1、第三节圆的方程1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：，半径：2点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一成立条件试一试1方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是()A
2、.m1Bm或m1Cm Dm1解析：选B由(4m)2445m0知m或m1.1确定一个圆的方程，需要三个独立条件“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数2求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在任一弦的中垂线上(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线练一练1圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0解析：选B设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，圆的方程为x2(yb)2b2.
3、点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得：b5.圆的方程为x2y210y0.2以直线3x4y120夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为_解析：法一直线3x4y120与两坐标轴的交点分别为A(4,0)，B(0,3)，所以线段AB的中点为C，|AB|5.故所求圆的方程为(x2)222.法二易得圆的直径的两端点为A(4,0)，B(0,3)，设P(x，y)为圆上任一点，则PAPB.kPAkPB1得1(x4，x0)，即x(x4)y(y3)0.化简得(x2)222.答案：(x2)22考点一圆的方程1圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2
4、(y3)21 Dx2(y3)21解析：选A设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21.2经过点(1,0)，且圆心是两直线x1与xy2的交点的圆的方程为()A(x1)2y21 B(x1)2(y1)21Cx2(y1)21 D(x1)2(y1)22解析：选B由得即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x1)2(y1)21.类题通法1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组2利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用考点二与圆有关的最值问题与圆有关的最值
5、问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)利用对称性求最值等.角度一斜率型最值问题1已知实数x，y满足方程x2y24x10.求的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 ，解得k.(如图)所以的最大值为，最小值为.角度二截距型最值问题2在角度一条件下求yx的最大值和最小值解：yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，
6、纵截距b取得最大值或最小值，此时 ，解得b2.(如图)所以yx的最大值为2，最小值为2.角度三距离型最值问题3在角度一条件下求x2y2的最大值和最小值解：x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是274.角度四利用对称性求最值4(2013重庆高考)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.解析：选A两圆的圆心均在
7、第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C(2，3)，则(|PC1|PC2|)min|CC2|5，所以(|PM|PN|)min5(13)54.类题通法数形结合法求解与圆有关的最值问题(1)形如t形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题考点三与圆有关的轨迹问题典例(2013全国课标卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离
8、为，求圆P的方程解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2，从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得.又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.类题通法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等针对训练点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线
9、的中点轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21解析：选A设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则xy4，连线中点坐标为(x，y)，则代入xy4中得(x2)2(y1)21.课堂练通考点1若点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，则a的取值范围是()A1a1B0a1C1a Da1解析：选A点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，(2a)2a25，解得1a1.2. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x2)221 B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21 D.2(
10、y1)21解析：选A由于圆心在第一象限且于x轴相切，故设圆心为(a,1)，又圆与直线4x3y0相切可得1，解得a2，故圆的标准方程为(x2)2(y1)21.3圆(x2)2y25关于直线yx对称的圆的方程为()A(x2)2y25 Bx2(y2)25C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25解析：选D由题意知所求圆的圆心坐标为(0，2)，所以所求圆的方程为x2(y2)25.4. 已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是_解析：lAB：xy20，圆心(1,0)到l的距离d，则AB边上的高的最小值为1.故ABC面积的最小值是23.答案：35. 已知
11、以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)直线AB的斜率k1，AB的中点坐标为(1,2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得ab30.又直径|CD|4，|PA|2，(a1)2b240.由解得或圆心P(3,6)或P(5，2)圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.课下提升考能第组：全员必做题1. (2014郑州第一次质检)以抛物线y24x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()Ax2y22x0 Bx2y2x0
12、Cx2y2x0 Dx2y22x0解析：选D抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，选项A中圆的圆心坐标为(1,0)，排除A；选项B中圆的圆心坐标为(0.5，0)，排除B；选项C中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.2. (2013东城二模)已知圆(x1)2(y1)21上一点P到直线3x4y30距离为d，则d的最小值为()A1 B.C. D2解析：选A圆心C(1,1)到直线3x4y30距离为2，dmin211.3. (2014温州模拟)已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A4
13、B3C2 D.解析：选C圆C的方程可化为x2(y1)21，因为四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kxy40的距离为，即，解得k2，又k0，所以k2.4已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为12，则圆C的方程为 ()A.2y2 B.2y2Cx22 Dx22解析：选C由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径为r，则rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a，故圆C的方程为x22.5已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A
14、 B4C8 D9解析：选B设P(x，y)，由题意知有，(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y24.可知圆的面积为4.6. (2014金华十校联考)已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，且AB，则该圆的标准方程是_解析：依题可设C：(x1)2(yb)21(b0)，且2b21，可解得b，所以C的标准方程为(x1)221.答案：(x1)2217已知圆C的圆心与点M(1，1)关于直线xy10对称，并且圆C与xy10相切，则圆C的方程为_解析：所求圆的圆心为(2,2)，设圆的方程为(x2)2(y2)2r2(r0)，则圆心(2,2)到直线x
15、y10的距离为r，得r，故圆C的方程为(x2)2(y2)2.答案： (x2)2(y2)28. 已知直线axby1(a，b是实数)与圆O：x2y21(O是坐标原点)相交于A，B两点，且AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为_解析：因为直线与圆O相交所得AOB是直角三角形，可知AOB90，所以圆心O到直线的距离为，所以a21b20，即b.设圆M的半径为r，则r|PM| (2b)，又b，所以1|PM|1，所以圆M的面积的最小值为(32).答案：(32)9. 在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线xy4相切(1)求圆O的方程；(2)圆O
16、与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求的取值范围解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线xy4的距离，即r2，所以圆O的方程为x2y24.(2)由(1)知A(2,0)，B(2,0)设P(x，y)，则由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得，x2y2，即x2y22.(2x，y)(2x，y)x24y22(y21)，由于点P在圆O内，故由此得y21，所以的取值范围为2,0)10. (2014蚌埠质检)已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x3y60，点(1,1)在边AD所在的直线上(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；(2)
17、已知直线l：(12k)x(1k)y54k0(kR)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程解：(1)lAB：x3y60且ADAB，kAD3，点(1,1)在边AD所在的直线上，AD所在直线的方程是y13(x1)，即3xy20.由得A(0，2)|AP| 2，矩形ABCD的外接圆的方程是(x2)2y28.(2)证明：直线l的方程可化为k(2xy4)xy50，l可看作是过直线2xy40和xy50的交点(3,2)的直线系，即l恒过定点Q(3,2)，由|QP|2(32)22258知点Q在圆P内，所以l与圆P恒相交，设l与圆P的交点为M，N，|MN|2(d为P到l的距
18、离)，设PQ与l的夹角为，则d|PQ|sin sin ，当90时，d最大，|MN|最短此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即，故l的方程为y2(x3)，即l：x2y70.第组：重点选做题1(2013石家庄模拟)已知两点A(0，3)、B(4,0)，若点P是圆Cx2y22y0上的动点，则ABP面积的最小值为()A6 B.C8 D.解析：选B如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时ABP的面积最小直线AB的方程为1，即3x4y120，圆心C到直线AB的距离为d，ABP的面积的最小值为5.2(2014北京东城区模拟)已知圆x2y29与圆x2y24x4y10关于直线l对称，则直线l的方程为_解析：由题易知，直线l是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，2)，于是其中点坐标是(1，1)，又知过两圆圆心的直线的斜率是1，所以直线l的斜率是1，于是可得直线l的方程为：y1x1，即xy20.答案：xy20
