1、高考资源网（ ），您身边的高考专家 点、线、面的位置关系高考试题考点一 判断点、线、面的位置关系1.(2013年浙江卷,文4)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()(A)若m,n,则mn(B)若m,m,则(C)若mn,m,则n(D)若m,则m解析:A项,当m,n时,m,n可能平行,可能相交,也可能异面,故错误;B项,当m,m时,可能平行也可能相交,故错误;C项,当mn,m时,n,故正确;D项,当m,时,m可能与平行,可能在内,也可能与相交,故错误.故选C.答案:C2.(2012年四川卷,文6)下列命题正确的是()(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(B)若一个平面
2、内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行解析:如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线A1B1和B1C1与下底面所成的角相等(都是0),但A1B1与B1C1不平行.即选项A不正确;若E、F、G、H分别为AA1、BB1、CC1、DD1的中点,则平面ABB1A1内点A、B、B1、A1到平面EFGH的距离都相等,但平面EFGH与平面ABB1A1相交,即选项B不正确;A1B1平面ABCD,A1B1平面CDD1C1,易知A1B1平行于平面ABCD与平面CDD1C1的
3、交线CD,平面ABB1A1与平面BCC1B1都与底面ABCD垂直,但两平面不平行.即选项D不正确;故选C.答案:C3.(2012年浙江卷,文5)设l是直线,是两个不同的平面()(A)若l,l,则(B)若l,l,则(C)若,l,则l(D)若,l,则l解析:当l,l时,与可能相交,这时l平行于与的交线,故选项A错误;由于l,故在内存在直线ll,又因为l,所以l,故,所以选项B正确;若,在内作交线的垂线l,则l,此时l在平面内,因此选项C错误;已知,若=a,la,且l不在平面,内,则l且l,因此选项D错误.答案:B4.(2011年四川卷,文6)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是
4、()(A)l1l2,l2l3l1l3 (B)l1l2,l2l3l1l3(C)l1l2l3l1,l2,l3共面 (D)l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面解析:如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中:对于选项A:A1D1AA1,ABAA1,但A1D1与AB是异面直线,选项A错误;对于选项C:ABA1B1C1D1,但三线不共面,选项C错误;对于选项D,AB、AA1、AD共点于A,但三线不共面,选项D错误.正确答案是B.答案:B5.(2010年山东卷,文4)在空间,下列命题正确的是()(A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)垂直于同
5、一平面的两条直线平行解析:平行直线的平行投影可能平行,故选项A不正确;平行于同一直线的两个平面可能相交,故选项B不正确;垂直于同一平面的两个平面也可能相交.故选项C不正确;选项D是直线与平面垂直的性质定理,故选项D正确.答案:D6.(2011年浙江卷,文4)若直线l不平行于平面,且l,则()(A)内的所有直线与l异面(B)内不存在与l平行的直线(C)内存在唯一的直线与l平行(D)内的直线与l都相交解析:由题意知,直线l与平面相交,则直线l与平面内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.答案:B7.(2010年湖北卷,文4)用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题
6、:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a,b,则ab;若a,b,则ab.其中真命题的序号是()(A)(B)(C)(D)解析:是平行公理,正确;空间中垂直于同一直线的两直线可能平行,也可能相交、异面但不垂直,故不正确;平行于同一平面的两直线可能平行、相交或异面,故不正确;垂直于同一平面的两直线平行,是直线与平面平行的性质定理,正确,故答案选C.答案:C8.(2009年江苏卷,12)设和为不重合的两个平面,给出下列命题:若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;若外一条直线l与内的一条直线平行,则l和平行;设和相交于直线l,若内有一条直线垂直于l,则和垂直;直线l与垂直的充分必
7、要条件是l与内的两条直线垂直.上面命题中,真命题的序号是(写出所有真命题的序号).解析:命题是两个平面平行的判定定理,正确;命题是直线与平面平行的判定定理,正确;命题中在内可以作无数条直线与l垂直,但与只是相交关系,不一定垂直,错误;命题中直线l与垂直可推出l与内两条直线垂直,但l与内的两条直线垂直推不出直线l与垂直,所以命题不正确.答案:考点二 几何体中点、线、面的位置关系1.(2013年江西卷,文15)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.解析:依题意把正四面体CDEF放在正方体内,假设AB与CD等长,使AB与CD
8、重合.在正四面体CDEF内,易得CD与EF所在直线是异面直线且互相垂直,故正方体内与CD(也即AB)垂直的平面必与EF平行,这样的平面有2个.又因EF不与平面垂直,易知EF与正方体内其他4个平面的关系是相交的.答案:42.(2012年安徽卷,文15)若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则(写出所有正确结论的编号).四面体ABCD每组对棱相互垂直;四面体ABCD每个面的面积相等;从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180;连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边
9、长.解析:把四面体补形为平行六面体,由三组对棱分别相等可知此平行六面体为长方体,如图所示,只有长方体为正方体时才正确,故不正确.在长方体中,有BACDCA.ABCDCB,CBDADB.四面体ABCD每个面的面积都相等,故正确.对于,以BAC,CAD,BAD为例说明.BACDCA,CAD=ACB.又DABCBA,BAD=ABC.BAC+CAD+BAD=BAC+ACB+ABC=180,故不正确.对于,连接四面体ABCD对棱中点的线段即是连接长方体对面中心的线段,显然相互垂直平分,故正确.对于,以AB、AC、AD为例进行说明.AD=BC,AB、AC、BC三边长可构成ABC,AB、AC、AD可以作为一
10、个三角形的三边长.同理可得从其他顶点出发的三条棱的长也可以作为一个三角形的三边长.故正确.答案:3.(2010年江西卷,文11)如图所示,M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是()(A)(B)(C)(D)解析:在AB上任取一点P,则平面PMC1与AB,B1C1都相交,这样的平面有无数个,故是假命题,结合选项可知应选C.答案:C4.(2009年海南、宁夏卷
11、,文9)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中错误的是()(A)ACBE(B)EF平面ABCD(C)三棱锥ABEF的体积为定值(D)AEF的面积与BEF的面积相等解析:AC平面BB1D1D,又BE平面BB1D1D,ACBE,故选项A正确.B1D1平面ABCD,又E、F在直线B1D1上运动,故EF平面ABCD.故选项B正确.选项C中由于点B到直线EF的距离是定值,故BEF的面积为定值,又点A到平面BEF的距离为定值,故不变.故选项C正确.由于点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等,因此AEF与BEF的面积不相等,故选项
12、D错误.答案:D考点三 利用线面关系解决有关数量问题1.(2013年北京卷,文8)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有()(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个解析: 如图,取底面ABCD的中心O,连接PA,PC,PO.AC平面DD1B,又PO平面DD1B,ACPO.又O是AC的中点,PA=PC.同理,取B1C与BC1的交点H,易证B1C平面D1C1B,B1CPH.又H是B1C的中点,PB1=PC,PA=PB1=PC.同理可证PA1=PC1=PD.又P是BD1的三等分点,PBPD1PB1PD,故点P到正方体的顶点的不同距离有4个.
13、答案:B2.(2012年重庆卷,文9)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是()(A)(0,)(B)(0,)(C)(1,)(D)(1,)解析:如图所示,AB=,CD=a,设点E为AB的中点 ,则EDAB,ECAB,则ED=,同理EC=.由构成三角形的条件知0aED+EC=,0a.答案:A3.(2009年湖南卷,文6)平行六面体ABCDA1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()(A)3(B)4(C)5(D)6解析:与AB共面也与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共5条.答案:C4.(2013年安徽卷,文
14、15)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).当0CQ时,S为四边形;当CQ=时,S为等腰梯形;当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;当CQ1时,S为六边形;当CQ=1时,S的面积为.解析:利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解.当0CQ时,如图(1).在平面AA1D1D内,作AEPQ,显然E在棱DD1上,连接EQ,则S是四边形APQE.当CQ=时,如图(2).显然PQBC1AD1,连接D1Q,则S是等腰梯形.当CQ=时,如图(3).作
15、BFPQ交CC1的延长线于点F,则C1F=.作AEBF,交DD1的延长线于点E,D1E=,AEPQ,连接EQ交C1D1于点R,由于RtRC1QRtRD1E,C1QD1E=C1RRD1=12,C1R=.当CQ1时,如图(3),连接RM(点M为AE与A1D1交点),显然S为五边形APQRM.当CQ=1时,如图(4).同可作AEPQ交DD1的延长线于点E,交A1D1于点M,显然点M为A1D1的中点,所以S为菱形APQM,其面积为MPAQ=.答案:5.(2011年福建卷,文15)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF平面AB1C,则线段EF的长度等
16、于.解析:由于在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AC=2.又E为AD中点,EF平面AB1C,EF平面ADC,平面ADC平面AB1C=AC,EFAC.F为DC中点.EF=AC=.答案:6.(2013年陕西卷,文18)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O底面ABCD,AB=AA1=.(1)证明:平面A1BD平面CD1B1;(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积.(1)证明:由题设知,BB1DD1,BB1D1D是平行四边形,BDB1D1.又BD平面CD1B1,BD平面CD1B1.A1D1B1C1BC,A1BCD1是平行四边形,A1BD1C.又A
17、1B平面CD1B1,A1B平面CD1B1.又BDA1B=B,平面A1BD平面CD1B1.(2)解:A1O平面ABCD,A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高.又AO=AC=1,AA1=,A1O=1.又SABD=1,=SABDA1O=1.7.(2013年湖南卷,文17)如图,在直棱柱ABCA1B1C1中,BAC=90,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动.(1)证明:ADC1E;(2)当异面直线AC,C1E所成的角为60时,求三棱锥C1A1B1E的体积.(1)证明:因为AB=AC,D是BC的中点,所以ADBC. 又在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1平面ABC,而AD平
18、面ABC,所以ADBB1. 由,得AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动,得C1E平面BB1C1C,所以ADC1E.(2)解:因为ACA1C1,所以A1C1E是异面直线AC,C1E所成的角.由题意知A1C1E=60.因为B1A1C1=BAC=90,所以A1C1A1B1.又AA1A1C1,从而A1C1平面A1ABB1.于是A1C1A1E.故C1E=2.又B1C1=2,所以B1E=2.从而 = A1C1=2=.考点四 求异面直线所成的角1.(2012四川卷,文14)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.解析:如
19、图所示,取CN的中点K,连接MK,则MK为CDN的中位线,所以MKDN.所以A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.连接A1C1,AM.设正方体棱长为4,则A1K= = ,MK= DN= = ,A1M= =6,A1M2+MK2=A1K2,A1MK=90.答案:902.(2012年大纲全国卷,文16)已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为.解析:如图所示,连接DF,则AEDF,D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角.设正方体棱长为a,则D1D=a,DF=a,D1F=a,cosD1FD=.答案:模拟试题 考点一 判断点、线
20、、面的位置关系1.(2013广东珠海高三上学期期末)已知直线l、m和平面,则下列命题正确的是()(A)若lm,m,则l(B)若l,m,则lm(C)若lm,l,则m(D)若l,m,则lm解析:对于选项A,l可能在内;对于选项B,l与m可能异面;对于选项C,m可能在内,只有选项D正确.答案:D2.(2012湖北襄阳模拟)关于直线a、b、l以及平面、,下面命题中正确的是()(A)若a,b,则ab(B)若a,ba,则b(C)若a,a,则(D)若a,b,且la,lb,则l解析:如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1B1平面ABCD,B1C1平面ABCD,但A1B1B1C1=B1,故选项A不正
21、确;A1B1平面ABCD,A1D1A1B1,但A1D1平面ABCD,故选项B不正确;对于平面ABCD内的直线AB、CD都与直线A1D1垂直,但A1D1平面ABCD,故选项D不正确.故选C.答案:C考点二 判断几何体中点、线、面的位置关系1.(2011浙江省嘉兴市高三教学测试)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是() (A)MN与CC1垂直(B)MN与AC垂直(C)MN与BD平行(D)MN与A1B1平行解析:由于C1D1与A1B1平行,MN与C1D1是异面直线,所以MN与A1B1是异面直线,故选项D错误.答案:D2.(2012安徽蚌埠
22、模拟)如图所示,在四面体OABC中,OA、OB、OC两两垂直,且OB=OC=3,OA=4.给出以下命题:存在点D(O点除外),使得四面体DABC有三个面是直角三角形;存在点D,使得点O在四面体DABC外接球的球面上;存在唯一的点D使得四面体DABC是正棱锥;存在无数个点D,使得AD与BC垂直且相等.其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号填上).解析:过O作平面ABC的垂线(O为垂足),延长至D使OD=OO,连接AD,BD,CD,则四面体DABC有三个面是直角三角形,故正确;在以O、A、B、C确定的球上,显然存在点D满足条件,故正确;因为AB=AC=5,BC=3,所以当点D满足BC=BD=
23、CD=3且AD=5,四面体是以BCD为底面的正棱锥,这样的D点有两个,所以不正确.取BC的中点O1,在平面AOO1内以A为圆心,以BC为半径作圆,圆周上任一点满足条件,所以这样的点D有无数个,故正确.答案:考点三 利用点、线、面关系解决有关数量问题1.(2013北京西城区模拟)正方体ABCDA1B1C1D1中,与体对角线AC1异面的棱有()(A)3条(B)4条(C)6条(D)8条解析:正方体的12条棱中,以点A和点C1作为一个端点的棱各有3条,故与AC1异面的棱有12-6=6条.故选C.答案:C2.(2011辽宁抚顺)已知空间四边形ABCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列判断正确的是(
24、)(A)MN(AC+BD) (B)MN(AC+BD)(C)MN=(AC+BD) (D)MN(AC+BD)解析:如图所示,在空间四边形ABCD中,取BC的中点E,连接ME、NE,则ME=AC,NE=BD.在MNE中,MNME+NE=(AC+BD).故选D.答案:D考点四 求异面直线所成的角(2013山东临沂3月月考)在正四棱锥VABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为()(A)(B)(C)(D)解析:如图所示,连接AC、BD,设ACBD=O,BDAC,BDVO,ACVO=O,BD平面VAC,VA平面VAC,BDVA,即异面直线BD与VA所成的角是.
25、答案:D综合检测1.(2013潍坊一模)已知直线l平面,直线m平面,则“”是“lm”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件解析:若,l,则l,又m,lm,若lm,l,m,不一定有,故“”是“lm”的充分不必要条件.故选A.答案:A2.(2012海南琼海一模)已知一个平面,l为空间中的任意一条直线,那么在平面内一定存在直线b使得()(A)lb (B)l与b相交(C)l与b是异面直线(D)lb解析:当l与平面相交时,平面内不存在直线l满足lb,故选项A错;当l时,l与b平行或异面,故选项B错;当l时,l与b平行或相交,故选项C错误;无论l与的位置关系如何,在平面内总存在直线bl.故选D.答案:D欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
