1、高考资源网（） 您身边的高考专家12应用举例1.理解测量中的有关名词、术语的确切含义2会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题3探索利用数学工具解决实际问题的方法，体会数学在现实生活中的应用1实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图1所示)(3)方位角的其他表示方向角正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上依此可类推正北方向、正东方向和正西方
2、向东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示)2解三角形的实际应用举例(1)测距离的应用背景可测元素图形目标及解法两点均可到达a、b、求ABAB只有一点可到达b、求AB测量b，AB两点都不可到达a、求ABACD中用正弦定理求ACBCD中用正弦定理求BCABC中用余弦定理求AB(2)测高的应用背景可测元素图形目标及解法底部可到达a、求ABABatan_底部不可到达a、求AB在ACD中用正弦定理求ADAB1若P在Q的北偏东44，则Q在P的()A东偏北46B东偏北44C南偏西44 D西偏南44解析：选C.如图，因为P在Q的北偏东44，则Q在P的南偏西44.2A，B两点间有一小山，
3、选定能直接到达点A，B的点C，测得AC60 m，BC160 m，ACB60，则A，B两点间的距离为_m.解析：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 606021602260160cos 60196 00，所以AB140 m，即A、B两点间的距离为140 m.答案：1403一树的树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30角，树干底部与树尖着地处相距5 m，则树干原来的高度为_答案：(105)m测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是_【解析】如图，在ABC中，C180(BA)45，由正弦定理
4、，可得，所以BC105(海里)【答案】5 海里在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B，C间的距离呢？解：由已知在ABC中，AB10，AC20，BAC60，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可BC2AB2AC22ABACcos 6010220221020300.故BC10.即B，C间的距离为10海里测量距离问题的两种情况(1)测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距离(2)测量两个不可到达点之间的距离第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两
5、点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2)1.为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC8 m，BAC30，BCA45，则A，B两点间的距离为_ m.解析：根据正弦定理得，所以AB8(1)(m)，即A，B间的距离为8(1)m.答案：8(1)2如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA60，那么此时A、B两点间的距离是多少？解：由正弦定理得AC10(1)(米)，BC20(米)在ABC中
6、，由余弦定理得AB10(米)所以A、B两点间的距离为10米测量高度问题地平面上有一旗杆设为OP，已知地平面上的一基线AB，AB200 m，在A处测得P点的仰角为OAP30，在B处测得P点的仰角为OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高h.【解】如图，OAP30，OBP45，AOB60，AB200 m，在OAP中，因为OPOA，所以AOP90，则tan 30，所以OAh，同理在BOP中，BOP90，且OBP45，所以OBOPh，在OAB中，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcosAOB，即20023h2h22h2cos 60，解得h m，即旗杆高为 m. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向
7、正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析：由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)答案：100测量角度问题某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角105的方向，以10海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以10海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和
8、靠近渔船所需要的时间【解】如图所示，设所需时间为t小时，在B处靠近渔船，则AB10t，CB10t，在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120.整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)舰艇需1小时靠近渔船此时AB10，BC10，在ABC中，由正弦定理得，所以sinCAB.所以CAB30，所以舰艇航行的方位角为75.解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确
9、使用正、余弦定理解决问题 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？相遇时乙船已行驶多少海里？解：如图，设两船在C处相遇，并设CAB，乙船行驶距离为x n mile，则ACx，由正弦定理得sinBC，所以30，ACB180(ABC)30，从而BCa(n mile)即甲船应取北偏东30方向前进才能尽快追上乙船，两船相遇时乙船已行驶了a n mile.1解三角形应用题的一般步骤(1)准确理解题意及问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，并理清量与量之间的关
10、系(审题)(2)根据题意画出图形，将实际问题抽象成解三角形的数学模型(画图)(3)把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解(建模)(4)将三角形的解还原为实际问题的结果(还原)2解三角形应用题常见的几种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可根据已知条件，选择使用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充足的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，再通过解方程得出所要求的解在利用
11、正、余弦定理解题时，要注意仰角、俯角、方位角等名词，准确找出这些角，同时要根据具体问题发现题目中隐含的条件，只有这样才能顺利解决问题1如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()Aa和cBc和bCc和 Db和解析：选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC即可看作基线，在RtABC中，能够测量到的边角分别为b和.2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60，30，则A点离地面的高度AB等于()A50 mB100 mC50 mD100 m解析：选A.因为DACACBD603030，所以ADC为等腰三角形所以AC
12、DC100 m，在RtABC中，ABACsin 6050 m.3.如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救在A处南偏西30且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通知后立即前往B处救助，则sinACB_解析：在ABC中，AB40，AC20，BAC120.由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.答案：4.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75方向，距离为12海里，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30方向，距离为8海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看
13、灯塔B在南偏东60方向，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离解：(1)在ABD中，ADB60，DAB75，所以B180607545，又AB12海里，所以由正弦定理，得AD24海里，即A处与D处之间的距离为24海里(2)在ACD中，由余弦定理，得CD2AD2AC22ADACcos 30，所以CD8海里，即灯塔C与D处之间的距离为8海里 A基础达标1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为()A12 mB8 mC3 m D4 m解析：选D.由题意知，AB30，所以C1803030120，由正弦定理得，即AB4(m)2.如图
14、，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30米，并在C测得塔顶A的仰角为60，则塔AB的高度为()A15米 B15米C15(1)米 D15米解析：选D.在BCD中，由正弦定理得BC15(米)在RtABC中，ABBCtan 6015(米)故选D.3将村庄甲、乙、丙看成A、B、C三点，正好构成ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan C3.若，且甲到丙的距离与乙到丙的距离之和为9，则甲、乙之间的距离为()A4 B5C6 D7解析：选C.因为tan C3，所以3.又因为sin2Ccos2C1，得cos C.因为tan C
15、 0，所以C是锐角所以cos C.因为，所以abcos C，所以ab20.又因为ab9，所以a22abb281，所以a2b241，所以c2a2b22abcos C36，所以c6，故选C.4一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这艘船的速度是()A5海里/时 B5海里/时C10海里/时 D10海里/时解析：选D.如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB5海里，于是这艘船的速度是10海里/时故选
16、D.5已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东40 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10解析：选B.如图所示，ECA40，FCB60，ACB180406080，因为ACBC，所以AABC50，所以ABG180CBHCBA1801205010.故选B.6. 如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并测量得AC3 mm，BC2 mm，AB mm，则ACB_解析：在ABC中，由余弦定理得cosACB.因为ACB(0，)，所以ACB.答案：7一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北
17、偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔间的距离为_km.解析：如图所示，在ABC中，BAC30，ACB105，ABC45，AC60 km，根据正弦定理，得BC30(km)答案：308一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_ m.解析：设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BC h，根据余弦定理，得(h)2h210022h100cos 60，即h250
18、h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50，故水柱的高度是50 m.答案：509如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30方向，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离解：因为AB40，BAP120，ABP30，所以APB30，所以AP40，所以BP2AB2AP22APABcos 120402402240404023，所以BP40.又PBC90，BC80，所以PC2BP2BC2(40)280211 200，所以PC40 海里10空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A
19、，在此处测得气球的仰角为45，同时在气球的南偏东60方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度解：如图，设CDx，在RtACD中，DAC45，所以ACCDx.在RtBCD中，CBD30，所以CBx.在ABC中，ACB9060150，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，所以2662x2(x)22xx，所以x38(m)所以气球的高度为38 m.B能力提升11如图，一轮船从A点沿北偏东70的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10的方向行驶10海里至海岛C.若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此轮船应沿_方向行驶_海里才能到达海
20、岛C.()A北偏东60，10 B北偏东40，10C北偏东30，10 D北偏东20，10解析：选B.在ABC中，ABC1807010120，ABBC10海里，所以BAC(180120)30，所以从A点到海岛C的航向为北偏东40.由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcosABC10210221010300，所以AC10(海里)12如图所示，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔AB的仰角分别是AMB30，ANB45，APB60，且MNPN500 m，则塔高为_解析：设塔高AB为xm.因为AB垂直于地面，所以ABM，ABN，ABP均为直角三角形，所以BMx，BNx，BPx.在MNB中，由余弦定
21、理，得BM2MN2BN22MNBNcosMNB；在PNB中，由余弦定理，得BP2NP2BN22NPBNcosPNB；又因为BNM与PNB互补，MNNP500，所以3x2250 000x22500xcosMNB，x2250 000x22500xcosPNB，得x2500 0002x2，所以x250.答案：250 m13为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 km有一条北偏东60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续
22、多少时间该考点才算合格？解：如图，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1 km.在ABC中，AB，AC1，ABC30，由正弦定理，得sinACBAB，所以ACB120(ACB60不合题意)，所以BAC30，所以BCAC1，在ACD中，ACAD，ACD60，所以ACD为等边三角形，所以CD1.因为605(min)，所以在BC上需5 min，CD上需5 min.最长需要5 min检查员开始收不到信号，并至少持续5 min才算合格14.(选做题)已知海岛B在海岛A的北偏东45方向上，A，B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发
23、沿北偏西15方向也以2海里/小时的速度移动(1)经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由解：(1)经过1小时后，设甲船到达M点，乙船到达N点(图略)，AM1028，AN2，MAN60，所以MN2AM2AN22AMANcos 6064428252.所以MN2.所以经过1小时后，甲、乙两小船相距2海里(2)可能设经过t(0t5)小时小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A距离为AE(102t)海里，乙船与A距离为AF2t海里，EAF60，EFA75，则由正弦定理得，即，则t5.即经过小时小船甲处于小船乙的正东方向高考资源网版权所有，侵权必究！
