1、13.2.2空间两条直线的位置关系学 习 任 务核 心 素 养1会判断空间中直线与直线的位置关系(重点)2能应用基本事实4和等角定理解决简单的立体几何问题(难点)3了解异面直线所成的角的概念，能借助长方体模型说明异面直线所成的角(难点)1通过对空间两条直线位置关系和异面直线概念的学习，培养直观想象素养2通过计算异面直线所成的角，培养数学运算素养在平面几何中，两条直线的位置关系有哪些？观察教室中的墙角线、日光灯所在的直线，说说空间两条直线有哪些位置关系？在空间，平行于同一条直线的两条直线仍然互相平行么？如何求没有公共点且不共面的直线所成的角？知识点1空间两条直线的位置关系1如图，在长方体ABCD
2、A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC，A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1BD1C(2)A1B平面BB1CB，BB1C，所以直线A1B与直线B1C的位置关系是异面(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1(4)AB平面BB1CB，BB1C，所以直线AB与直线B1C的位置关系是异面知识点2基本事实4及等角定理(1)基本事实4：平行
3、于同一条直线的两条直线平行符号表示：ac(2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等2已知ABPQ，BCQR，ABC30，则PQR等于_30或150ABC的两边与PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以PQR30或150知识点3异面直线的判定及其所成的角(1)异面直线的判定定理定理文字语言符号表示图形语言异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线若l，A，B，Bl，则直线l与A B是异面直线不在同一平面内的两条直线是否是异面直线？提示(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件异面直
4、线既不相交，也不平行(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a，b，即a、b分别在两个不同的平面内，但是因为abO，所以a与b不是异面直线(2)异面直线所成的角定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，我们把直线a和b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角异面直线所成的角的取值范围：090当时，a与b互相垂直，记作ab3思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)如果ab，bc，则ac()(2)如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线()(3)如果a，b相交，b，c相交，则a，c也相交()(4)如果a，b共面，b
5、，c共面，则a，c也共面()答案(1)(2)(3)(4)4已知a，b是异面直线，直线c直线a，则c与b的位置关系是_相交或异面a，b是异面直线，直线c直线a，因而c不平行于b，若cb，则ab，与已知矛盾，因而c不平行于b，即c与b相交或异面 类型1空间中直线的位置关系【例1】(1)下列命题中正确的有_(填序号)两条直线无公共点，则这两条直线平行；两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线；和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线(2)a，b，c是空间中三条直线，给出下列说法：若ab，bc，则ac；ab是指直线a，b在同一平
6、面内且没有公共点；若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行其中正确的有_(填序号)(1)(2)(1)对于，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此不正确；对于，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以正确；对于，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此不正确；对于，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此不正确(2)由基本事实4知正确；由平行线的定义知正确；若l，a，b，al，bl，则ab，错误空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况
7、均不满足则为异面.跟进训练1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_平行异面相交异面直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面同理，直线AB与直线B1C异面，所以都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C显然相交于点D1，所以应该填“相交” 类型2基本事实4与等角定理的应用【例2】(
8、对接教材P159例2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点求证：EA1FE1CF1证明如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，MF1，则BFA1MAB又BFA1M，四边形A1FBM为平行四边形，A1FBM而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1MC1B1而C1B1BC，F1MBC，且F1MBC四边形F1MBC为平行四边形，BMF1C又BMA1F，A1FCF1同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1NDE，四边形A1NDE为平行四边形，A1EDN又E1NCD，且E1NCD，
9、四边形E1NDC为平行四边形，DNCE1，A1ECE1EA1F与E1CF1的两边分别对应平行即A1ECE1，A1FCF1，且EA1F与E1CF1均为锐角，EA1FE1CF1运用基本事实4的关键是寻找“中间量”即第三条直线.证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现.跟进训练2如图，已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：DNMD1A1C1证明(1)在ADC中，M，N分别是CD，AD的中点，MN是ADC的中位线MNAC由正方体性质知，ACA1C1，MNA1C1，即MNA1C1四边
10、形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1，又因为NDA1D1，而DNM与D1A1C1均是直角三角形的锐角，DNMD1A1C1 类型3求异面直线所成的角【例3】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解.解法一：如图(1)，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OGB1D，EFA1C1，GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角(1)GA1GC1，O为A1C1的中点GOA1C1异面直线DB1与EF所成的角为90法
11、二：如图(2)，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，HF，则HEDB1，且HEDB1(2)于是HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角设AA11则EF，HE，取A1D1的中点I，连接IF，IH，则HIIF，HF2HI2IF2，HF2EF2HE2HEF90，异面直线DB1与EF所成的角为90(3)法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接DQ，B1Q，则B1QEF于是DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角设AA11，则DQ，B1D，B1Q，所以B1D2B1Q2DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个
12、相交角(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数(4)若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角跟进训练3如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为_连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为1分别在两个
13、相交平面内的两条直线间的位置关系是()A平行 B相交C异面 D以上皆有可能答案D2如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是()A矩形 B正方形 C菱形 D梯形C利用E，F，G，H分别为各边中点，可得四边形EFGH是平行四边形又由对角线AC，BD相等，可得四边形EFGH一定是菱形故选C3在各棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为()A B1 C DC如图，取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1MPB，则PBN为异面直线A1M与BN
14、所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为2，则PN，PB，BN，所以PN2BN2PB2，所以PNB90，在RtPBN中，tanPBN，故选C4空间中有一个A的两边和另一个B的两边分别平行，A70，则B_70或110A的两边和B的两边分别平行，AB或AB180，又A70，B70或1105已知棱长为a的正方体ABCDABCD中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与AC的位置关系是_平行如图所示，MNAC，又ACAC，MNAC回顾本节知识，自我完成以下问题：1空间任意两条直线有几种位置关系？提示相交、平行和异面2如何判定两条直线是异面直线？提示(1)定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线3求异面直线所成的角常分几个步骤？提示四个，即“一作”“二证”“三求”“四结论”
