1、天津一中2020-2021-1高三年级数学学科二月考试卷共150分，考试用时120分钟.一选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合A，再与集合B求交集即可.【详解】由题知，集合，故故选：D【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2. 的展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数.【详解】解：，故它的展开式中含的系数为，故选：C【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.3. 函数的单调递减区间是（ ）A. B. C. D. 【
2、答案】B【解析】【分析】先求得的定义域，根据复合函数同增异减原则，求的单调递减区间即可，结合定义域，即可得答案.【详解】令，解得定义域为，根据复合函数同增异减原则，求的单调递减区间，即求的单调递减区间即可，根据二次函数图象与性质， 的单调递减区间为，结合定义域可得的单调递减区间为，故选：B4. 椭圆的左、右焦点为，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可.【详解】椭圆的左、右焦点为，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，可得，
3、所以：，即，解得，故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.5. 函数的图象可能是（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】先利用的范围求得函数与0的关系，进而排除选项，再由当时，排除，由此得出正确答案.【详解】解：函数的定义域为，当时，；当时，；当时，；当时，故排除选项；又当时，但增长速度比快，故此时，故排除选项.故选：.【点睛】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于基础题.6. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为A.
4、B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根据函数的图象变换规律即可得解，注意三角函数的平移原则为左加右减上加下减【详解】解：将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为，故选：【点睛】本题主要考查函数的图象变换，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，属于基础题7. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】易得在R上是增函数，再利用指数函数和对数函数的单调性比较a，b，c即可.【详解】如图所示：由图象知：在R上是增函数，又所以，所以，故选：A8. 已知，则是的
5、（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】B【解析】【分析】直接利用不等式的性质判断充分条件和必要条件.【详解】解：对于命题，可得到，但是与9没有关系，当命题，整理，即得到，故是的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质以及利用等价法判断必要不充分条件，考查学生的运算和推理能力，属于基础题.9. 已知函数，若关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取,和，分别研究定义域的两部分区间上方程的根的个数，注意结合零点存在性定理及函数的单调性研究上的方程的根的个数，即可做出判定.
6、【详解】当时，,即为，令,满足，在(-5,0)内有两个零点，即在内有两个不同实数根，即方程在内有两个不同实数根，即为0，令,在上单调递增，且在上有且只有一个零点，方程在上有且只有一个实数根，时关于的方程恰有三个不同的实数根，据此可以排除D；当时即为0, 令,在上单调递增，且,在上没有零点，方程在上没有实数根，,是二次方程，最多有2个实数根，所以方程在上最多有两个实数根，关于的方程不可能有三个不同的实数根，故AB错误，故选:C.【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，涉及分段函数，指数函数，若是利用一般研究，则比较费时，根据选择题的特点，选择支中各答案的第二部分区间都是相同的，可不予考虑，只
7、对有所区别的部分进行甄别即可.二填空题10. 若为虚数单位，复数，则_.【答案】5【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案【详解】解：，则故答案为：5【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题11. 已知，且，则_.【答案】【解析】【分析】由已知分别求得，再由，展开两角差的正弦得答案.【详解】解：，又，.则.故答案为：.【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，正弦的差角公式，给值求值型的问题，属于中档题.12. 某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间中
8、，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间的女生数为_【答案】75【解析】【分析】先根据频率分布直方图求出所求区间的频率，然后乘以总人数即为所求.【详解】由频率分布直方图可知，体重在区间的频率为，所以体重在区间的女生数为 故答案为：75【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.13. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_【答案】【解析】试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦长公式为，可建立方程，即，解得.考点：直线与圆的位置关系，解三角形【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式，考查等边三角形几何性质
9、.由于为等边三角形，故弦长，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.14. 已知，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】将代入，利用齐次式以及基本不等式求出最小值即可【详解】当且仅当时取等号故答案为：15. 如图，在已知的四边形中，点为边上的动点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据条件，结合正弦定理、余弦定理，可求得DC、BD的长，化简可得，根据数量积公式，结合二次函数图象与性质，即可求得答案.【详解】因为在中，所以，解得，在中，根据正弦定理，可得，解得，所以，因为，点为边上，所以，设，所以=，所以时
10、，有最小值，故答案为：【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理，并灵活应用，在求时，可利用向量的加减法运算，转化到已知的边长上，再利用数量积公式求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.三解答题16. 已知函数，xR（1）求的单调递增区间；（2）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求a的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间.（2）利用的值求得，利用余弦定理求得.【详解】（1）.由，解得，所以单调递增区间为.（2）由（1）得，所以，由于，所以.由余弦定理得.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的
11、求法，考查余弦定理解三角形，属于中档题.17. 甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选.（1）求甲恰有2个题目答对的概率；（2）求乙答对的题目数的分布列与期望.【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，从而甲答对题目数，由此能求出甲恰有2个题目答对的概率；（2）由题意知乙答对的题目数的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列【详解】（1）甲乙两人
12、参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率（2）由题意知乙答对的题目数的可能取值为2，3，4， ，的分布列为： 2 3 4 【点睛】方法点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，求解离散型随机变量分布列的步骤是：1.首先确定随机变量的所有可能取值；2.计算取得每一个值的概率，可通过所有概率和为来检验是否正确；3.进行列表，画出分布列的表格；4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它18. 如图所示的几何体中，平面，为的中点.（1）求证：；（2）若.求直线与平面所成角的正弦值；二面角的平面角的余弦值
13、.【答案】（1）证明见解析；（2）；.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理，可得，根据题意及线面垂直的判定定理，即可得证；（2）如图建系，可求得各点坐标，进而可求得的坐标，即可求得平面的法向量，利用线面角的向量求法，即可求得答案；可求得的坐标，即可求得平面PCM的法向量，平面CEM的法向量，根据二面角的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，又因为，所以，又，平面PAE，所以平面PAE，又平面PAE，所以.（2）因为两两垂直，分别以为x，y，z轴正方向建系，如图所示：所以，所以,设平面的法向量，则，即，令x=1，则一条法向量，设直线与平面所成角为，所以，所以直
14、线与平面所成角的正弦值为.,设平面PCM的法向量，则，即，令x=1，则一条法向量，同理可求得平面CEM的一条法向量，所以，又二面角为锐二面角，所以二面角的平面角的余弦值为.【点睛】解题的关键是熟练掌握线面角、二面角的向量法步骤及求法，步骤为：（1）建系；（2）写出点坐标，求出所需向量的坐标；（3）利用数量积公式，求出所需的法向量、方向向量的坐标；（4）利用公式，求出线面角、二面角、距离等.19. 如图，已知椭圆：的左顶点，且点在椭圆上，分别是椭圆的左右焦点.过作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点的横坐标为，求与面积的比值；（3）若，求的值.【答案】（
15、1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据左顶点求出，根据点在椭圆上，求出，则可得椭圆的标准方程；（2）根据题意求出，两点的坐标，再求出两个三角形的面积后可得比值；（3）先建立直线的方程，与椭圆方程联立求出的坐标，然后建立直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，借助点在椭圆上，建立方程求解即可.【详解】（1）因为左顶点，所以，因为点在椭圆上，所以，得，所以椭圆的标准方程为.（2）因为点的横坐标为，所以由题意可得点的纵坐标为，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，代入，消去并整理得：，解得或，所以的横坐标为，则的纵坐标为，所以，所以与面积的比值为.（3）设直线的方程为，联立，消去并整理得，所
16、以，所以，所以，所以，若，则，因为，所以，所以与不垂直；所以，因为，所以直线的方程为，直线的方程为，由解得，所以，又点在椭圆上，所以，即，解得，因为，所以.【点睛】关键点点睛：通过建立直线方程与椭圆方程联立求出交点坐标是解题关键.20. 已知函数，（1）若时，直线是曲线的一条切线，求的值；（2）令.若，讨论在的最大值；若在区间上有零点，求的最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）求导可得，设切点，可得，即可求出的值，代入，可求得，即可得切点坐标，代入，即可求得b的值；（2）由题意得可得的解析式，令，解得，分别讨论当、三种情况的正负，可得的单调性，即可求得在的最大值；由可得的单调
17、性，根据零点存在性定理，构造不等式组，分析计算，即可得结果.【详解】（1），则，设切点，所以，解得，所以，即切点，又切点P在切线上，代入解得，（2），由，可得，所以，令，解得，当，即时，所以在为单调递增函数，所以；当，即时， 当时，为单调递减函数， 当时，为单调递增函数，所以，当时，可得，所以当时，；当时，可得，所以当时，当时，即时，在为单调递减函数，所以，综上：.由可得，当时，在为单调递增函数，所以，即，所以，所以；当时，在为单调递减函数，在为单调递增函数，所以或，即或，所以或所以，设，恒成立，所以在（1,2）上为单调递减函数，所以，所以在（1,2）上为单调递减函数，所以；当时，在为单调递减函数，所以，即，所以，所以，综上的最小值为.【点睛】解题的关键是熟练掌握导数的几何意义，并灵活应用，难点在于，讨论的单调性时，当时，在为单调递减函数，在为单调递增函数，求最大值，还需比较的大小，计算难度偏大，考查分析理解，计算求值的能力，属难题.
