1、课时作业48立体几何中的向量方法1(2014辽宁卷)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点(1)求证：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值图1解析：(1)(方法一)过E作EOBC，垂足为O，连OF.由ABCDBC可证出EOCFOC.所以EOCFOC，即FOBC.又EOBC，因此BC面EFO.又EF面EFO，所以EFBC.(方法二)由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系易得B(0,0,0)，A(0，1，)，D(，
2、1,0)，C(0,2,0)图2因而E，F，所以，(0,2,0)，因此0.从而，所以EFBC.(2)(方法一)在图1中，过O作OGBF，垂足为G，连EG.由平面ABC平面BDC，从而EO面BDC，又OGBF，由三垂线定理知EGBF.因此EGO为二面角EBFC的平面角在EOC中，EOECBCcos30，由BGOBFC知，OGFC，因此tanEGO2，从而sinEGO，即二面角EBFC的正弦值为.(方法二)在图2中，平面BFC的一个法向量为n1(0,0,1)设平面BEF的法向量n2(x，y，z)，又，.由得其中一个n2(1，1)设二面角EBFC大小为，且由题意知为锐角，则cos|cosn1，n2|，
3、因此sin，即所求二面角的正弦值为.2(2014新课标全国卷)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值解析：(1)连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点又ABB1C，所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO，故B1CAO.又B1OCO，故ACAB1.(2)因为ACAB1，且O为B1C的中点，所以AOCO.又因为ABBC，所以BOABOC.故OAOB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直以O为坐标原点
4、，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又ABBC，则A，B(1,0,0)，B1，C.，.设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则 即所以可取n(1，)设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m(1，)则cosn，m.所以二面角AA1B1C1的余弦值为.3(2014陕西卷)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值解析：(1)由该四面体的三视图可知，BDDC，
5、BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.由题设，BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又ADDC，ADBD，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形(2)解法一如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，FGBC，n0，n0，得取n(1,1,0)，sin|cos，n|.解法二如图，以D为坐标
6、原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E是AB的中点，F，G分别为BD，DC的中点，得E，F(1,0,0)，G(0,1,0)，(1,1,0)，(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，得取n(1,1,0)，sin|cos，n|.4(2014天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值解析：解法一依题意，以点A为
7、原点建立空间直角坐标系(如下图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(1)向量(0,1,1)，(2,0,0)，故0.所以，BEDC.(2)向量(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量，于是有cosn，.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)向量(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点F在棱PC上，设，01.故(12，22，2)由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即(，)设n1
8、(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.解法二(1)如图，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EMDC，且EMDC，又由已知，可得EMAB且EMAB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BEAM.因为PA底面ABCD，故PACD，而CDDA，从而CD平面PAD，因为AM平面PAD，于是CDAM，又BEAM，所以BECD.(2)连接BM，由(1)有CD平面PAD，得CDPD，而EMCD，故PDEM，又因为AD
9、AP，M为PD的中点，故PDAM，可得PDBE，所以PD平面BEM，故平面BEM平面PBD.所以，直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BEEM，可得EBM为锐角，故EBM为直线BE与平面PBD所成的角依题意，有PD2，而M为PD中点，可得AM，进而BE.故在直角三角形BEM中，tanEBM，因此sinEBM.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)如图，在PAC中，过点F作FHPA交AC于点H.因为PA底面ABCD，故FH底面ABCD，从而FHAC.又BFAC，得AC平面FHB，因此ACBH.在底面ABCD内，可得CH3HA，从而CF3FP.在平面PDC内，作FGDC交PD于点G，于是DG3GP.由于DCAB，故GFAB，所以A，B，F，G四点共面由ABPA，ABAD，得AB平面PAD，故ABAG.所以PAG为二面角FABP的平面角在PAG中，PA2，PGPD，APG45，由余弦定理可得AG，cosPAG.所以，二面角FABP的余弦值为.
