1、 古典概型与几何概型高考试题考点一 求古典概型的概率1.(2013年新课标全国卷,文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()(A)(B)(C)(D)解析:从1,2,3,4中任取2个不同的数有六种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的有(1,3),(2,4),故所求概率是=.故选B.答案:B2.(2013年安徽卷,文5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为()(A)(B)(C)(D)解析:从五位大学生中录用三位的所有结果为(甲,乙,丙),(甲
2、,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊)共10种情况,其中甲或乙被录用的情况为9种,所求概率为.故选D.答案:D3.(2012年安徽卷,文10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于()(A)(B)(C)(D)解析:若记红球为A,白球为B1,B2,黑球为C1,C2,C3,则任取2个球的基本事件如下:AB1,AB2,AC1,AC2,AC3,B1B2,B1C1,B1C2,B1C3,B2C1,B2C2,B2C3,C1C2,C1
3、C3,C2C3.共15个.其中颜色为一白一黑的事件有6个,所以概率为P=.答案:B4.(2011年全国新课标卷,文6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()(A)(B)(C)(D)解析:甲、乙各自参加其中一个小组所有选法为9种,甲、乙参加同一个小组的选法有3种,所以其概率为=.故选A.答案:A5.(2011年浙江卷,文8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()(A)(B)(C)(D)解析:3个红球记为a,b,c,2个白球记为1,2.则从袋中取3个球的所有可能情
4、况是abc,ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12,共10个基本事件,则至少有一个白球的基本事件是ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12,共9个.至少有一个白球的概率为.故选D.答案:D6.(2010年北京卷,文3)从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a,从1,2,3中随机选取一个数为b,则ba的概率是()(A)(B)(C)(D)解析:从两个集合中分别取一个数a,b,用坐标表示为(a,b),则(a,b)的取值有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),
5、(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)共15种,而ba时有(1,2),(1,3),(2,3)3种结果,故所求概率是=,选D.答案:D7.(2013年重庆卷,文13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为.解析:甲、乙、丙三人随机地站成一排有6种方法:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,其中甲、乙相邻的有4种.故所求概率P=.答案:8.(2013年浙江卷,文12)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于.解析:从3男3女中选出2名同学,共有以下15种情况:(男1,男2),(男1,男3),(男2,男
6、3),(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男2,女1),(男2,女2),(男2,女3),(男3,女1),(男3,女2),(男3,女3),(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3),其中2名都是女同学的有3种情况,故所求的概率P=.答案:9.(2013年湖北卷,文15)在区间-2,4上随机地取一个数x,若x满足|x|m的概率为,则m=.解析:由|x|m,得-mxm.当m2时,由题意得=,解得m=2.52舍去.当2m0就去打球,若X=0就去唱歌,若X0就去下棋.(1)写出数量积X的所有可能取值;(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.解:(1)X的所有可能取值为-2,-1,
7、0,1.(2)数量积为-2的有,共1种;数量积为-1的有,共6种;数量积为0的有,共4种;数量积为1的有,共4种.故所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为P1=;因为去唱歌的概率为P2=,所以小波不去唱歌的概率P=1-P2=1-=.15.(2013年北京卷,文16)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气
8、质量指数方差最大?(结论不要求证明)解:(1)在3月1日至3月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是.(2)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”,所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.16.(2013年辽宁卷,文19)现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求:(1)所取的2道题都是甲类题的概率;(2)所取的2道题不是同一类题的概率.解:(1)将4道
9、甲类题依次编号为1,2,3,4;2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题,基本事件为:1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,共15个,而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“都是甲类题”这一事件,则A包含的基本事件有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,共6个,所以P(A)= =.即所取2道题都是甲类题的概率为.(2)基本事件同(1).用B表示“不是同一类题”这一事件,则B包含的基本事件有1,5,1,6,2,5,2,6,3,5,3,6,4,5,4,6,共8个,所以P(B)= .17.(2013年山东卷
10、,文17)某小组共有A、B、C、D、E五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率.解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.由于每个人被选到的机会均等,因
11、此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人的身高都在1.78以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C),共3个.因此选到的2人的身高都在1.78以下的概率为P=.(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的事件有:(C,D),(C,E),(D,E),共3个.因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18
12、.5,23.9)中的概率为P1=.18.(2013年天津卷,文15)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,用产品编号列出所有可能
13、的结果;设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.解:(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为A1,A2,A1,A4,A1,A5,A1,A7,A1,A9,A2,A4,A2,A5,A2,A7,A2,A9,A4,A5,A4,A7,A4,A9,A5,A7,A5,A9,A7,A9,共15种.在该样本的一等品中
14、,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为A1,A2,A1,A5,A1,A7,A2,A5,A2,A7,A5,A7,共6种.所以P(B)= =.19.(2012年天津卷,文15)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,列出所有可能的抽取结果;求抽取的2所学校均为小学的概率.解:(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A
15、1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共15种.从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3种.所以P(B)= = .20.(2011年江西卷,文16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝
16、后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率;(2)求此人被评为良好及以上的概率.解:将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4、5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为:(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5),共有10种,令D表示此人被评为优秀的事件,E表示此人被评为良好的事件,F表示此人被评为良好及以上的事
17、件,则(1)P(D)= .(2)P(E)= ,P(F)=P(D)+P(E)= .考点二 求几何概型的概率1.(2012年湖北卷,文10)如图所示,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作两个半圆,在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()(A)- (B)(C)1- (D)解析:如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4,则S1+S2+S3+S4=(2a)2=a2而S1+S3与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆的面积,即S1+S3 +S2+S3=a2.-得S3=S4,由图可知S3=(S扇形EOD+S扇
18、形COD)-S正方形OEDC=a2-a2,所以S阴影=a2-2a2.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率为p=1-.故选C.答案:C2.(2012年北京卷,文3)设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()(A)(B)(C)(D)解析:不等式组对应直角坐标系内的区域D为如图所示的正方形ABCE,面积为4,在区域D内随机取一点,此点到原点的距离大于2对应的区域为如图所示的阴影部分(不包括),即落在圆x2+y2=4(0x2,0y2)外,面积为4-.所求概率为.故选D.答案:D3.(2012年辽宁卷,文11)在长为12 cm的线段AB上任取
19、一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为()(A)(B)(C)(D)解析:设AC=x cm且0x20,得2x10,由几何概型知矩形面积大于20 cm2的概率为=.答案:C4.(2011年福建卷,文7)如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自ABE内部的概率等于() (A)(B)(C)(D)解析:设矩形长为a,宽为b,则点取自ABE内部的概率P=.故选C.答案:C5.(2013年湖南卷,文9)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使APB的最大边是AB”发生的概率为,则=()(A)(B)(
20、C) (D)解析:如图,M、N分别是矩形CD边上的四等分点,由题意,点P在线段MN上,满足条件,则BN=AB,由勾股定理,AD2+AB2=AB2,7AB2=16AD2,得=.故选D.答案:D6.(2013年福建卷,文14)利用计算机产生01之间的均匀随机数a,则事件“3a-10”发生的概率为.解析:由题意得0a,根据几何概型概率公式得事件“3a-10的概率为.解析:如图所示,a,b满足的范围就是边长为4的正方形区域,而f(1)0,即a+b3,表示的是直线的右上方,即阴影部分的区域.故所求的概率为1-=.答案:综合检测1.(2013北京市海淀区期末)在等边ABC的边BC上任取一点P,则SABPS
21、ABC的概率是()(A) (B)(C)(D)解析:当SABP=SABC时,有ABPD=ABCO,即PD=CO,则有BP=BC,要使SABPSABC,则点P在线段BP上,所以根据几何概型可知SABPSABC的概率是=,选C.答案:C2.(2011莆田模拟)一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和不小于15的概率为()(A)(B)(C)(D) 解析:基本事件为(1,1),(1,2),(1,8),(2,1),(2,2),(8,8),共64种.两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),所求概率为.故选D.答案:D3.(2011宁德模拟)若在边长为4的等边三角形OAB的边OB上任取一点P,则使得6的概率为()(A) (B)(C) (D)解析:如图所示,6,即4|cos 606,即|3,|PB|1,所求概率为.故选D.答案:D4.(2011厦门)在区间0,上随机取一个数x,则事件“sin x+cos x”发生的概率为.解析:sin x+cos x=sin,sin.2k+x+2k+,2k+x2k+.0x,x.P=.答案:
