1、第六节双曲线最新考纲1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形范围x
2、a或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx性质离心率e(1，)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为e.1过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径2双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.3若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左
3、、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.4与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)5当已知双曲线的渐近线方程为bxay0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2a2y2(0)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1双曲线1的焦距为()A5B.C2D1C由双曲线1，易知c
4、2325，所以c，所以双曲线1的焦距为2.2以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()Ax21 B.y21Cx21 D.1A设要求的双曲线方程为1(a0，b0)，由椭圆1，得椭圆焦点为(1,0)，在x轴上的顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0)，焦点为(2,0)所以a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线的标准方程为x21.3已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B. C. D1D依题意，e2，2a，则a21，a1.4经过点A(5，3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 1设双曲线的方程为x2y2，把点A(5，3)代入，得16，故所求方程为1.考点1双曲线的定义
5、及应用双曲线定义的两个应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的关系(1)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于()A1B17C1或17 D以上均不对(2)已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1(x) B.1(x)C.1(x) D.1(x)(3)已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF2
6、60，则|PF1|PF2|等于()A2B4 C6D8(1)B(2)A(3)B(1)根据双曲线的定义得|PF1|PF2|8|PF2|1或17.又|PF2|ca2，故|PF2|17，故选B.(2)设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|r，|MC2|r，所以|MC1|MC2|2，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a2的双曲线的右支上，即a，c4b216214，故动圆圆心M的轨迹方程为1(x)，故选A.(3)由双曲线的方程得a1，c，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2.在PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|c
7、os 60，即(2)2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|4，故选B.母题探究1本例(3)中，若将条件“F1PF260”改为|PF1|2|PF2|，试求cosF1PF2的值解根据双曲线的定义知，|PF1|PF2|PF2|2，则|PF1|2|PF2|4，又|F1F2|2cosF1PF2.2本例(3)中，若将条件“F1PF260”，改为0，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上则|PF1|PF2|2a2，由0，得.在F1PF2中，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即(|PF1|PF2
8、|)22|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|2.SF1PF2|PF1|PF2|1.(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例T(1)；(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例T(2)1.已知点F1(3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()A.1(y0)B.1(x0)C.1(y0) D.1(x0)B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为1(x0，a0，b0)，由题设知c3，a2，b2945，所以点P的轨迹方程为1(x0)2已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一
9、点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为()A48B24C12D6B由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此SF1PF2|PF1|PF2|24.3若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|PA|的最小值是()A8 B9 C10 D12B由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号考点2双曲线
10、的标准方程求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2ny21(mn0)求解(1)(2019荆门模拟)方程1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A3m0 B1m3C3m4 D2m3(2)一题多解已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是()A.1 B.1C
11、x21 D.1(3)(2018天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(1)B(2)C(3)C(1)方程1表示双曲线，则(m2)(m3)0，解得2m3.要求充分不必要条件，选项范围是2m3的真子集，只有选项B符合题意故选B.(2)法一：当其中的一条渐近线方程yx中的x2时，y23，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是1(a0，b0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x21，故选C.法
12、二：因为双曲线的渐近线方程为yx，即x，所以可设双曲线的方程是x2(0)，将点(2,3)代入，得1，所以该双曲线的标准方程为x21，故选C.(3)如图，不妨设A在B的上方，则A，B.其中的一条渐近线为bxay0，则d1d22b6，b3. 又由e2，知a2b24a2，a.双曲线的方程为1. 故选C.已知双曲线的渐近线方程，用渐近线方程设出双曲线方程，运算过程较为简单教师备选例题设双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是 1 法一：椭圆1的焦点坐标是(0，3)，设双曲线方程为1(a0，b0)，根据双曲线的定义知2a|4，故a2.又b232225
13、，故所求双曲线的标准方程为1.法二：椭圆1的焦点坐标是(0，3)设双曲线方程为1(a0，b0)，则a2b29，又点(，4)在双曲线上，所以1，联立解得a24，b25.故所求双曲线的标准方程为1.1.(2019湘潭模拟)以双曲线1的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为()Ax2y21 B.y21C.1 D.1D由题可知，所求双曲线的顶点坐标为(3,0)又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以ab3，则该双曲线的方程为1.故选D.2已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|PF2|4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的标准方程为()A.y21
14、B.1Cx21 D.1A由题意可得解得则该双曲线的标准方程为y21.3经过点P(3,2)，Q(6，7)的双曲线的标准方程为 1设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(6，7)，所以解得故所求双曲线方程为1.考点3双曲线的几何性质求双曲线的离心率(或其范围)求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解(1)(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点
15、若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C2 D.(2)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是()A. B.C(1,2 D.(1)A(2)B(1)令双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，则|OP|a，|OM|MP|，由|OM|2|MP|2|OP|2，得a2，即离心率e.故选A.(2)由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，所以|PF2
16、|，由双曲线上的点到焦点的最短距离为ca，可得ca，解得，即e，又双曲线的离心率e1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选B.本例T(2)利用双曲线右支上的点到右焦点的距离不小于ca建立不等式求解，同时应注意双曲线的离心率e1.教师备选例题(2019沈阳模拟)设F1，F2分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线C上一点，若|PF1|PF2|4a，且PF1F2的最小内角的正弦值为，则双曲线C的离心率为()A2B3C.D.C不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，所以|PF1|3a，|PF2|a.PF1F2的最小内角的正弦值为，其余弦
17、值为，因为|PF1|PF2|，|F1F2|PF2|，所以PF1F2为PF1F2的最小内角由余弦定理可得|PF2|2|F1F2|2|PF1|22|F1F2|PF1|cosPF1F2，即a24c29a222c3a，所以离心率e.故选C.与渐近线有关的问题与渐近线有关的结论(1)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.(2)e21e21.(1)(2019武汉模拟)已知双曲线C：1(m0，n0)的离心率与椭圆1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为()A4x3y0B3x4y0C4x3y0或3x4y0D4x5y0或5x4y0(2)(2019张掖模拟)已知双
18、曲线C：1(a0，b0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为，则其一条渐近线的倾斜角为()A30 B45 C60 D120(1)A(2)B(1)由题意知，椭圆中a5，b4，椭圆的离心率e，双曲线的离心率为，双曲线的渐近线方程为yxx，即4x3y0.故选A.(2)设双曲线1的右顶点A(a,0)，右焦点F2(c,0)到渐近线yx的距离分别为1和，则有即.则1211，即1.设渐近线yx的倾斜角为，则tan 1.所以45，故选B.双曲线中，焦点到一条渐近线的距离等于b是常用的结论教师备选例题(2019衡水模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x
19、2y2a2的切线，交双曲线右支于点M.若F1MF245，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2xA如图，作OAF1M于点A，F2BF1M于点B.因为F1M与圆x2y2a2相切，F1MF245，所以|OA|a，|F2B|BM|2a，|F2M|2a，|F1B|2b.又点M在双曲线上，所以|F1M|F2M|2a2b2a2a，整理得ba.所以.所以双曲线的渐近线方程为yx.故选A.1.已知双曲线1(m0)的一个焦点在直线xy5上，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx DyxB由双曲线1(m0)的焦点在y轴上，且在直线xy5上，直线xy5与y轴的交点为(0,5)，有c5，则m925，得m16，所以双曲线的方程为1，故双曲线的渐近线方程为yx.故选B.2已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(2，)在双曲线C上，若AF2F1F2，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCy2x DyxA因为AF2F1F2，A(2，)，所以F1(2,0)，F2(2,0)，由双曲线的定义可知2a|AF1|AF2|2，即a，所以b，故双曲线C的渐近线方程为yx，故选A.
