1、天津市第四十二中学2020-2021学年高二数学上学期10月阶段性学情调查试题（含解析）一、选择题：1. 无论m为何值，直线恒过定点（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将直线方程变形为，从而可求得答案【详解】直线方程可变形为，即，所以直线恒过定点故选：B【点睛】此题考查直线恒过定点问题，解题的关键是对直线方程的变形，属于基础题2. 已知向量 ， ，分别是直线 、 的方向向量，若 ，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】， ，选D3. 已知点为线段上一点且，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设,根据C为线段上一点且，由求解
2、.【详解】设为线段上一点且，即.故选：C【点睛】本题主要考查空间向量的共线定理的应用，属于基础题.4. 已知，若，且平面，则实数、分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出【详解】，解得 平面， ，化为，解得，故选：B【点睛】本题考查了数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理，属于中档题5. 已知，则向量与之间的夹角为（ ）.A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】由，两边平方得到，然后再由，整理求解.【详解】因为，所以，两边平方得：，即，所以，因为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算以
3、及夹角的求法，属于基础题.6. 若两条平行直线与之间距离是，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】利用两条直线平行的性质求出，再利用两条平行线间的距离求出，从而可得的值.【详解】由题意直线与平行，则两条直线的斜率相等，即，又直线间的距离为，即，解得，所以.故选：A【点睛】本题考查了两条直线平行的性质、两条平行线间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.7. 已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（ ）A. 20B. 4C. 0D. 24【答案】B【解析】【分析】结合直线垂直关系，得到a的值，代入垂足坐标，得到c的值，代入直线方程，得出b的值，计算，即可【详解】直线的斜率为,
4、直线的斜率为,两直线垂直,可知，将垂足坐标代入直线方程，得到，代入直线方程，得到，所以，故选B【点睛】考查了直线垂直满足的条件，关键抓住直线垂直斜率之积为-1，计算，即可，难度中等8. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A B. 或C. D. 或【答案】D【解析】当直线过原点时，直线方程为y=x，即4x3y=0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a则3+4=a，得a=7直线方程为x+y7=0过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x3y=0或x+y7=0故选：D9. 已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析
5、】对于D：l1:y=ax+b,l2:y=bx-a.由l1可知a0,b0,对应l2也符合,10. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，设要求圆的圆心为C，其坐标为，分析可得要求圆的半径，且点与关于直线对称，列出方程组，求出a、b的值，即可得C的坐标，即可得出圆的标准方程.【详解】解：根据题意，设要求圆的圆心为C，其坐标为，圆的圆心为，半径，若要求圆与圆关于直线对称，则要求圆的半径且点与关于直线对称，则有，解得：，即要求圆的圆心为；则要求圆的方程为；故选：A.【点睛】本题考查利用待定系数法求圆的标准方程，还涉及点关于直线对称的问题，考查解题分
6、析和计算能力.11. “”是“为圆方程”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分析】根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项.【详解】方程表示圆需满足或，所以“”是“为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查圆的一般方程和充分条件与必要条件的判断，属于基础题.12. 下列命题正确的是（ ）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，三点不共线，为平面外一点，若，则，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和
7、数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D【详解】解：由|，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）（）（）0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，11cos120，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由121，可得P，A，B，C四点不共面，故 D错误故选B【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题二、填空题：13. 已知直线l的倾斜角是直线yx1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为_【答案】【解析】【分析】先
8、求出条件中所给的直线的倾斜角是，根据要求的直线的倾斜角是它的二倍，得到要求的直线的倾斜角是，即直线与横轴垂直，又知直线过的点，写出直线的方程【详解】直线的倾斜角是45，直线倾斜角是直线的两倍，要求直线的倾斜角是，直线过点，直线的方程是，故答案为【点睛】本题考查直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，考查两条直线的斜率的关系，考查过定点和已知直线的斜率的方程的写法，属于基础题14. 圆的圆心到直线的距离为，则_【答案】【解析】分析：将圆化为标准方程，求出圆心，根据点到直线距离公式可得结果.详解：的标准方程为，则圆心为，圆心到直线的距离为，解得，故答案为0.点睛：本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，
9、由圆的标准方程求圆心，以及得到直线距离公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.15. 圆心在直线上，且经过点、的圆的一般方程是_【答案】【解析】【分析】设圆的方程为，由已知条件建立方程组，解之可得答案.【详解】设圆的方程为，则圆心是，由题意知，解得所以所求圆的一般方程是故答案为：.【点睛】本题考查求圆的方程，运用待定系数法设圆的一般方程，建立方程组是一种常用的方法，属于基础题.16. 过点且与点、距离相等的直线方程是_.【答案】或【解析】【分析】分两种情况讨论：所求直线与直线平行；所求直线过线段的中点.由此可求得所求直线的方程.【详解】分以下两种情况讨论：所求直线与直线平行，
10、由于直线的斜率为，且所求直线过点，此时，所求直线方程为，即；所求直线过线段的中点，由于所求直线过点，此时，所求直线的方程为.综上所述，所求直线方程为或.故答案为：或.【点睛】本题考查到两点等距离的直线方程的求解，解题时要注意所求直线与平行和所求直线过线段的中点这两种情况进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.17. 已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_【答案】【解析】【分析】结合函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围，进而求出倾斜角的范围即可.【详解】解：如图所示：设直线过点时直线的斜率为，直线过点时直线的斜率为，则，所以要使直线与线段有公共点，则直线
11、的斜率的取值范围为：,所以倾斜角的取值范围.故答案为：.【点睛】本题考查了求直线的斜率问题，斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的思想，是一道基础题.三、解答题：18. 已知直线.（1）若直线的倾斜角为，求实数a的值；（2）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；（3）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据直线，得到，再根据斜率与倾斜角的关系求解.（2）根据直线，令得，再求解.（3）根据直线与直线平行，则有求解，然后根据两平行直线间的距离公式求解.【详解】（1）因为直线，所以，又因为直线的倾斜角为，所以，解得.（2）因为直线，令得，解得
12、.（3）因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线，两平行直线与之间的距离 .【点睛】本题主要考查正弦得倾斜角，斜率，截距以及两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，用向量，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【详解】（1），因为，同理可得，所以（2）因为，所以，因为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了利用空间向量计算线段的长度，考
13、查了异面直线所成角的向量求法，属于中档题.20. 如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，为棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值；（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过可证得结论；（2）根据二面角的空间向量求法可求得结果；（3）利用共线向量和向量线性运算表示出，根据直线与平面所成角的空间向量求法可构造方程求得，从而得到，求解的模长即为所求结果.【详解】（1）以为原点可建立如下图所示空间直角坐标系则， （2）由（1）知：，平面，平面 又，平面， 平面平面的一个法向量为设平面的法向量则，令，则， 二面角的正弦值为（3）由（1）知：，设， 平面，平面 又，平面， 平面平面的一个法向量为设为直线与平面所成角则，解得：则 ，即的长为【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何中的垂直关系证明、二面角的求解、根据线面角求解其他量的问题；考查学生对于空间向量法的掌握情况，属于常考题型.
