1、江苏省南通市如东县高级中学2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.设集合，则_.【答案】【解析】【分析】利用集合的交集运算求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】根据复合型对数函数的定义域进行求解【详解】，故答案为：【点睛】本题考查复合函数的定义域，是基础题.3.命题“”的否定是_.【答案】【解析】【分析】将全称量词改存在量词，再否定结论即可，“都有”改为“有”，大于号改成小于等于号【详解】全称量词改存在，
2、再否定结论，即“”的否定是：故答案为：【点睛】本题考查全称命题的否定，全称改存在，再否定结论4.已知，且，则_.【答案】【解析】【分析】先由正切的和角公式求出，再根据，利用同角三角函数基本关系求出【详解】由，又因，根据同角三角函数的基本关系，可求得故答案为：【点睛】本题考查正切三角函数和角公式的求法，同角三角函数的基本求法，解题关键是正确掌握四象限对应三角函数的正负值5.若直线：()与直线：的距离为，则_.【答案】【解析】【分析】观察式子可知，两直线平行，再采用平行直线距离公式求解即可.【详解】直线：()与直线：平行，直线：可化为，利用两直线平行的距离公式：，可求得或，因为故答案为：【点睛】本
3、题考查两平行直线的距离求法，解题时需注意在一般式中，的系数需化成一致，以免造成误解.6.已知函数f(x)sin.若yf(x)是偶函数，则_.【答案】 【解析】利用偶函数定义求解yf(x)sinsin是偶函数，所以2k，kZ，得，kZ.又0，所以k1，.7.设函数，若，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据题意，当时，解，当时，解，即可求出.【详解】当时,由得，解得，又，所以无解，当时，由得，解得，故填.【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式及分类讨论的思想，属于中档题.8.定义在上的奇函数满足：当时，则在上方程的实根个数为_.【答案】3【解析】【分析】将转化成，令，根据两函数图
4、像交点，再结合奇函数性质求出零点个数即可【详解】由可得，令，分别画出两个函数图像，如图所示当大于零时，与有一个交点，根据奇函数的对称性，在时还存在一个关于原点对称的交点，又因定义域，所以所以在上方程的实根个数为3个故答案为：3【点睛】本题考查函数零点个数的求解问题，函数与方程转化，数形结合的重要思想，通过构造函数，转化成两函数交点问题，往往能将问题简化，这也是解决零点问题常用的基本方法9.若是不等式成立的充分不必要条件,则实数的范围是_.【答案】【解析】【分析】先求得不等式的解集，然后根据充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】不等式可转化为，解得，由于是的充分不必要条件，
5、结合集合元素的互异性，得到.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查充分不必要条件的概念，还考查了集合元素的互异性，属于基础题.一元二次不等式的解法主要通过因式分解，求得一元二次不等式对应的一元二次方程的两个根，由此解出不等式的解集.集合的三要素是：确定性、互异性以及无序性.10.已知直线的方程是，是直线上的两点，且是正三角形（为坐标原点），则外接圆的方程是_.【答案】【解析】【分析】取AB中点D，连结OD，由已知得圆心在OD上，且半径为，由此能求出圆的方程【详解】如图所示：取AB中点D，连结OD，是正三角形， ，过点的直线为，联立得D点坐标为，则，由已知得圆心在OD上，且半径为（重心
6、性质）圆心为，圆的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查三角形外接圆的方程的求法，正三角形是解题的关键，数形结合思想的合理运用更能辅助解题11.在平面直角坐标系中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是_.【答案】5【解析】【分析】将点代入曲线求出关于的关系式，再结合两直线垂直的条件和曲线在点的导数求解即可【详解】将点代入曲线可得，曲线的导数为，根据曲线在点处的切线与直线垂直，所以过曲线上点的切线斜率为，联立得，则故答案为：5【点睛】本题考查曲线在某点对应切线斜率的求法，两直线垂直时斜率的关系，是中档题型.12.在三角形中，若对任意的恒成立，则角的取值范围为_.【答案】【
7、解析】【分析】采用平面向量数量积公式，以为基底，表示出的关系式，再利用不等式的关系进行求解即可【详解】如图，由，即恒成立，同时除以得：，当且仅当时等号成立，所以，又因，所以故答案：【点睛】本题考查根据向量数量积公式求解参数问题，基本不等式求最值问题，是中档题13.已知函数，记为函数图像上的点到直线的距离的最大值，那么的最小值为_.【答案】【解析】【分析】如解析中的图所示，我们研究平行直线系与函数图象的关系，其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线与之间，图象上的个别点在直线上设两条平行直线与之间的距离为我们发现只有经过点，与图象相切于点时，的最小值求出即可【详解】我们研究平行直线系与函数图象的关
8、系，其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线与之间，图象上的个别点在直线上设两条平行直线与之间的距离为我们发现只有经过点，与图象相切于点时，的最小值设，解得，直线的方程为：（点到直线距离）的最小值的最小值为：【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线的斜率、平行线之间的距离、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想、推理能力与计算能力，属于难题14.若存在，使得关于的方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】令，把关于的方程有四个不等的实数根转化为与的图象有四个不同交点，利用导数研究的单调性并画简图，得到，即存在，有，再由导数得到的单调性，求得最小值即可求得实数的取值范围
9、【详解】由，得，令，当时，当时，当时，在上为减函数，在上为增函数；当上，当时，当时， 在上为减函数，在上为增函数则作出函数的图象，如图：由图可知，要是关于的方程有四个不等的实数根，则需与的图象有四个不同交点，则，即存在，有，令，则在上为增函数，则，又，实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，数形结合的解题思想方法，利用导数求最值，属于难题二、解答题: 本大题共6小题共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）若，求函数的单调递增区间【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）采用二倍角公式化简
10、表达式，根据求周期（2）先求出，根据复合函数的定义域和复合函数的增减性，结合进行求解即可【详解】解：（1），的最小正周期（2）由（1）知， 故，得， 结合单调递增得， ，函数的单调递增区间为【点睛】本题考查结合二倍角公式化简求解三角函数，求解复合三角函数定义域，复合三角函数在定区间内增减区间的判断，属于中档题16.在中， （1）求三边的平方和；（2）当的面积最大时，求的值【答案】（1）16（2）【解析】【分析】（1）根据求得，再用余弦定理整体代换，可得的整体数值，即可求得三边的平方和（2）先利用重要不等式代换出，再根据求出，结合同角三角函数的基本关系表示出，采用正弦定理的面积公式进行求解即可【
11、详解】解：（1）因为，所以 在中，由余弦定理得：， 即，于是， 故为定值（2）由（1）知：，所以，当且仅当时取“=”号，因为，所以，从而 的面积， 当且仅当时取“=”号因为，所以当时，故【点睛】本题考查利用向量的数量积公式和余弦定理求解三边关系，利用正弦的面积公式与不等式求解具体的三角函数值，体现了不等式在解三角函数中的重要应用17.已知直线： ().（1）证明：直线过定点；（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程【答案】（1）证明见解析（2），此时直线方程为【解析】【分析】（1）将直线变形化简即可求得（2）根据题意表示出，结合三角形面积公式
12、和均值不等式进行求解即可【详解】解:(1)证明：直线的方程可化为， 令，解得：， 无论取何值，直线总经过定点. (2)解：由题意可知，再由的方程，得，依题意得：，解得，当且仅当 ，即，取“”，此时直线的方程为【点睛】本题考查直线过定点的判断问题，直线与坐标轴围成三角形面积结合不等式求最值的问题，同时考查了解析几何中基本的运算能力18.如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m，在施工过程中发现O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市委决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公
13、路l，m上（点P，Q分别在点O的正东、正北方向），且要求PQ与圆A相切.（1）当点P距O处2百米时，求OQ的长；（2）当公路PQ的长最短时，求OQ的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意，建立直角坐标系，然后利用直线与圆的相切列出关于关于q的方程解之即可；（2）利用截距式方程给出直线的方程，然后利用直线与圆相切找到两个待定系数间的关系，再利用勾股定理将PQ表示成关于q的函数，利用函数的单调性求其最值即可试题解析：如图，以O为原点、直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系.设P（p, 0），Q（0, q）且PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A方程为（1）
14、由题意可设直线PQ的方程为，即因为PQ与圆A相切，所以，解得，故当点P与O处2百米时，OQ的长为百米.（2）设直线PQ的方程为，即.因为PQ与圆A相切，所以，化简得在PtPOQ中，.令则当时，即f(q)在（上单调递减；当时，即f(q)在上单调递增.所以f(q)在时取得最小值，故当公路PQ的长最短时，OQ的长为百米.答：（1）当点P距O处2百米时，OQ的长为百米；（2）当公路PQ的长最短时，OQ的长为百米.考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；直线和圆的方程的应用19.已知，函数的图象与轴相切（1）求实数a的值；（2）求的单调区间；（3）当时，恒有，求实数的取值范围【答案】（1） （2）单调递
15、减区间为，单调递增区间为（3）【解析】【分析】（1）根据题意，设切点为，求出函数的导数表达式，根据图像特征，可得，解方程即可求得实数a（2）由（1）得，再令导数为0，根据导数正负判断函数增减性即可（3）当时，恒有等价于，当时恒成立，再利用来研究函数的单调性，由于一阶导数无法直接判断正负，故需求解二阶导数，由于参数的存在，还需对参数进行分类讨论，进一步验证函数的恒成立问题即可【详解】解：（1），设切点为，依题意，即解得，所以 (2) ，当时，；当时，故的单调递减区间为，单调递增区间为 （3）令，则，令，则，（）若 ，因为当时，所以，所以即在上单调递增 又因为，所以当时，从而在上单调递增，而，所以
16、，即成立 （）若，可得在上单调递增因为， 所以存在，使得，且当时，所以即在上单调递减，又因为，所以当时，从而在上单调递减，而，所以当时，即不成立综上所述的取值范围是【点睛】本题考查根据导数和函数表达式求解参数，根据导数求解函数单调区间，根据函数在定区间恒成立利用导数求解参数取值范围问题，前两小问比较基础，最后一问难度偏大，其中二阶导数的应用容易自乱阵脚，建议涉及二阶导数时，配合草图加以理解，同时参数的范围判断至关重要，一般是通过试值法确定特殊点，本题中当时是一个特殊值，以此对进行分类讨论，此法可在同类型题中借鉴20.已知函数f (x)xlnxx（1）设g(x)f (x)|xa|，aRe为自然对
17、数的底数当时，判断函数g(x)零点的个数；时，求函数g(x)的最小值（2）设0mn1，求证：【答案】（1） g(x)有且仅有两个零点ae（2）证明见解析【解析】分析】（1）将代入g(x)f (x)|xa|，化简得g(x)xlnx，再根据导数正负判断在极值点处函数值的正负，结合极值点两侧值加以论证即可，可取验证求解（2）由于参数的不确定性，需根据将参数分成a，ae，ae三段进行讨论，进一步判断函数的单调区间（3）可先构造函数h(x)，求得h(x)0，于是h(x)在(0，1)单调递增，因0mn1，所以h(m)h(n)，从而有，再设(x)，x0 ，通过导数来验证(x)增减性，进一步通过增减性求得最值
18、，即可求证不等式成立【详解】解：（1）当时， g(x)xlnxx|x|xlnx，g(x)1lnx，当0x时，g(x)0；当x时，g(x)0；因此g(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增， 又，g()0，g(1)0，所以g(x)有且仅有两个零点 （i）当a时，g (x)xlnxxxaxlnxa， 因为x，e，g(x)1lnx0恒成立，所以g(x)在，e上单调递增，所以此时g(x)的最小值为g()a （ii）当ae时，g(x)xlnxxaxxlnx2xa，因为x，e，g(x)lnx10恒成立，所以g(x)在，e上单调递减，所以此时g(x)的最小值为g(e)ae （iii）当ae时，若xa，
19、则g(x)xlnxxaxxlnx2xa，若axe，则g(x)xlnxxxaxlnxa，由（i），（ii）知g(x)在，a上单调递减，在a，e上单调递增，所以此时g(x)的最小值为g(a)alnaa， 综上有：当a时，g(x)的最小值为a；当ae时，g(x)的最小值为alnaa； 当ae时，g(x)的最小值为ae （2）设h(x)，则当x(0，1)时，h(x)0，于是h(x)在(0，1)单调递增，又0mn1，所以h(m)h(n)，从而有 设(x)，x0 则(x) 因此(x)在(0，)上单调递增，因为0n1，所以(n)(1)0，即lnn10，因此即原不等式得证【点睛】本题考查通过导数研究不含参函数
20、零点个数问题，通过导数研究含参函数单调区间的问题，通过构造数列和放缩法结合导数求证不等式恒成立问题，属于难题如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.设实数满足（其中），实数满足若是的必要不充分条件，求实数的取值范围【答案】【解析】【分析】（1）观察命题对应的式子，可由因式分解法求得，再解分式不等式得，设，由是的必要不充分条件可判断，根据范围进行判断即可【详解】解：设，是的必要不充分条件，则；则，所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查一元二次不等式与分
21、式不等式的解法，根据包含关系求解参数范围问题，属于中档题22.已知函数若，求函数的值域.【答案】【解析】【分析】将展开，再结合二倍角公式化简三角函数表达式，根据给定区间求解值域即可【详解】解： 由得， ， ，即函数的值域为【点睛】本题考查根据二倍角公式进行三角函数的化简求值，求解给定区间三角函数值域的问题，是基础题型23.二次函数图像与轴交于，两点，交直线于，两点，经过三点，作圆（1）求证：当变化时，圆的圆心在一条定直线上；（2）求证：圆经过除原点外的一个定点【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）联立，求得点，联立与求得点，设圆C的方程为，根据点到圆心距离相等求得圆心坐
22、标x0与y0的联系，消参即可求得定直线（2）由（1）知，设圆C过定点（m，n），则m2+n2+bm+（b2）n=0，整理成关于b的一次函数形式，根据恒成立问题联立方程求解即可【详解】解：（1）在方程中令，易得设圆C的方程为则，故经过三点O，A，B的圆C的方程为x2+y2+bx+（b2）y=0，设圆C的圆心坐标为（x0，y0），则，y0=x0+1，这说明当b变化时，（1）中的圆C的圆心在定直线y=x+1上（2）设圆C过定点（m，n），则m2+n2+bm+（b2）n=0，整理得（m+n）b+m2+n22n=0，它对任意b0恒成立，故当b变化时，（1）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（1，1）【
23、点睛】本题考查根据函数图像求解交点问题，根据圆的定义和消参法求证圆心过定直线问题，恒成立问题的转化，是中档题24.已知函数.（）（1）若在区间上单调递减，求实数的取值范围；（2）若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数在上单调递减转化为在上恒成立问题，再通过不等式恒成立条件求解即可（2）令，根据在区间上，函数的图象恒在曲线下方转化成在区间上恒成立，求得，分别对和进行分类讨论，结合正负判断单调性，再结合恒成立问题进一步求解即可【详解】解：（1）在区间上单调递减，则区间上恒成立 即，而当时，故所以 （2）令，定义域为. 在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立. 若，令，得极值点，当，即时，在（，+)上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即时，同理可知，在区间上，有，也不合题意； 若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是 综合可知，当时，函数的图象恒在直线下方.【点睛】本题考查根据函数在某区间单减，求解参数取值范围问题，通过函数图像特点构造新函数，用导数研究新函数恒成立问题来求解参数问题，属于难题
