1、第六讲双曲线ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的_距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)_的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的_焦点_，两焦点间的距离叫做双曲线的_焦距_注：设集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数，且a0，c0；(1)当ac时，P点的轨迹是_双曲线_；(2)当ac时，P点的轨迹是_两条射线_；(3)当ac时，集合P是_空集_知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对
2、称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1_(a,0)_，A2_(a,0)_顶点坐标：A1_(0，a)_，A2_(0，a)_渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的_实轴_，它的长|A1A2|_2a_；线段B1B2叫做双曲线的_虚轴_，它的长|B1B2|_2b_；_a_叫做双曲线的_实半轴长_，b叫做双曲线的_虚半轴长_a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)(3)过双曲线的一个焦点且与实
3、轴垂直的弦的长为(通径)过双曲线的交点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为；与两支相交所得弦长的最小值为2a(4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的ABF2的周长为4a2|AB|(5)双曲线的离心率公式可表示为e题组一走出误区1(多选题)下列结论正确的是(CD)A平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线B方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线C等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于D若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)题组二走进教材2(必修2P6
4、1T1)若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(A)A B5 C D2解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e3(必修2P61A组T3)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(A)Axy0 Bxy0Cx2y0 D2xy0解析椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.题组三考题再现4(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则
5、其渐近线方程为(A)Ayx ByxCyx Dyx解析由题意e，双曲线的渐近线方程为yx，故选A5(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为(B)A1 B1C1 D1解析椭圆1的一焦点为(3,0)，双曲线C中有c3，且焦点在x轴上，又，且c2a2b2，a24，b25，C的方程为1，故选BKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点一双曲线的定义及其应用自主练透例1(1)已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2
6、M相交于点P，则点P的轨迹是(B)A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆(2)(2020河南洛阳统考)已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_9_解析(1)如图，连接ON，由题意可得|ON|1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，|MF2|2点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|，|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|22)(2)(2019西安模拟)设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290，且|AF1|3|AF2|，则双曲
7、线的离心率为(B)A B C D解析(1)设A的坐标为(x，y)，在ABC中，由正弦定理，得2R(其中R为ABC外接圆的半径)，代入sin Bsin Csin A，得 .又|BC|8，|AC|AB|4，因此A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a4,2c8，即a2，c4，b2c2a212.所以所求A点的轨迹方程为1(x2)(2)因为F1AF290，故|AF1|2|AF2|2|F1F2|24c2，又|AF1|3|AF2|，且|AF1|AF2|2a，故10a24c2，即e.故选B考点二双曲线的标准方程师生共研例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与已知双曲线x24y24有
8、共同渐近线且经过点(2,2)；(2)渐近线方程为yx，焦距为10；(3)经过两点P(3,2)和Q(6，7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)解析(1)设所求双曲线方程为x24y2(0)，将(2,2)的坐标代入上述方程，得22422，12所求双曲线方程为1(2)设所求双曲线方程为y2(0)，当0时，双曲线标准方程为1，c.5，5；当0)解之得双曲线方程为1(4)依题意，eab.设方程为1，则1，解得m6.1名师点拨 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程(2)待
9、定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为Ax2By21(AB0)，根据条件确定A、B即可特别的与双曲线1共渐近线的双曲线方程可设为(0)；与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(b2k0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于_8_解析双曲线的焦点(0,5)到渐近线yx，即axby0的距离为b3，所以a4,2a8角度2双曲线的渐近线例4(1)(20
10、19山东青岛二模)直线l：x2y50过双曲线1(a0，b0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为(A)A1 B1Cy21 Dx21(2)(2020福建厦门质检)已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|2，ABF的面积为8，则C的渐近线方程为(B)Ayx ByxCy2x Dyx解析(1)根据题意，在直线l方程中令y0，则x5，即c5.又，所以a220，b25，所以双曲线的方程为1(2)设双曲线的另一个焦点为F，由双曲线的对称性，四边形AFBF是矩形，所以SABFSAFF，即b
11、c8，由，得：y，所以|MN|2，所以b2c，所以b2，c4，所以a2，C的渐近线方程为yx.故选B角度3双曲线的离心率例5(1)(2020福建三明期末质检)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与直线xy40垂直，则该双曲线的离心率为(C)A B C2 D4(2)(2019四川省绵阳市诊断)已知双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，OF1为半径作圆，与双曲线C相交，若顺次连接这些交点和F1，F2恰好构成一个正六边形，则双曲线C的离心率为(C)A B2 C1 D3(3)(2019河北省衡水中学调研)已知点F是双曲线1(a0，b0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点
12、，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是(C)A(1，) B(1,1)C(2，) D(2,1)解析(1)由题意可知()1，c2.故选C(2)如图，由题意可知OAF2为正三角形，且AF1AF2，2a|AF1|AF2|(1)c，e1，故选C(3)由题意，得AB为双曲线的通径，其长度为|AB|，因为AEB，所以AEF，则tanAEF1，即1，即c2a2a(ac)，即e2e20，解得e2.故选C名师点拨 1求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后
13、转化成关于e的方程(或不等式)求解解题时要特别注意几何特点，以简化运算2求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线1(a0，b0)的渐近线的方法是令0，即得两渐近线方程0.或确定焦点位置并求出或的值，从而写出渐近线方程变式训练3(1)(角度1)(2020安徽蚌埠质检)已知双曲线的渐近线方程为yx，一个焦点F(2,0)，则该双曲线的虚轴长为(C)A1 B C2 D2(2)(角度2)(2020福州质量检测)已知双曲线E：mx2y21的两顶点间的距离为4，则E的渐近线方程为(B)Ay By Cy2 Dy4x(3)(角度3)(2019东北师大附中模拟)已知双曲线1(a0，b0)在左，右焦点分别为F1，F2，以
14、O为圆心，以|F1O|为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在y轴左侧交于A，B两点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为(A)A2 B C1 D2解析(1)因为双曲线的渐近线方程为yx，一个焦点F(2,0)，所以a2b2c24，联立、可得：a23，b21，b1，从而2b2，该双曲线的虚轴长2，故选C(2)因为E：mx2y21的两顶点间的距离为4，所以m，所以E的方程为y21，所以E的渐近线方程为y，故选B(3)设|F1F2|2c，设AB与x轴相较于M点，根据正三角形的性，可以求得|F2A|c，|MA|c，|MF2|c，从而求得A(，)，所以有，2，故选A考点四直线与双曲线多维探究角度1直线与
15、双曲线位置关系例6(2019唐山一中模拟)过点A(0,1)作直线，与双曲线x21有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为(C)A0 B2 C4 D无数解析通解：由题意可得直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为ykx1，代入双曲线方程整理得(9k2)x22kx100当k3时，方程有一解，直线与双曲线只有一个公共点；当k3时，由0解得k，此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，故符合条件的直线有4条，选项C正确优解：由图形可知，过点A(0,1)作与双曲线渐近线平行的直线有2条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，选项C正确引申1本例中，若过点A的直线与双曲线
16、有两个交点，则直线斜率的取值范围为_(3,3)_引申2本例中，若将“A(0,1)”改为“A(1,0)”，则符合条件的直线有_3_条引申3本例中，若将“A(0,1)”改为“A(2,0)”，则符合条件的直线有_2_条引申4本例中，过点A与双曲线的左支有两个交点的直线斜率的取值范围为(3，)解析设直线方程为ykx1，由得(9k2)x22kx100由4k240(9k2)0，得k，即k切结合图形可知3k注：或由求解引申5本例中，过双曲线左焦点且与左支有两个不同交点的直线斜率的取值范围为_(，3)(3，)_名师点拨 1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，
17、消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用判别式和根与系数的关系求解，注意整体代入2有时利用数形结合思想，根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷角度2弦的问题例7(1)(2019山东师大附中模拟)过双曲线x21的右焦点作直线l交双曲线A，B两点，则满足|AB|6的直线l有(B)A4条 B3条 C2条 D1条(2)以A(2,1)为中点的双曲线C：2x2y22的弦所在直线的方程为_4xy70_解析(1)当直线l的倾斜角为90时，|AB|6；当直线l的倾斜角为0时，|AB|26.故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得|AB|6.故选B(2)设
18、弦的端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，又MN的中点为A(2,1)，即x1x24，y1y22，4(x1x2)y1y2，即kMN4，所求直线方程为y14(x2)，即4xy70名师点拨 (1)“中点弦”问题常用“点差法”求解，但求弦所在直线方程后应代回检验(2)弦长问题用弦长公式求解，注意“焦点弦”的弦长与通径、实轴长间关系的应用变式训练4(1)如果直线ykx1与双曲线x2y24的右支有两个公共点，则k的取值范围是(1，)(2)已知双曲线x21，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为_
19、6_解析(1)由得(1k2)x22kx50，由4k220(1k2)0得k，结合图形可知1k0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为(A)A B C2 D(2)(2020广东六校联考)已知双曲线：1(a0，b0)的左焦点为F(，0)，点A的坐标为(0,2)，点P为双曲线右支上的动点，且APF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为(D)A B C2 D(3)(2019江西吉安五校联考)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y对称，则该双曲线的离心率为(B)A B C D2(
20、4)(2019安徽省安庆一中模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(D)A(1,2) B(1,2C(2，) D2，)解析(1)由知|MF1|，ca，e，故选A(2)由题易知双曲线的右焦点F1(，0)，即c，AF3，点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知PFPF12a，PFPF12a，所以APF周长为：AFAPPFAFAPPF12a，当点A，P，F1共线时，周长最小，即AFAF12a8，解得a1，故离心率e，故选D(3)由题意可知|OF1|OF2|OP|，PF2PF1，设|PF2|bx，则x2
21、(b2a2)4c2，x2，又2a|PF2|PF1|2(ba)，2ab，e，故选B(4)由题意可知tan 60，e2，故选D变式训练5(1)(2019东北三省四市模拟)已知矩形ABCD，AB12，BC5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为(2)(2019全国卷，12)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为(A)A B C2 D(3)(2020湖北武汉综合测试)过双曲线C：1(a0，b0)左焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于M、N两点，以为MN直径的圆与C的渐近线相切，则C的离心率为(C
22、)A1 BC D(4)(2019湖南师大附中模拟)斜率为2的直线l过双曲线1(a0，b0)的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是(D)Ae B1eC1e解析(1)由题意知：2cAB12，即c6，BD13，由双曲线定义可得2aBDAD1358，a4，双曲线的离心率为e(2)如图，连接OP，|PQ|OF|c，PQ过圆心(，0)易得P(，)又|OP|a，a2()2()2，()22，e.故选A(3)由题意知b，即1，e，故选C(4)双曲线的一条渐近线的斜率为，结合图合分析可知，若小于或等于2，则直线与双曲线的一支相交或没有交点，不合题意；所以必大于2，即2，e214，解得双曲线的离心率e，故选D
