1、河北省保定市第三中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，根据抛物线的方程直接写出其准线方程.【详解】抛物线的标准方程为所以，准线方程为.故选：C2. 从装有3个黑球、3个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至少有1个黑球”，则与事件A对立的事件是（ ）A. 所取的3个球中至多有一个黑球B. 所取的3个球中恰有1个白球2个黑球C. 所取的3个球都是白球D.
2、所取的3个球中至少有一个白球【答案】C【解析】【分析】根据对立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】事件所取的3个球中至少有1个黑球，即3黑或2黑1白或1黑2白，A、B、D选项都能与事件A同时发生，所以不互斥，3个白球与事件A不能同时发生，对立事件故选：C.【点睛】本题考查判断对立事件，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.3. 双曲线的渐近线方程为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程写出，根据焦点位置得渐近线方程【详解】由题意双曲线标准方程为，焦点在轴，渐近线方程为，故选：C4. 从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的
3、概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】基本事件为共6个，其中符合条件的基本事件为共4个，所求概率为.故选：D5. 直线与双曲线没有交点，则k的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把直线方程代入双曲线方程，方程无解即得【详解】由得，此方程无实数解，则，解得或又，所以故选：C6. 已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】转化条件为该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，进而可得，由离心率公式
4、即可得解.【详解】由题意，(为坐标原点)，所以该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，即，所以离心率.故选：A.7. 如图，已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，直线与轴交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题可得，代入点P的横坐标可得，则有，解得，即可由此求出离心率.【详解】设的坐标为，由，可得，代入点P的横坐标，有，可得，则有，得，则椭圆C的离心率为.故选：B.8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，若，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设点的坐标分别为，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，
5、根据韦达定理，以及焦半径公式，结合题中条件，列出方程求解，即可得出直线斜率，进而可得直线方程.【详解】设点的坐标分别为，由题意，点的坐标为，设直线的方程为，联立方程.消去后整理为，有，由抛物线的性质，有，可得，解得，有，解得，故直线的方程为.故选：C.【点睛】方法点睛：求解抛物线焦点弦问题时，一般先设弦所在直线方程，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及焦半径公式，结合所给条件，求出斜率，即可得出焦点弦所在直线方程；要求学生要熟记抛物线的性质等.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9
6、. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】先求出命题成立的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断【详解】由恒成立，得在上恒成立，故只需，所以，即命题成立的充要条件是，故其充分不必要条件是充要条件的真子集，所以AC项是正确答案.故选：AC【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含
7、10. 已知与之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为，若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）参考公式，.A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，结合回归方程的公式计算相关数据比较大小即可得答案.【详解】解：因为某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为，所以，根据题意得：，所以，所以，.故选：ABD.【点睛】本题考查线性回归方程的求解，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于熟练应用，进行运算求解，同时熟记回归直线必过样本中心点.11. 某初级中学2020年参加中考的考生人数是2
8、016年参加中考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，相关部门统计了该校2016年和2020年的中考录取情况，得到如下所示的柱状图： 则下列结论正确的是（ ）A. 与2016年相比2020年被一类高中录取学生的人数增长了B. 与2016年相比，2020年被二类高中录取的学生人数增加了0.5倍C. 2016年与2020年被三类高中录取的人数相同D. 与2016年相比，2020年不上线的人数有所增加【答案】ABD【解析】【分析】提取统计图中的数据，逐项计算即可得解.【详解】设2016年中考考生人数为x，则2020年中考考生人数为，由，故选项A正确；由，故选项B正确；由，故选项C不正
9、确；由，故选项D正确.故选：ABD.12. 已知抛物线的焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点S，与准线l交于点T，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】是抛物线的准线，作于，作于，与轴交于点，则轴，抛物线的对称轴与准线的交点为，由平行线的性质，结合抛物线的定义可求得上各线段长，从而判断各选项【详解】如图，是抛物线的准线，作于，作于，与轴交于点，则轴，抛物线的对称轴与准线的交点为，由抛物线方程知，即，即，设，则，在直角梯形中，即，解得，又，又，故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义，抛物线的焦点弦，涉及抛物线的焦点弦时，
10、可作出在准线上的射影，得，轴，利用平行线的性质可求解线段长三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 命题的否定是_.【答案】【解析】【分析】全称命题否定为特称命题即可【详解】解：因为命题，所以命题的否定为，故答案为：14. 若抛物线与椭圆有一个相同的焦点，则正数a的值为_.【答案】4【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，再根据椭圆性质计算【详解】抛物线的焦点坐标为，有，得.故答案为：415. 若双曲线的虚轴长为，则实数的值为_.【答案】或1【解析】【分析】分别讨论，两种情况，根据双曲线的虚轴长，即可得出结果.【详解】因为双曲线的虚轴长为，当时，双曲线方程可化为，有，得；当时，双曲
11、线方程可以化为，得；故实数的取值为或1.故答案为：或1.16. 椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】记椭圆的左焦点为，连，根据椭圆的对称性和性质知，由椭圆定义得到，得到，进而可求出结果.【详解】记椭圆的左焦点为，连，由椭圆的对称性和性质知，由，可得，得，由，可得，则，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的常用方法有：（1）直接法：根据椭圆的性质，结合题中条件，求出，可直接得出离心率；（2）构造齐次方程求离心率：结合题中条件，以及椭圆的性质和定义等，列出关于，的齐次等量关系，再化简整理，即可求得结果.四、解答题：
12、本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. 求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，中心为坐标原点焦距为6，实轴长为4；（2）焦点在x轴上，中心为坐标原点，渐近线方程为，且过点.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出后，根据焦点据坐标轴写出标准方程；（2）设双曲线方程为，代入已知点的坐标，求得参数后可得结论【详解】（1）设所求双曲线标准方程为，焦距为 由题意有，解得 故所求双曲线的标准方程为 （2）设所求双曲线的标准方程为由题意有，解得 故所求双曲线的标准方程为.【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，求双曲线标准方程方法：（1
13、）根据已知条件求出后，根据焦点位置得标准方程如；（2）已知渐近线方程为，可以不考虑焦点所在轴，直接设双曲线方程为，代入其他条件求出即可得18. 某单位为了了解退休职工的生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查（满分100分），并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下：分数77798184889293人数1113211试回答以下问题：（1）求抽取的10名退休职工问卷得分的均值x和方差；（2）10名退休职工问卷得分在与之间有多少人？这些人占10名退休职工的百分比为多少？（3）若用样本估计总体，则50名退休职工中问卷得分在之间的人数大约为多少？【答案】（1）85，25；（2），60%
14、；（3）30人.【解析】【分析】（1）求得10人成绩和可得均值，再由方差公式计算出方差；（2）由（1）得，观察表格数据可得结论；（3）用（2）中百分比乘以总人数50可得【详解】（1）， （2）由（1）知，从而， 于是10名职工问卷得分在与之间有6人，所占百分比为60%. （3）由（2）可知，50名退休职工中问卷调查得分在之间的大约有人19. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为精圆上一点，|（1）求椭圆的方程方程；（2）求点的坐标.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由定义可求出，由余弦定理可求出，即可求出，得出椭圆方程；（2）点的坐标为，根据的面积关系可求出，再把点代入椭圆即可求出.【
15、详解】解：（1）设椭圆的焦距为由椭圆的定义，有在中，有，得，故椭圆的方程为；（2）设点的坐标为，又由，有，解得，将点的坐标代入椭圆的方程有，解得，故点的坐标为或.【点睛】结论点睛：本题考查焦点三角形问题，解决此类问题常用椭圆的定义结合余弦定理求解.20. 2018年8月18日，举世瞩目的第18届亚运会在印尼首都雅加达举行，为了丰富亚运会志愿者的业余生活，同时鼓励更多的有志青年加入志愿者行列，大会主办方决定对150名志愿者组织一次有关体育运动的知识竞赛并计划对成绩前15名的志愿者进行奖励，现将所有志愿者的竞赛成绩制成频率分布直方图，如图所示，若第三组与第五组的频数之和是第二组的频数的3倍，试回答
16、以下问题：（1）求图中的值；（2）求志愿者知识竞赛的平均成绩；（3）从受奖励的15人中按成绩利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中，随机抽取2人在主会场服务，求抽取的这2人中其中一人成绩在分的概率.【答案】（1）（2）96.8（3）【解析】【分析】(1)由频率分布直方图的性质结合条件即可求解；(2)每个小长方形底边中点所对应的横坐标乘以该组的频率，再求和即可求出平均数；(3)用列举法先求出从抽取的5人中，随机抽取2人所包含的基本事件总数，以及抽取的这2人中其中一人成绩在分所包含的基本事件个数，结合古典概型的概率公式即可求出概率.【详解】（1）由条件及频率分别直方图的性质可知：解得（2）由（1）
17、可知，成绩在分的有9人，在分的有24人，在分的有60人，在分的有45人，在分的有12人，故志愿者知识竞赛平均成绩为（3）由（2）可知，受奖励的15人中有三人的成绩是分，其余12人的成绩是分，利用分层抽样抽取5人，有1人成绩在分中，4人成绩在分中.记成绩是分的1人为，成绩是分的4人为，从这5人中抽取2人去主会场服务共有以下10种可能：，满足条件的有，共4种，故所求概率.【点睛】本题主要考查根据频率分布直方图求平均数，以及列举法求古典概型的概率问题，熟记古典概型的计算公式，即可求解，属于基础题型.21. 已知抛物线过点，（1）求物线的方程；（2）为坐标原点，AB为抛物线C上异于原点的不同两点，直线
18、的斜率分别为，若，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线过点，由求解.（2）设点的坐标分别为，由，易得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理由求解即可.注意直线的斜率不存在的情况.【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）设点的坐标分别为，所以，由题意有，得，当直线的斜率不存在时，此时，直线的方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，消去后整理为，可得，得，直线的方程为，可化为，由知直线过定点.【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方
19、程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意22. 如图，在平面直标中，椭圆过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点A为椭圆C的左顶点，过点A的直线与椭圆C交于x轴上方一点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中直线CD过原点，求平行四边形ABCD面积S的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在如下的平行四边形ABCD：“原点到直线AB的距离与线段AB的长度相等”，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在满足条件的平行四边形，理由见解析.【解析】【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程得到方程组，解
20、出方程即可得到答案.（2）设点的坐标为,可求出，则直线AB的方程为，点到直线AB的距离为，得出S的表达式，从而可得出答案.(3)假设存在满足条件的平行四边形，则，结合， 分析解方程组是否有解，从而得出答案.【详解】解：（1）由题意有，解得故椭圆的标准方程为（2）设点的坐标为，有点A的坐标为，直线AB方程为，整理为点到直线AB的距离为由，可知当时，平行四边形面积的最大值为（3）由（2）有，若存在满足条件的平行四边形，只需要方程组有解整理为上述方程组有解的问题化归为椭圆与圆是否有交点的问题由下图可知，椭圆和圆有两个交点，显然点为所示故存在满足条件平行四边形.【点睛】关键点睛：本题中求四边形的面积的关键是选择一个合适的量将面积的目标函数表示出来，设,则，然后表示出直线AB的方程，由点到直线的距离求出高，即可表示出目标函数,(3)问中分析出方程组所表示的几何意义是关键，属于中档题.
