1、 专题九平面解析几何9.5 圆锥曲线的综合问题综合篇考法 一 求轨迹方程1.求轨迹方程的基本步骤)建立适当的平面直角坐标系设轨迹上任一点的坐标为()列出动点所满足的几何等量关系式)选用合适的公式表示几何等量关系)化简整理等量关系式得到一个方程)证明所得方程为所求曲线的轨迹方程.通常将步骤简记为:建系设点、列式、代换、化简、检验.2.求轨迹方程的基本方法)直接法:直译法、待定系数法、几何法、定义法)间接法:相关点法、参数法、交轨法.例 1(课 标 分)已 知 点()()动点()满足直线 与 的斜率之积为 .记 的轨迹为曲线.()求 的方程并说明 是什么曲线()过坐标原点的直线交 于 两点点 在第
2、一象限 轴垂足为 连接 并延长交 于点.()证明:是直角三角形()求 面积的最大值.解析()由题设得 化简得 ()所以 为中心在坐标原点焦点在 轴上的椭圆不含左、右顶点.()()证明:设直线 的斜率为 则其方程为 ().由 得 .记 则()()().于是直线 的 斜 率 为 方 程 为 ().由 ()得().设()则 和 是方程的解故()由此得 .从而直线 的斜率为().所以 即 是直角三角形.()由()得 所以 的面积 ()()().设 则由 得 当且仅当 时取等号.因为在)单调递减所以当 即 时 取得最大值最大值为.因此 面积的最大值为.考法 二 定值与定点问题 定值问题的解决思路是“变量
3、函数定值”定点问题的解决分为“特殊一般”法和“直接推理、计算”法.例 2(济南二模)已知椭圆:5年高考3年模拟A版高考数学()的离心率为 且经过点().()求椭圆 的方程()过点()的直线与椭圆 相交于 两点直线 分别交 轴于 两点点()若 求证:为定值.解析()由题意知 则 又椭圆 经过点()所以 .联立解得 所以椭圆 的方程为 .()证明:显然直线 的斜率不为 设直线 的方程为 ()()由 消 得()所以 ()由题意知 均不为.设()()由 三点共线知与共线所 以 ()化 简 得.同理由 三点共线可得 .由 得()()即 由 得()()即 .所以 ()()所以 为定值.考法 三 最值与范围
4、问题1.几何法:利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解.2.代数法:把要求最值、范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)然后利用函数法、不等式法等进行求解.例 3(全国乙理 分)已知抛物线:()的焦点为 且 与圆:()上点的距离的最小值为.()求()若点 在 上 是 的两条切线 是切点求 面积的最大值.解析()由题意知抛物线的焦点 的坐标为 又因为点 到圆()上点的距离的最小值为 所以 即 解得 .()由()知抛物线:设()()其中 .由 得 所以在点 处的切线斜率为 切线方程为 ()即 同理在点 处的切线方程为 .易知两切线交于点 专题九平面解析几何
5、设()所以有 即 由此可知()()是直线 上的两个点即直线 的方程为 由 得 则 易知 即 所 以 ()而点()到直线 的距离 .所以 ()因为点 在 上所以()所以 .所以 ()()由题意易知 所以当 时 取得最大值 最 大 值 为 .即 面积的最大值为 .考法 四 存在性问题解决存在性问题的常用方法1.肯定顺推法:将不确定的问题明朗化.其步骤为首先假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在然后利用这些条件并结合题目中的已知条件进行推理计算若不出现矛盾并且得到相应的几何元素或参数值则元素(点、直线、曲线或参数)存在否则元素(点、直线、曲线或参数)不存在.2.反证法和验证法也是求解存在性问
6、题的常用方法.例 4(山东枣庄二调)在平面直角坐标系 中动点 到点()的距离比到直线 的距离小.()求 的轨迹方程()设动点 的轨迹为曲线 过点 作斜率为 的两条直线分别交 于 两点和 两点其中 .设线段 和 的中点分别为 过点 作 垂足为.试问:是否存在定点 使得线段 的长度为定值?若存在求出点 的坐标及定值若不存在说明理由.解析()由动点 到点()的距离比到直线 的距离小 得动点 到点()的距离与到直线 的距离相等故动点 的轨迹是以()为焦点以直线 为准线的抛物线设抛物线方程为 ()则 故 的轨迹方程为 .()由题意知直线 的方程为 ()由 ()消去 得()()设()()则 则 ()()故 同理可求得 所以 故直线 的方程为 ()5年高考3年模拟A版高考数学()故直线 过定点()设该点为()又因为 所以点 在以 为直径的圆上因为()()所以 ()()故以 为直径的圆的方程为()()故存在定点()使得线段 的长度为定值.
