1、专题7.2 基本不等式一、 多选题1、(2020浙江温州中学高三3月月考)若，下列等式不可能成立有( )个.(1)(2)(3)A0B1C2D3【答案】C【解析】对于：当a，b异号时，当a，b同号时，故不可能成立对于：若，则，当时，；化为：，看作是点到直线的距离为1，可能成立；对于：，令，所以，不可能成立故选：C2、(2019年高考浙江卷)若，则“”是 “”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.3、(2020
2、浙江镇海中学高三3月模拟)设，则“”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得，所以是充分条件；由可得，所以是必要条件，故“”是“”的充要条件答案选C4、(2020届山东省泰安市高三上期末)若，则的最小值为( )A6BC3D【答案】C【解析】，且，当且仅当且即时，等号成立；故选：C5、(2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟)若正实数，满足，则取最小值时，( )A5B3C2D1【答案】B【解析】；，且，；，当且仅当，即时取等号.故选：B.6、(2020届山东省济宁市高三上期末)已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是( )A1
3、BC9D18【答案】A【解析】奇函数在R上单调，则故即 当即时等号成立故选：7、(2020届浙江省高中发展共同体高三上期末)设实数、满足，且.则的最小值是( )ABCD【答案】C【解析】由题意可知，.当时，当且仅当且，即，时取等号，当时，当且仅当且时取等号，综上可得，的最小值.故选：C.8、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)如图，在中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为( )ABCD【答案】D【解析】如图可知x，y均为正，设，共线， ，则，则的最小值为，故选D.9、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知，若不等式恒成立，则m的最大值为( )A10B12C16D9【答案】D【
4、解析】由已知，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，所以故选：D二、 多选题10、(2010南京金陵中学期末)下列说法中正确的有()A.不等式a+b2ab恒成立B存在a，使得不等式a+1a2成立C.若a，b(0，+)，则ba+ab2D若正实数x，y满足x+2y1，则2x+1y8【答案】BCD【解析】：不等式a+b2ab恒成立的条件是a0，b0，故A不正确；当a为负数时，不等式a+1a2成立故B正确；由基本不等式可知C正确；对于2x+1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy4+24yxxy=8，当且仅当4yx=xy，即x=12，y=14时取等号，故D正确故选：BCD11、(20
5、19秋莱州市校级月考)若正实数a，b满足a+b1，则下列选项中正确的是()Aab有最大值14Ba+b有最小值2C1a+1b有最小值4Da2+b2有最小值22【答案】AC【解析】：a0，b0，且a+b1；1+a+b1ab；ab14；ab有最大值14，选项A正确；a+b2ab，2ab1，a+b的最小值不是2，B错误；1a+1b=a+bab=1ab4，1a+1b有最小值4，C正确；a2+b22ab，2ab12，a2+b2的最小值不是22，D错误故选：AC12、(2010薛城区校级期中)设a1，b1，且ab(a+b)1，那么()Aa+b有最小值2(2+1)Ba+b有最大值(2+1)2Cab有最大值3+
6、22Dab有最小值3+22【答案】AD【解析】：a1，b1，a+b2ab，当ab时取等号，1=ab-(a+b)ab-2ab，解得ab2+1，ab(2+1)2=3+22，ab有最小值3+22；ab(a+b2)2，当ab时取等号，1=ab-(a+b)(a+b2)2-(a+b)，(a+b)24(a+b)4，(a+b)228，解得a+b-222，即a+b2(2+1)，a+b有最小值2(2+1)故选：AD13、(2019秋崂山区校级期末)几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有
7、图形如图所示，C为线段AB上的点，且ACa，BCb，O为AB的中点，以AB为直径作半圆过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E则该图形可以完成的所有的无字证明为()Aa+b2ab(a0，b0)Ba2+b22ab(a0，b0)Cab21a+1b(a0，b0)Da2+b22a+b2(a0，b0)【答案】AC【解析】：根据图形，利用射影定理得：CD2DEOD，由于：ODCD，所以：a+b2ab(a0，b0)由于CD2ACCBab，所以DE=CD2OD=aba+b2所以由于CDDE，整理得：ab2aba+b=21a+1b(a0，b0)故选：AC三 、填空题14、
8、(2018年高考天津卷理数)已知，且，则的最小值为 . 【答案】14【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且2a+18b=2a+2-3b，因为对于任意x，2x0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a+2-3b22a2-3b=22-6=14.当且仅当2a=2-3ba-3b=6，即a=3b=-1时等号成立.综上可得2a+18b的最小值为14.15、(江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测)设x0，y0，x2y4，则的最小值为_.【答案】9【解析】又x2y4即，当且仅当等号成立，故原式 故填916、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)函数的最小值是_.【答案】【解析】
9、由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.故填：.17、(2020年高考江苏)已知，则的最小值是 【答案】【解析】且，当且仅当，即时取等号.的最小值为.故答案为：.18、(2020全国高三专题练习(理)已知圆关于直线对称，则的最小值为_【答案】【解析】由题意可知直线过圆心，即 当且仅当时，又 即时等号成立，故的最小值为9.故答案为：919、(2018年高考江苏卷)在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知，SABC=SABD+SBCD,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120=12a1sin60+12c1sin60，化简得ac=a
10、+c,1a+1c=1，因此4a+c=4a+c1a+1c=5+ca+4ac5+2ca4ac=9,当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.20、(2020年高考天津)已知，且，则的最小值为_【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：21、(江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初)已知a，b，c均为正数，且abc4(ab)，则abc的最小值为_【答案】8【解析】，22、(2020届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟)已知，则的最小值_.【答案】【解析】，由基本不等式得.当且仅当时，即当时，等号成立，因此，函数的最小值为.故答案为：.23
11、、(江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研)已知，且，则的最大值为_.【答案】【解析】，且，当且仅当时取等号.令，原不等式转化为，解得.故答案为：.四、解答题24、(1) 已知x1，求f(x)x的最小值；(2) 已知0x，求y2x5x2的最大值【解析】. (1)因为x1，所以x10，所以f(x)xx11213，当且仅当x1，即x2时，等号成立所以f(x)的最小值为3.(2) y2x5x2x(25x)5x(25x)，因为0x，所以5x2，25x0，所以5x(25x)1，所以y，当且仅当5x25x，即x时，y2x5x2取得最大值.25、(2020深圳实验学校高中部高一期末
12、)已知正实数，满足等式.(1)求的最大值；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)因为，由基本不等式，得.又因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为10.所以.所以当，时，的最大值为1；(2)因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.不等式恒成立，只要，解得.所以的取值范围是.26、(2019年11月北京市清华大学中学生标准学术能力诊断性测试测试数学)已知a，b，c为正实数，且满足abc3.证明：(1)abbcac3；(2).【解析】(1)证明：正实数，满足，当且仅当时等号成立(2)，当且仅当时等号成立27、(2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断
13、性测试理科数学试卷)已知正数，满足.(1)求证：；(2)求的最小值.【解析】(1)因为，所以由柯西不等式得.又因为.所以(2)由均值不等式，当且仅当时“=”成立.当且仅当时取“=”，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为6.28、(2020届山东省潍坊市高三上期中)在经济学中，函数的边际函数定义为某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产台的收益函数为 (单位：万元)，成本函数(单位：万元)，该公司每月最多生产台该医疗器材(利润函数=收益函数成本函数)(1)求利润函数及边际利润函数；(2)此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?(精确到)(3)求为何值时利润函数取得最大值，并解释边际利润函数的实际意义【答案】(1)；(2)台，万元；(3)或；反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.【解析】(1)由题意知：且，.(2)每台医疗器材的平均利润，当且仅当时等号成立.因为，当每月生产台机器时，每台平均约为万元，每月生产台时，每台平均约为万元，故每月生产台时，每台医疗器材的平均利润最大为万元.(3)，由，得，此时随增大而增大，由得，此时随增大而减小，或时，取得最大值.反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
