x）=【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】结合极值的定义，分别判断各个函数是否满足（，0）与（0，+）有单调性的改
8、变，若满足则正确，否则结论不正确【解答】解：A、y=3x20恒成立，所以函数在R上递减，无极值点B、y=sinx，当x0时函数单调递增；当0x时函数单调递减且y|x=0=0，故B符合C、y=cosx10恒成立，所以函数在R上递减，无极值点D、y=在（，0）与（0，+）上递减，无极值点故选B3下面使用类比推理正确的是（）A直线ab，bc，则ac，类推出：向量，则B同一平面内，直线a，b，c，若ac，bc，则ab类推出：空间中，直线a，b，c，若ac，bc，则abC实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24b类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24bD以点（0，0
9、）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2=r2类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r2【考点】类比推理【分析】本题考查的知识点是类比推理，我们根据判断命题真假的办法，对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案【解答】解：对于A， =时，不正确；对于B，空间中，直线a，b，c，若ac，bc，则ab或ab或相交，故不正确；对于C，方程x02+ix0+（1i）=0有实根，但a24b不成立，故C不正确；对于D，设点P（x，y，z）是球面上的任一点，由|OP|=r，得x2+y2+z2=r2，故D正确故选：D4已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c0，1
10、，2，3，4，则不同的二次函数的个数共有（）A125B15C100D10【考点】计数原理的应用【分析】因为函数y=ax2+bx+c故a0，根据分步计数原理可得【解答】解：a有4种选法，b，c各有5种选法，故共有455=100，故选：C5下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b平面，直线a平面；所以直线b直线a，在这个推理中（）A大前提正确，结论错误B小前提与结论都是错误的C大、小前提正确，只有结论错误D大前提错误，结论错误【考点】演绎推理的意义【分析】演绎推理的错误有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误，要判断推理过程
11、的错误原因，可以对推理过程的大前提和小前提及推理的整个过程，细心分析，不难得到正确的答案【解答】解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直故大前提错误，结论错误故选D6如果曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为xln3+y=0，那么（）Af（x0）0Bf（x0）0Cf（x0）=0Df（x）在x=x0处不存在【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲判别f（x0）的大小，只须求出切线斜率的正负即可，故结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决【解答】解：由切线xln3+y=0的斜率：k=ln30可得f（x0）0故选B7已知函数f（x）的导函数f（x
12、）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据导函数图象可知，函数在（，0），（2，+）上单调增，在（0，2）上单调减，从而可得结论【解答】解：根据导函数图象可知，函数在（，0），（2，+）上单调增，在（0，2）上单调减，由此可知函数f（x）的图象最有可能的是A故选A8由直线x=，x=2，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是（）ABCD2ln2【考点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意画出图形，再利用定积分即可求得【解答】解：如图，面积故选D9用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设否定“自然数a，b，c中恰有一个偶
13、数”时正确的反设为（）A自然数a，b，c都是奇数B自然数a，b，c都是偶数C自然数a，b，c中至少有两个偶数D自然数 a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【考点】反证法与放缩法【分析】由于命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数”，从而得出结论【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为：“自然数 a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：D10若关于x的方程x33xm=0在0，2上有根，则实数m的取值范围是（）A2，2B0，2C2，0D（，2
14、）（2，+）【考点】二分法的定义【分析】由题意可知方程x33xm=0在0，2上有解，则函数m=x33x，x0，2，求出此函数的值域，即可得到实数m的取值范围【解答】解：令y=x33x，x0，2，则 y=3x23，令y0，解得x1，故此函数在0，1上增，在1，2上减，又当x=1，y=2； 当x=2，y=2； 当x=0，y=0函数y=x33x，x0，2的值域是2，2，m2，2，故选：A11若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）A1或B1或C或D或7【考点】导数的几何意义【分析】已知点（1，0）不在曲线y=x3上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x3相切的切点的坐标，进
15、而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax2+x9相切，只有一个公共点，两个方程联立，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值【解答】解：由y=x3y=3x2，设曲线y=x3上任意一点（x0，x03）处的切线方程为yx03=3x02（xx0），（1，0）代入方程得x0=0或当x0=0时，切线方程为y=0，此直线是y=x3的切线，故仅有一解，由=0，解得a=当时，切线方程为，由，a=1或a=故选A12以圆x2+y22x2y1=0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为（）A76B78C81D84【考点】圆的一般方程【分析】将圆化成标准方程，得圆心C（1，1），半径r=，可得在圆内且
16、横坐标与纵坐标均为整数的点有9个然后利用组合数公式，采用间接法即可算出满足条件的三角形的个数【解答】解：圆x2+y22x2y1=0化成标准形式，得（x1）2+（y1）2=3圆心C（1，1），半径r=满足横坐标与纵坐标均为整数的点，且在圆内的点有（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）共9个点9个点中任取3个，共有=84种取法，其中三点共线的情况共有8种这9个点能构成三角形的个数为848=76个故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的横线上.13若复数z=m+1+（m1）i为纯虚数，则实数m
17、=1【考点】复数的基本概念【分析】根据所给的复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部等于0，虚部不等于0，得到关于a的方程，解方程即可【解答】解：复数z=m+1+（m1）i为纯虚数，m+1=0，m10，m=1故答案为：114要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有72种不同的种法（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】区域1可取4种颜色任何一种色，有种，区域2只能取除区域1以外的颜色有种，区域4与区域2不相邻，有种；再对区域5与区域3分类讨论，最后利用乘法原理与加法原理运算即可求得答案【解答】解：首先，区域1可取4种颜色任何一种色，有种，区域2只能
18、取除1以外的颜色有种；区域4与区域2不相邻，也可取除1以外的3种颜色，有种；区域5有两种可能：区域2，区域4取同一色，有种；区域2，区域4取不同色，区域5只有一色可取，有种方法；区域3也有2种可能：若区域2，区域4取同一色，有种取法；若区域2，区域4取不同色，区域5只有一色可取，有种方法；区域2、区域4共=33=9取法中，3种取法是同一色的，6种取法是不同色的；所以，共有着色方法3+6=4322+4611=48+24=72种故答案为：7215的值为【考点】极限及其运算【分析】利用导数的定义即可得出【解答】解： =（cosx）=sin=，故答案为：16有13名医生，其中女医生6人现从中抽调5名医
19、生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式：C135C71C64；C72C63+C73C62+C74C61+C75； C135C71C64C65； C72C113；其中能成为N的算式是【考点】排列、组合的实际应用【分析】利用直接法、间接法，即可得出结论【解答】解：13名医生，其中女医生6人，男医生7人利用直接法，2男3女：C72C63；3男2女：C73C62；4男1女：C74C61；5男：C75，所以N=C72C63+C73C62+C74C61+C75；利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即N=C135
20、C71C64C65；所以能成为N的算式是故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知f（x）=1x（4t3）dt，求f（1i）f（i）【考点】定积分；复数代数形式的乘除运算【分析】先根据定积分求出函数f（x）的解析式，然后分别求出f（1i）与f（i）即可求出所求【解答】解：f（x）=（t4+）|1x=x4+2f（1i）=（1i）4+2=+f（i）=i4+2=1if（1i）f（i）=6+5i18已知二次函数f（x）=ax2+bx3在x=1处取得极值，且在（0，3）点处的切线与直线2x+y=0平行（）求f（x）的解析式；（）求函数g（x）=xf（
21、x）+4x的单调递增区间【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义【分析】（1）先对函数f（x）求导，令f（1）=0，f（0）=2即可得到答案（2）将函数f（x）的解析式代入求出函数g（x）的解析式后求导，令导函数大于0求出x的范围即可【解答】解：（）由f（x）=ax2+bx3，可得f（x）=2ax+b由题设可得即解得a=1，b=2所以f（x）=x22x3（）由题意得g（x）=xf（x）+4x=x32x2+x，所以g（x）=3x24x+1=（3x1）（x1）令g（x）=0，得，x2=1所以函数g（x）的单调递增区间为，（1，+）19从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：能组成多少
22、个没有重复数字的七位数？上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？在中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？在中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【考点】排列、组合的实际应用【分析】分步完成：第一步计算在4个偶数中取3个的情况数目，第二步计算在5个奇数中取4个的情况数目，第三步将取出的7个数进行全排列，计算可得答案；由的第一、二步，将3个偶数排在一起，有A33种情况，与4个奇数共5个元素全排列，计算可得答案；由的第一、二步，将3个偶数排在一起，有A33种情况，4个奇数也排在一起有A44种情况，将奇数与偶数进行全排列计算可得答案；由的第一、二步，可先把4个奇数取出并排好有C54A44种情
23、况，再将3个偶数分别插入5个空档，有C43A53种情况，进而由乘法原理，计算可得答案【解答】解：分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C43种情况；第二步在5个奇数中取4个，可C54有种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A77种情况，所以符合题意的七位数有C43C54A77=100800个；上述七位数中，将3个偶数排在一起，有A33种情况，故三个偶数排在一起的有C43C54A55A33=14400种情况；上述七位数中，3个偶数排在一起有A33种情况，4个奇数也排在一起有A44种情况，共有C43C54A33A44A22=5760个上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3
24、个偶数分别插入5个空档，共有C54A44C43A53=28800个20当nN*时，Tn=+（）求S1，S2，T1，T2；（）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明【考点】数学归纳法；数列的求和【分析】（）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；（）利用（1）的结果，直接猜想Sn=Tn，然后利用数学归纳法证明，验证n=1时猜想成立；假设n=k时，Sk=Tk，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可【解答】解：（）当nN*时，Tn=+S1=1=，S2=1+=，T1=，T2=+=（）猜想：Sn=Tn（nN*），即：1+=+（nN*）下面用数学归纳法证明：当n=1时，已证S1=T1假
25、设n=k时，Sk=Tk（k1，kN*），即：1+=+则：Sk+1=Sk+=Tk+=+=+（）=+=Tk+1，由，可知，对任意nN*，Sn=Tn都成立21已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2（）求函数h（x）=f（x）x+1的最大值；（）对于任意x1，x2（0，+），且x1x2，是否存在实数m，使mg（x1）mg（x2）x2f（x2）+x1f（x1）恒为正数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的定义域、导数h（x），由导数的符号可知函数单调性，根据单调性即可得到最大值；（）mg（x2）mg（x1）x1
26、f（x1）+x2f（x2）0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）mg（x1）+x1f（x1），设（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，又0x1x2，则只需（x）在（0，+）上单调递减从而有（x）=2mx+1+lnx0在（0，+）上恒成立，分离出参数m后化为函数最值即可，利用导数可求得函数的最值【解答】解：（）函数h（x）的定义域为（0，+），h（x）=lnxx+1，h（x）=1=，当x（0，1）时，h（x）0；当x（1，+）时，h（x）0h（x）在（0，1）上是单调递增，在（1，+）上单调递减，h（x）max=h（1）=0，即函数的最大值为0（）若mg（x2）mg（x1）x1f
27、（x1）+x2f（x2）0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）mg（x1）+x1f（x1），设（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，又0x1x2，则只需（x）在（0，+）上单调递减（x）=2mx+1+lnx0在（0，+）上成立，得2m，设t（x）=，则t（x）=，知函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，即t（x）min=t（1）=1存在实数m，使mg（x2）mg（x1）x1f（x1）+x2f（x2）恒为正数22设函数f（x）=aexx1，aR（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）当x（0，+）时，f（x）0恒成立，求a的取值范围；（）求证：当x（0，+
28、）时，ln【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）a=1时得出f（x），进而得到f（x）=ex1，这样便可判断导数符号，根据符号即可得出f（x）的单调区间；（）可以由f（x）0恒成立得到恒成立，这样设，求导，根据导数符号便可判断g（x）在（0，+）上单调递减，这便可得到g（x）1，从而便可得出a的取值范围；（）容易得到等价于exxex10，可设h（x）=exxex1，求导数，并根据上面的f（x）0可判断出导数h（x）0，从而得到h（x）h（0）=0，这样即可得出要证明的结论【解答】解：（）当a=1时，则f（x）=exx1，f（x）=ex1；令f（x）=0，得x
29、=0；当x0时，f（x）0，f（x）在（，0）上单调递减；当x0时，f（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增；即a=1时，f（x）的单调减区间为（，0），单调赠区间为0，+）；（）ex0；f（x）0恒成立，等价于恒成立；设，x（0，+），；当x（0，+）时，g（x）0；g（x）在（0，+）上单调递减；x（0，+）时，g（x）g（0）=1；a1；a的取值范围为1，+）；（）证明：当x（0，+）时，等价于exxex10；设h（x）=exxex1，x（0，+），；由（）知，x（0，+）时，exx10恒成立；h（x）0；h（x）在（0，+）上单调递增；x（0，+）时，h（x）h（0）=0；因此当x（0，+）时，2016年9月20日
