1、高考解答题专项二三角函数中的综合问题1.(2021山东临沂高三二模)在x=6是函数f(x)图像的一条对称轴,12是函数f(x)的一个零点,函数f(x)在a,b上单调递增,且b-a的最大值为2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知函数f(x)=2sin xcosx-6-12(00,0B,fA-B2-12=35,求cosA-B2,并证明sin A255.6.(2021河南郑州高三三模)在ABC中,AB=2AC,点D在BC边上,AD平分BAC.(1)若sinABC=55,求cosBAC;(2)若AD=AC,且ABC的面积为7,求BC.高考解答题专项二三角函数中的综合问题1.解f(x)=
2、2sinxcosx-6-12=2sinxcosxcos6+sinxsin6-12=3cosxsinx+sin2x-12=32sin2x-12cos2x=sin2x-6.若x=-6是函数f(x)图像的一条对称轴,则-3-6=k+2(kZ),即-3=k+23(kZ),因此=-3k-2(kZ).又02,所以当k=-1时,=1,则f(x)=sin2x-6.若12是函数f(x)的一个零点,则122-6=k,即6=k+6(kZ),因此=6k+1(kZ).又02,所以当k=0时,=1,所以f(x)=sin2x-6.若f(x)在a,b上单调递增,且b-a的最大值为2,则T=22,故=1,所以f(x)=sin2
3、x-6.由2+2k2x-632+2k(kZ),得3+kx56+k(kZ),令k=0,得3x56;令k=-1,得-23k-6.又-2x2,所以f(x)在-2,2上单调递减区间为-2,-6,3,2.2.解(1)由2tanBtanA+tanB=bc及正弦定理可知,2sinBcosBsinAcosA+sinBcosB=sinBsinC,所以2sinBcosBcosAcosBsin(A+B)=sinBsinC,因此2cosA=1.又A(0,),所以A=3.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得13=9+c2-3c,所以c2-3c-4=0,即(c-4)(c+1)=0,解得c=4.从而SABC
4、=12bcsinA=123432=33.3.解(1)若选,由正弦定理得sinBcosC+3sinBsinC=sinA+sinC=sin(B+C)+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC.因为C为三角形内角,sinC0,所以3sinB-cosB=1,sinB-6=12.因为-6B-63,则B-6=6,即B=3.若选,由正弦定理得sinB=bsinAa=32,因为B是锐角,所以B=3.若选,由正弦定理得a(c-a)=(c-b)(c+b)=c2-b2,即a2+c2-b2=ac,所以cosB=a2+c2-b22ac=12.因为B为锐角,所以B=3.(2)由已知S=12acsinB=34
5、ac=3,得ac=4.又a2+c2-b2=2accosB,即a2+c2-4=ac,解得a=c=2.4.解(1)连接BD,在RtBAD中,由AB=4,AD=3,BAD=90,得BD=5,sinABD=35,cosABD=45.ABC=45,DBC=45-ABD,sinDBC=sin45cosABD-cos45sinABD=2245-2235=210.在RtBCD中,由BCD=90,知CD=BDsinDBC=5210=22.(2)连接AC,由(1)知BD=5,在RtABD中易知sinABD=35,cosABD=45.在RtBCD中,由BC=25,BD=5,得CD=5.易知sinCBD=55,cos
6、CBD=255.cosABC=cos(ABD+CBD)=cosABDcosCBD-sinABDsinCBD=45255-3555=55.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=42+(25)2-242555=20,AC=25.5.解(1)由f(0)=12,得sin=12.又00,结合函数图像可知122512,所以0125.又kZ,所以k=0,从而=2,因此f(x)=sin2x+6.(2)由fA-B2-12=sin(A-B)=35,因为0BA2,所以0A-B2,故A=A+B2+A-B24+A-B2.又y=sinx在0,2上单调递增,且A0,2,4+A-B20,2,
7、所以sinAsin4+A-B2=sin4cosA-B2+cos4sinA-B2=2231010+1010=255.6.解(1)令ABC的边AC,AB,BC为b,c,a,由题意可得c=2b,ABAC,ABCACB,ABC为锐角,即cosABC=1-15=255.ACsinABC=ABsinACB,sinACB=255.ACB(0,),cosACB=55.cosBAC=-cos(ABC+ACB)=sinABCsinACB-cosABCcosACB.当cosACB=55时,cosBAC=55255-25555=0.当cosACB=-55时,cosBAC=55255+25555=45.所以cosBAC=0或45.(2)设CAD=DAB=,由于SABC=SACD+SADB,所以12ACADsin+12ABADsin=12ABACsin2,由AD=AC,AB=2AC可得3sin=4sincos.因为sin0,则cos=34,sin=1-cos2=74,SABC=12ACABsin2=b2sin2=2b2sincos=7,解得b2=83.又cos2=2cos2-1=18,a=b2+4b2-2b2bcos2=23,即BC=23.
