1、压轴大题突破练(四)(推荐时间：60分钟)1 已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由解(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220.解得x0，x2(a2)xa0对x(1,1)都成立即a(x1)对x(1,1)都成立令y(x1)，则y10.y(x1)在(1,1)上单调递增y0，x2(a
2、2)xa0对xR都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的，故函数f(x)不可能在R上单调递减若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对xR恒成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立，ex0，x2(a2)xa0对xR都成立而(a2)24aa240，故函数f(x)不可能在R上单调递增综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数2 设椭圆C：1(ab0)的离心率e，右焦点到直线1的距离d，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值(1)解由e得，即a2c，bc.由右焦点到直线1的距离为d，1化为一般式：b
3、xayab0得，解得a2，b.所以椭圆C的方程为1.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB斜率存在时，可设直线AB的方程为ykxm，与椭圆1，联立消去y整理可得(4k23)x28kmx(4m212)0.由根与系数的关系得：x1x2，x1x2.OAOB，x1x2y1y20，x1x2(kx1m)(kx2m)0.即：(k21)x1x2km(x1x2)m20，(k21)m20，整理得7m212(k21)，所以O到直线AB的距离d(为定值)当直线AB斜率不存在时，可求出直线AB方程为x.则点O到直线AB的距离为(定值)3 设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A
4、，在x轴负半轴上有一点B，满足，且ABAF2，如图所示(1)求椭圆C的离心率；(2)若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l：xy30相切，求椭圆C的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由解(1)设B(x0,0)，则F2(c,0)，A(0，b)，由ABAF2，可知ABF2是以点A为直角顶点的直角三角形，由，可知F1为BF2的中点，且|BF2|2|F1F2|4c.|AF1|BF2|2c，而|AF1|a，故有a2c.椭圆的离心率e.(2)
5、由(1)，知，得ca.于是F2，B，ABF2的外接圆圆心为，半径r|F2B|a，a，解得a2.c1，b.故所求椭圆方程为1.(3)由(2)，知F2(1,0)，l：yk(x1)，联立，得整理，得(34k2)x28k2x4k2120.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x22)，(x1m，y1)(x2m，y2)(x1x22m，y1y2)由于菱形的对角线垂直，则()0，即(x2x1)x1x22mk(y1y2)0.故k(y1y2)x1x22m0，则k2(x1x22)x1x22m0，k22m0.由已知条件，知k0且kR，m，0m.故存在满足题意的点P且m的取值范围是.4 已
6、知向量m(ex，ln xk)，n(1，f(x)，mn(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴垂直，F(x)xexf(x)(1)求k的值及F(x)的单调区间；(2)已知函数g(x)x22ax(a为正实数)，若对于任意x20,1，总存在x1(0，)，使得g(x2)F(x1)，求实数a的取值范围解(1)由已知可得：f(x)，f(x)，由已知，f(1)0，k1，F(x)xexf(x)x1xln xx，F(x)ln x2，由F(x)ln x200x，由F(x)ln x20x.F(x)的增区间为，减区间为.(2)对于任意x20,1，总存在x1(0，)，使得g(x2)F(x1)，g(x)maxF(x)max.由(1)知，当x时，F(x)取得最大值F1.对于g(x)x22ax，其对称轴为xa，当0a1时，g(x)maxg(a)a2，a21，从而01时，g(x)maxg(1)2a1，2a11，从而1a1.综上可知：0a1.
