1、课时跟踪检测（二十四） 抛物线的简单几何性质A级基础巩固1顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程为()Ay2xBx28yCy28x或x2yDy2x或x28y解析：选D若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2ax，将点P(4，2)的坐标代入，得a1，所以抛物线的标准方程为y2x.若焦点在y轴上，设方程为x2by，将点P(4，2)的坐标代入，得b8，所以抛物线的标准方程为x28y.故所求抛物线的标准方程是y2x或x28y.2在同一平面直角坐标系中，方程9x24y21与3x2y20的曲线大致为()解析：选D将方程9x24y21与3x2y20转化为1与y2x，所以椭圆的焦点在y轴上
2、，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左故选D.3已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点解析：选C直线ykxkk(x1)，直线过定点(1,0)当k0时，直线与抛物线有一个公共点；当k0时，直线与抛物线有两个公共点4设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，2 )B(1，2)C(1,2)D(2,2)解析：选B设A(x，y)，则y24x，又(x，y)，(1x，y)，所以xx2y24.由可解得x1，y2，故A点坐标为(1，2)5过点(
3、1,0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2B2C2D2解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知AB的方程为y2(x1)，即y2x2.由得x24x10，x1x24，x1x21.|AB|2.6直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_解析：将yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3，2.所求点的坐标为(3,2)答案：(3,2)7已知A(2,0)，B为抛物线y2x上的一点，则|AB|的最小值为_解析：设点B(x，y)，则xy20，所以|AB|.所以当x时，|AB|取得最小值，且|AB|min.答案：8已知
4、AB是抛物线2x2y的焦点弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标为_解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A，Q，B.由题意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2.又|PQ|y0，所以y02，解得y0.答案：9设抛物线W：y24x的焦点为F，直线l：yxm与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点(1)求m的取值范围；(2)求证：点Q的纵坐标为定值解：(1)直线l：yxm与抛物线W联立得x2(2m4)xm20，(2m4)24m20，解得m1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x242m，x1x2m2，则点Q的纵坐标为2.点Q
5、的纵坐标为定值2.10抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则由抛物线定义，得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x2p8.又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由消去y，得x23px0.所以x1x23p，将代入，得p2.所以抛物线的标准方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线标准方程为y
6、24x.故抛物线的标准方程为y24x或y24x.B级综合运用11过点(2,4)作直线l，与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线l有()A1条B2条C3条D4条解析：选B可知点(2,4)在抛物线y28x上，过点(2,4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行12(多选)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为9，则()AABF是等边三角形B|BF|3C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26x解析：选ACD以F为圆心，|FA|为半径的圆
7、交l于B，D两点，ABD90，由抛物线的定义可得|AB|AF|BF|，ABF是等边三角形，FBD30.ABF的面积为|BF|29，|BF|6.又点F到准线的距离为|BF|sin 303p，则该抛物线的方程为y26x.13已知抛物线y22x，直线l的方程为xy30，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为_，此时点P的坐标为_解析：设点P(x0，y0)是y22x上任意一点，则点P到直线xy30的距离d，当y01时，dmin，此时x0，所以点P的坐标为.答案：14设点P(x，y)(y0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)
8、求点P的轨迹方程；(2)若直线l：ykx1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|2，求实数k的值解：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|y，由题意知|PM|PN|， y，化简得x22y.故点P的轨迹方程为x22y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x22kx20，x1x22k，x1x22.|AB|2，k43k240，又k20，k21，k1.C级拓展探究15过抛物线C：x22py(p0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(2，y0)，使得MAMB，求直线l的方程解：(1)C：x22py的准线方程为y，当点A的纵坐标为1时，|AF|2，12，p2，抛物线C的方程为x24y.(2)M(2，y0)在C上，y01，又F(0,1)，设l的方程为ykx1，由得x24kx40，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24，(x12，y11)，(x22，y21)，MAMB，0，(x12)(x22)(y11)(y21)0，48k44k20，k2或0，当k0时，l过M点(舍)，当k2时，l不过M点，k2，l的方程为y2x1.
