1、4.2.2求数列的通项及前n项和必备知识精要梳理1.由递推关系式求数列的通项公式(1)形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.(2)形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.(3)形如an+1=pan+q,等式两边同时加qp-1转化为等比数列求通项.2.数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法:适合求数列anbn的前n项和Sn,其中an,bn一个是等差数列,另一个是等比数列.(3)裂项相消法:将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的
2、数列,最后分别求和.(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.(6)常用裂项结论1n(n+k)=1k1n-1n+k;1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1;1n(n+1)(n+2)=121n(n+1)-1(n+1)(n+2);1n+n+k=1k(n+k-n).关键能力学案突破热点一求通项及错位相减法求和【例1】(2020山东潍坊一模,18)在b2n=2bn+1,a2=b1+b2,b1,b2,b4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件,补充在下面的问题中,并求解.已知数列an中a1=1,an+1=3an,公差不
3、等于0的等差数列bn满足,求数列bnan的前n项和Sn.解题心得若已知数列为等差或等比数列,求其通项是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列an与数列bn分别是等差数列和等比数列,那么数列anbn的前n项和采用错位相减法来求.【对点训练1】(2020全国,理17)设an是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求an的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.热点二求通项及裂项相消法求和【例2】(2020山东潍坊二模,18)已知数列an为正项等比数列,a1=1,数列bn满足b2=3,a1b1+a2b2+a3b3+anbn=3+(2n-3
4、)2n.(1)求an;(2)求1bnbn+1的前n项和Tn.解题心得1.若条件等式中含有an,Sn的关系式,或已知条件中含有数列通项的较为复杂的关系式,条件转化的常用方法是由已知关系式再推出一个关系式相减.2.把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.【对点训练2】(2020浙江,20)已知数列an,bn,cn满足a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1=bnbn+2cn,nN*.(1)若bn为等比数列,公比q0,且b1+b2=6b3,求q的值及数列an的通项公式;(2)若bn为等差数列,公差d0,证明:c1+c2+cn0,求
5、数列an的通项公式;(3)对于给定的,是否存在三个不同的数列an为“3”数列,且an0?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.解题心得解决数列中的存在性问题的一般方法是假设推理法.即先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.【对点训练4】(2020天津河西区校级联考,17)设各项均为正数的等比数列an(nN*)中,a1+a3=10,a3+a5=40.设bn=log2an.(1)求数列bn的通项公式;(2)若c1=1,cn+1=cn+bnan,求证:cnk10对任意正整数n均成立?若存在,求出
6、k的最大值;若不存在,说明理由.核心素养微专题(五)求解数列与多模块知识综合题【例1】(2020江西九江一模,理12)在平面直角坐标系xOy中,已知An,Bn是圆x2+y2=n2上两个动点,且满足OAnOBn=-n22(nN*),设An,Bn到直线x+3y+n(n+1)=0的距离之和的最大值为an,若数列1an的前n项和Snm恒成立,则实数m的取值范围是()A.34,+B.34,+C.32,+D.32,+核心素养分析本题是数学多模块知识的综合题,对核心素养要求较高.先用“数学抽象”将OAnOBn=-n22转化为AnOBn=120;其次运用“直观想象”将两点到直线的距离之和转化为一点到直线的距离
7、;再运用“逻辑推理”将距离的最大值转化为圆心到直线的距离与圆的半径之和;最后运用“数列运算”求出数列的和及得出结果.【跟踪训练1】已知函数f(x)=sin(x-1)2,1x3,2f(x-2),3x100,若函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1,a2,an,并记相应的极大值为b1,b2,bn,则i=1n(ai+bi)的值为()A.250+2 449B.250+2 549C.249+2 449D.249+2 549【例2】(多选)已知数列an中,a1=1,an+1-1n=1+1nan,nN*.若对于任意的t1,2,不等式ann0,得bn+10,因此c1+c2+c3+cn0,所以Sn+1Sn0
8、,则Sn+1Sn-1=33Sn+1Sn-1.令Sn+1Sn=bn,则bn-1=33bn2-1,即(bn-1)2=13(bn2-1)(bn1).解得bn=2,即Sn+1Sn=2,也即Sn+1Sn=4,所以数列Sn是公比为4的等比数列.因为S1=a1=1,所以Sn=4n-1.则an=1(n=1),34n-2(n2).(3)设各项非负的数列an(nN*)为“3”数列,则Sn+113-Sn13=an+113,即3Sn+1-3Sn=3Sn+1-Sn.因为an0,而a1=1,所以Sn+1Sn0,则3Sn+1Sn-1=3Sn+1Sn-1.令3Sn+1Sn=cn,则cn-1=3cn3-1(cn1),即(cn-
9、1)3=3(cn3-1)(cn1).(*)若0或=1,则(*)只有一解为cn=1,即符合条件的数列an只有一个.(此数列为1,0,0,0,)若1,则(*)化为(cn-1)cn2+3+23-1cn+1=0,因为cn1,所以cn2+3+23-1cn+10,则(*)只有一解为cn=1,即符合条件的数列an只有一个.(此数列为1,0,0,0,)若01,则cn2+3+23-1cn+1=0的两根分别在(0,1)与(1,+)内,则方程(*)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为t).所以Sn+1=Sn或Sn+1=t3Sn.由于数列Sn从任何一项求其后一项均有两种不同结果,所以这样的数列
10、Sn有无数多个,则对应的an有无数多个.综上所述,能存在三个各项非负的数列an为“3”数列,的取值范围是(0,1).对点训练4(1)解设各项均为正数的等比数列an的公比为q,则a1+a1q2=10,a1q2+a1q4=40,解得a1=2,q=2,即有an=2n,bn=log22n=n.(2)证明c1=1,cn+1=cn+bnan=cn+n2n,cn+1-cn=n2n,则cn=c1+(c2-c1)+(c3-c2)+(cn-cn-1)=1+12+222+n-12n-1,即有12cn=12+122+223+n-12n,两式相减可得12cn=1+122+123+12n-1-n-12n=1+141-12
11、n-21-12-n-12n=32-12n(n+1),即有cn=3-12n-1(n+1)k10对任意正整数n均成立,令Sn=1bn+1+1bn+2+1bn+n=1n+1+1n+2+12n,Sn+1=1n+2+1n+3+12n+12n+1+12n+2,即有Sn+1-Sn=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2=1(2n+1)(2n+2)0,即为Sn+1Sn,Sn是递增数列,S1最小,且S1=12,则有k1012,解得k5,故存在正整数k,且k的最大值为4.核心素养微专题(五)【例1】B解析由OAnOBn=-n22,得nncosAnOBn=-n22,cosAnOBn=-12,即An
12、OBn=120,设线段AnBn的中点为Cn,则OCn=n2,Cn在圆x2+y2=n24上,An,Bn到直线x+3y+n(n+1)=0的距离之和等于点Cn到该直线的距离的两倍.点Cn到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和,而圆x2+y2=n24的圆心(0,0)到直线x+3y+n(n+1)=0的距离为d=|n(n+1)|1+3=n(n+1)2,an=2n(n+1)2+n2=n2+2n,1an=1n2+2n=121n-1n+2.Sn=1a1+1a2+1a3+1an=121-13+12-14+13-15+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+234,m34,故选B.跟踪训练1C解析
13、当1x3时,f(x)=2cosx-2,显然当x=2时,f(x)=0,x=2为f(x)的第一个极大值点.又当3x100时,f(x)=2f(x-2),x=4,x=6,x=8,均为其极大值点.函数不能在端点处取得极值,an=2n,1n49,nN*,对应极大值bn=2n-1,1n49,nN*.i=149(ai+bi)=(2+98)492+1(1-249)1-2=249+2449,故选C.【例2】AB解析由题意得an+1-1n=n+1nan,an+1n+1-ann=1n(n+1)=1n-1n+1,则ann-an-1n-1=1n-1-1n,an-1n-1-an-2n-2=1n-2-1n-1,a22-a11
14、=1-12,上述式子累加可得ann-a1=1-1n,ann=2-1n2,-2t2-(a+1)t+a2-a+22对于任意的t1,2恒成立,整理得2t-(a-1)(t+a)0对于任意的t1,2恒成立,对A,由a=-4,得出t1,2不等式(2t+5)(t-4)0恒成立,故A正确;对B,由a=-2,得出t1,2不等式(2t+3)(t-2)0恒成立,故B正确;对C,由a=0,得出t1,2不等式(2t+1)t0不恒成立,故C错误;对D,由a=2,得出t1,2不等式(2t-1)(t+2)0不恒成立,故D错误,故选AB.跟踪训练220191010解析根据题意,x表示不超过x的最大整数,即x=0,x0,1),1,x1,2),2,x2,3),n-1,xn-1,n),则有xx=0,x0,1),x,x1,2),2x,x2,3),(n-1)x,xn-1,n).则xx在各区间中的元素个数是1,1,2,3,n-1,故an=1+1+2+3+(n-1)=1+n(n-1)2,所以1an-1=2n(n-1),则i=220201ai-1=1a2-1+1a3-1+1a2020-1=212+223+220202019=21-12+12-13+12019-12020=21-12020=20191010.
