1、13.2 球的体积和表面积一、预习教材问题导入 根据以下提纲，预习教材 P27P28，回答下列问题从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展成平面图形那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长理论上，只要取得圆内接正多边形的边数越多，圆周率越精确，直到无穷这种思想就是朴素的极限思想(1)运用上述思想能否计算球的表面积和体积？提示：可以(2)求球的表面积和体积需要什么条件？提示：已知球的半径即可二、归纳总结核心必记 1球的体积设球的半径为 R，则球的体积 V_.2球的表面积设球的半径为
2、R，则球的表面积 S，即球的表面积等于它的大圆面积的倍43R34R24三、综合迁移深化思维(1)若一个球的体积在数值上等于其表面积大小，则其半径为多少？提示：设半径为 R，则43R34R2，得 R3.(2)若球与正方体的六个面均相切，则球的直径与正方体的棱长有什么关系？提示：相等(3)若长方体的 8 个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线与球的直径有什么关系？提示：相等探究点一 球的体积和表面积思考探究下图是一个可随风摆动的球体型移动小屋，这个创意既节省了空间，又充满了自然的风味在设计时工程师按照顾客的要求根据球的体积和表面积公式，就可给出房子的内部空间和制作材料的多少，从而确定报价怎样认识
3、球的体积和表面积公式？名师指津：对球的表面积与体积公式的几点认识：从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定 R 都有唯一确定的 S 和 V 与之对应，故表面积和体积是关于 R 的函数 无论所给具体题目的条件如何变化，始终从公式出发，“缺什么，找什么，要什么，求什么”，紧紧围绕能求出球的半径的目的思考.球的表面积和体积公式中均含有，如不加特殊说明，结果中保留 即可.典例精析(1)已知球的直径为 8 cm，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为 144 cm2，求它的体积；(3)已知球的体积为 36，求它的表面积解(1)直径为 8 cm，半径 R4 cm，表面积 S 球4R26
4、4(cm2)，体积 V 球43R32563(cm3)(2)S 球4R2144(cm2)，R6 cm，V 球43R3288(cm3)(3)V 球43R336，R3，S 球4R236.类题通法求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了针对训练1若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为()A.12 B1C2D.3解析：设球的半径为 r，则球的体积为43r3，球的表面积为 4r2，故43r34r2，解得 r3.答案：D 2一个空
5、间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为 1 的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为_解析：由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和因为 R1，所以 S34412212124.答案：4典例精析如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A.5003 cm3 B.8663 cm3C.1 3723cm3D.2 0483 cm3探究点二 球的截面问题解析 如图，作出球的一个
6、截面，则 MC862(cm)，BM12AB1284(cm)设球的半径为 R cm，则 R2OM2MB2(R2)242，R5.V 球43535003(cm3)答案 A类题通法 球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2d2r2.针对训练3一平面截一球得到直径为 2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 2 cm，则该球的体积是()A12 cm3B36 cm3C64 6 cm3D.108 cm3解析：设球心为 O，截面圆心为 O1，连接 OO1，则 OO1
7、 垂直于截面圆 O1，如图所示在 RtOO1A 中，O1A 5 cm，OO12 cm，球的半径 ROA22 523(cm)，球的体积 V433336(cm3)答案：B 探究点三 与球有关的切、接问题典例精析有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积思路点拨 作出截面图，分别求出三个球的半径解 设正方体的棱长为 a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有 2r1a，r1a2，所以 S14r21a2.(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心
8、作正方体的对角面得截面，如图，所以有 2r2 2a，r2 22 a，所以 S24r222a2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有 2r3 3a，r3 32 a，所以 S34r233a2.类题通法常见几何体与球的切、接问题的解决策略(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算针对训练4已知直三棱柱 ABC-
9、A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的表面积为()A153 B160C169D.360解析：由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球 O 的半径 R12 3242122132，所以球 O 的表面积 S41322169，故选 C.答案：C 5球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比为多少？解：如图，等边SAB 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形 C1CDD1，截球面得球的大圆 O1.设球的半径O1OR，则它的外切圆柱的高为 2R，底面半径
10、为 R；OBO1Ocot 30 3R，SOOBtan 60 3R 33R，V 球43R3，V 柱R22R2R3，V 锥13(3R)23R3R3，V 球V 柱V 锥469.课堂归纳领悟1本节课的重点是了解并掌握球的体积和表面积公式，会用球的体积与表面积公式解决实际问题，难点是会解决球的组合体及三视图中球的有关问题及与球有关切接问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)求球的表面积、体积的方法，见探究点一(2)球的截面问题的解题技巧，见探究点二(3)与球有关的切、接问题的解题策略，见探究点三3本节课的易错点是与球有关的切、接问题中易出现重叠、交叉等，如探究点三 “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(六)”(单击进入电子文档)谢 观 看THANK YOU FOR WATCHING谢
