1、4.2数列大题4.2.1等差、等比数列的综合问题必备知识精要梳理1.判断给定的数列an是等差数列的方法(1)定义法:an+1-an=d是常数(nN*).(2)通项公式法:an=kn+b(k,b是常数).(3)前n项和法:数列an的前n项和为Sn=An2+Bn(A,B是常数且A2+B20).(4)等差中项法:an+an+2=2an+1(nN*).2.若数列an,bn为等差数列且项数相同,则kan,anbn,pan+qbn都是等差数列.3.判断给定的数列an是等比数列的方法(1)定义法:an+1an=q(常数q0).(2)通项公式法:an=kqn(k,q为常数,且kq0).(3)中项法:anan+
2、2=an+12(nN*).(4)前n项和法:数列an的前n项和为Sn=A-Aqn(常数A0,公比q1).4.若数列an,bn为等比数列且项数相同,则kan(k0),an2,anbn都是等比数列.关键能力学案突破热点一等差(比)数列的判断与证明【例1】(2020山东淄博4月模拟,18)已知数列an满足a1=1,an+1=4an+3n-1,bn=an+n.(1)证明:数列bn为等比数列;(2)求数列an的前n项和.解题心得1.判断数列是等差(比)数列的方法通常有四种,证明数列是等差(比)数列的方法常用定义法.2.对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的
3、关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.【对点训练1】(2019全国,理19)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.热点二等差数列的通项及求和【例2】(2019全国,文18)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.解题心得a1,n,d是等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,
4、d,an,Sn中可“知三求二”,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.【对点训练2】(2020海南天一大联考第三次模拟,17)对于由正整数构成的数列An,若对任意m,nN*且mn,Am+An也是An中的项,则称An为“Q数列”.设数列an满足a1=6,8a212.(1)请给出一个an的通项公式,使得an既是等差数列也是“Q数列”,并说明理由;(2)根据你给出的通项公式,设an的前n项和为Sn,求满足Sn100的正整数n的最小值.热点三等比数列的通项及求和【例3】(2020山东,18)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1
5、)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.解题心得1.已知等比数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前n项和时,只需利用等比数列的通项公式及求和公式得到几个方程求解即可.2.若已知条件没有明确数列an是等比数列,而是已知an=f(Sn)的关系式,在转化此条件时,通常有两种思路,一是将an用Sn-Sn-1代替,二是由an=f(Sn)推出an-1=f(Sn-1),两式作差,消去Sn.【对点训练3】(2020四川绵阳三模,理17)若数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=23Sn.(1)求Sn;(2)设bn=1Sn,求证:
6、b1+b2+b3+bnSk+1且Sk+1278?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.核心素养微专题(四)求解等差、等比数列的应用题【例1】(2020安徽合肥一中模拟,文12)如图所示,一条螺旋线是用以下方法画成的:ABC是边长为2的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3是分别以A,B,C为圆心,AC,BA1,CA2为半径画的圆弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线的第一圈,然后又以A为圆心,AA3为半径画圆弧,这样画到第n圈,则所得螺旋线的长度ln为()A.(3n2+n)B.2(3n2+n)C.(3n2+n)2D.(3n2-n+1)2核心素养分析本例考查考生多个核心素养,首先需要考生在读懂题意
7、的基础上,从题目所给的几何图形中通过“数学抽象”得到一组数据;再通过“数学建模”将问题转化为等差数列模型;然后对等差数列模型的各项数值通过“数据分析”得到等差数列的项数和公差;最后通过“数学运算”得出答案.【跟踪训练1】(2019四川绵阳模拟,理16)如图,互不相同的点A1,A2,An,和B1,B2,Bn,分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an,若a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是.【例2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,E,F,G分别为A1B1,BB1,B1C1的中点,E1,F1,G1分别为EB1,F
8、B1,B1G的中点,E2,F2,G2分别为E1B1,F1B1,B1G1的点,依此类推,令三棱锥B-A1B1C1的体积为V1,三棱锥F-EB1G的体积为V2,三棱锥的体积为F1-E1B1G1的体积为V3,则V1+V2+V3+Vn=()A.288-1814n-23B.288-1814n-13C.288-3618n-17D.576-918n-27核心素养分析本例考查三个核心素养,考生在读懂题意的基础上,需要从题目所给的正方体中通过“数学抽象”得到三棱锥的一组体积数据;再通过“数学建模”将问题转化为等比数列模型;然后对等比数列通过“数学运算”得出答案.【跟踪训练2】在数列an中,a1=1,前n项和Sn
9、满足3x(Sn+1-1)=(2x+3)Snx0,x-32,nN*.令f(x)=an+1an,则f(x)=.4.2数列大题4.2.1等差、等比数列的综合问题关键能力学案突破【例1】(1)证明bn=an+n,bn+1=an+1+n+1.又an+1=4an+3n-1,bn+1bn=an+1+n+1an+n=(4an+3n-1)+n+1an+n=4(an+n)an+n=4.又b1=a1+1=1+1=2,数列bn是首项为2,公比为4的等比数列.(2)解由(1)知,bn=24n-1,an=bn-n=24n-1-n,Sn=a1+a2+an=2(1+4+42+4n-1)-(1+2+3+n)=2(1-4n)1-
10、4-n(n+1)2=23(4n-1)-12n2-12n.对点训练1(1)证明由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因为a1+b1=1,所以an+bn是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以an-bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解由(1)知,an+bn=12n-1,an-bn=2n-1.所以an=12(an+bn)+(an-bn)=12n+n-12,bn=12(an+bn)-(an-bn)=12n-n+12.【例2】
11、解(1)设an的公差为d.由S9=-a5,得a1+4d=0.由a3=4,得a1+2d=4.可得a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n-9)d2.由a10知d0,故Snan等价于n2-11n+100,解得1n10.所以n的取值范围是n|1n10,nN.对点训练2解(1)给出的通项公式为an=2n+4,a1=6,a2=8符合题意.因为对任意nN*,an+1-an=2(n+1)+4-2n-4=2,所以an是公差为2的等差数列.对任意m,nN*且mn,am+an=2m+4+2n+4=2(m+n+2)+4=am+n+2,
12、所以an是“Q数列”.(2)因为an是等差数列,所以Sn=n(6+2n+4)2=n2+5n(nN*).因为Sn单调递增,且S7=72+57=84100,所以n的最小值为8.注:以下答案也正确,解答步骤参考上面内容:an=3n+3,Sn=32n2+92n,n的最小值为7;an=6n,Sn=3n2+3n,n的最小值为6.【例3】解(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.因为a1q2=8,所以a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+
13、b5+b6+b7)+(b32+b33+b63)+(b64+b65+b100)=0+12+222+323+424+525+6(100-63)=480.对点训练3(1)解an+1=23Sn,可得an+1=Sn+1-Sn=23Sn,即Sn+1=53Sn,由a1=1,可得S1=1,可得数列Sn是首项为1,公比为53的等比数列,则Sn=53n-1;(2)证明因为bn=1Sn=35n-1,所以bn是首项为1,公比为35的等比数列,则b1+b2+b3+bn=1-35n1-35=521-35nSk+1,即SkSk+ak+1,从而ak+10;同理,若使Sk+1Sk+2,即Sk+10.若选:由b1+b3=a2,得
14、a2=-1-9=-10,又a5=-1,则可得a1=-13,d=3,所以an=3n-16,当k=4时,能使a50成立;若选:由a4=b4=27,且a5=-1,所以数列an为递减数列,故不存在ak+10;若选:由S5=-25=5(a1+a5)2=5a3,解得a3=-5,从而an=2n-11,所以当k=4时,能使a50成立.对点训练5解(1)若选S4是a2与a21的等差中项,则2S4=a2+a21,即24a1+4322=(a1+2)+(a1+202).解得a1=3.所以an=3+2(n-1)=2n+1.若选a7是S33与a22的等比中项,则a72=S33a22,即(a1+62)2=a1+3-122(
15、a1+212).解得a1=3.所以an=3+2(n-1)=2n+1.若选数列a2n的前5项和为65,则a2+a4+a6+a8+a10=65,即5a1+25d=65,解得a1=3.所以an=3+2(n-1)=2n+1.(2)不存在.理由如下,bn=34nan=(2n+1)34n.bn+1-bn=(2n+3)34n+1-(2n+1)34n=3n4n+13(2n+3)-4(2n+1)=3n4n+1(5-2n).所以bn+1bn可转化为bn+1-bn0,即5-2n0,解得nb2b1;bn+1bn可转化为bn+1-bn0,即5-2n2.5,则n=3,4,5,即b3b4b5.所以bn中的最大项为b3=(2
16、3+1)343=72764.显然b3=7276482764=278.所以nN*,bn278.核心素养微专题(四)【例1】B解析第一圈的三段圆弧为CA1,A1A2,A2A3,第二圈的三段圆弧为A3A4,A4A5,A5A6,第n圈的三段圆弧为A3(n-1)A3n-2,A3n-2A3n-1,A3n-1A3n.各段圆弧的长度分别为223,423,623,823,1023,1223,(6n-4)23,(6n-2)23,6n23,此数列是以43为首项,43为公差,项数为3n的等差数列,则ln=223+6n233n2=2(3n2+n),故选B.跟踪训练1an=3n-2解析设SOA1B1=S,a1=1,a2=
17、2,OAn=an,OA1=1,OA2=2.又易知OA1B1OA2B2,SOA1B1SOA2B2=(OA1)2(OA2)2=122=14.S梯形A1B1B2A2=3SOA1B1=3S.所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等,且OA1B1OAnBn,OA1OAn=SOA1B1SOAnBn=SS+3(n-1)S=13n-2.a1an=13n-2,an=3n-2.【例2】C解析由题意得V1=1312666=36.因为E,F,G分别为A1B1,BB1,B1C1的中点,所以三棱锥F-EB1G的体积为V2=18V1;E1,F1,G1分别为EB1,FB1,B1G的中点,所以V3=18V2;E2,F2,G2分别为E1B1,F1B1,B1G1的中点,所以V4=18V3;,Vk+1=18Vk.所以V1,V2,V3,Vn成等比数列,且首项为36,公比为18,所以Sn=361-18n1-18=288-3618n-17.故选C.跟踪训练22x+33x解析由题知,当n=1时,3x(a1+a2-1)-(2x+3)a1=0,因为a1=1,所以a2=2x+33x,所以a2a1=2x+33x.当n2时,有3x(Sn+1-1)-(2x+3)Sn=0,3x(Sn-1)-(2x+3)Sn-1=0,- -得3xan+1-(2x+3)an=0,即an+1an=2x+33x,于是f(x)=2x+33x.-
