1、广东省湛江市第二十一中学2019-2020学年高二数学下学期复学考试（线上测试）试题（含解析）第卷（选择题）一选择题（共12小题）1.已知集合，集合，那么等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合，根据并集定义可求得结果.【详解】且，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.2.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据使函数有意义列出不等式组，解得即可;【详解】解：函数的定义域应满足，解得即故选：【点睛】本题考查函数定义域的求法，属于基础题3.已知函数且）是增函数，那么函数的图象大
2、致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的性质，可得，再结合对数函数的图象与性质，以及复合函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数且）是增函数，可得，又由函数满足，解得，排除C、D项，又由函数，根据复合函数的单调性，可得函数为单调递减函数.故选：B.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数、对数函数的图象与性质，结合复合函数的单调性进行求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.4.若直线平分圆，则的值为（ ）A. 1B. 1C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】将圆的
3、圆心代入直线方程即可.【详解】解：因为直线平分圆，又圆的标准方程为，所以直线经过圆心，所以，故选A【点睛】本题考查直线和圆的位置问题，是基础题5.如图，四边形 ABCD 中，E为线段 AC 上的一点，若，则实数 的值等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三点共线,设,用,作基底表示出,利用平面向量的基本定理列方程组,解方程组求得的值.【详解】因为三点共线,设,因为,所以,解得.故选:A【点睛】本题考查平面向量的线性运算,考查几何图形中的向量运算,还考查了平面向量的基本定理,属于基础题.6.已知角为第三象限角，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对
4、两边平方得出，再得出，由，即可得出答案.【详解】 因为角为第三象限角，所以 即 故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于中档题.7.设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】分别求解和，观察解集的关系即可得出结果.【详解】解：等价于，即；的解为，解集相等，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.8.已知椭圆，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且ABCD，两垂线
5、相交于点P，则点P的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 抛物线【答案】B【解析】【分析】首先根据，设出点坐标，再根据点在椭圆上，代入椭圆方程，求出点轨迹方程即可.【详解】由题知，故设，所以，又因为，消去t可得：，可知点轨迹为双曲线.故选：B.【点睛】本题主要考查了判断点的轨迹方程，属于基础题.9.中，内角，的对边分别是，.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由有,再由正弦定理有,即,可解出答案.【详解】由有,由正弦定理有, 又即.所以.因为为的内角，则.故选：D【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.10.在空间直角坐标系中，以，为顶点三角形是等腰三
6、角形，其中，则m的值为（ ）A. 4B. 4C. 6或4D. 6或4【答案】B【解析】【分析】根据两点间距离公式分别求出以AB为底边，以AC为底边，以BC为底边的等腰三角形中两条腰的长，并求出满足两条腰相等的解即可.【详解】解：以，为顶点的，设是以AB为底边的等腰三角形，有，整理得，方程无解；设是以AC为底边的等腰三角形，有，整理得，方程无解；设是以BC为底边的等腰三角形，解得m4.故选：B.【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，属于基础题.11.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列，若，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）A. 12，13B. 13，13
7、C. 13，12D. 12，14【答案】B【解析】【分析】首先根据，成等比数列求出数列的首项，然后即可求出样本的平均数和中位数.【详解】解：依题意，解得，故是首项，公差的等差数列，所以此样本的平均数为，中位数为故选：B【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，中位数，平均数，属于基础题.12.函数（其中， ）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】根据图像有,得到函数的最小正周期，根据周期公式可求出，然后求出和的解析式，再根据相位变换得到答案.【详解】根据图像有,所
8、以,则.不妨取，又有，得,又.所以，即，所以由向右平移个单位长度可得的图像.故选：B【点睛】本题考查三角函数的图像性质，根据图像求解析式，三角函数的图像变换，属于中档题.第卷（非选择题）二填空题（共4小题）13.抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为_【答案】 【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线距离公式求解【详解】抛物线的焦点坐标为：，双曲线的一条渐近线方程为：，即：，则点到直线距离：【点睛】本题主要考查了抛物线及双曲线的简单性质，考查了点到直线的距离公式，属于基础题14.如图，在四边形中，则的值为_【答案】-6【解析】【分析】首先分解与为共起点的向量和
9、，再根据向量数量积的计算公式求解即可.【详解】解：如图，且，.故答案为：-6.【点睛】本题主要考查了向量数量积的计算，平面向量的分解，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中，点P，Q分别为圆和圆（其中）上的两个动点，则PQ的最小值为_【答案】【解析】【分析】首先根据两圆的方程分别求出圆心和半径，再根据圆心的坐标求出圆心距，利用圆心距与两圆的半径即可求出PQ的最小值.【详解】解：圆，圆心，半径，圆，圆心，半径，.故答案为：.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程中圆心与半径，两点间距离公式，属于基础题.16.已知x与y之间的一组数据：x0123y1247且y与x的线性回归方程为，则当x4时，_【
10、答案】8.5【解析】【分析】首先根据表中数据求出样本中心坐标，再根据样本中心坐标求出线性回归方程，最后代入x4即可求出【详解】解：，则样本点的中心的坐标为，代入，得，线性回归方程为，取x4，得.故答案为：8.5.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题.三解答题（共6小题，满分70分）17.已知函数.（）若，且，求的值；（）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间.【答案】（）（）最小正周期. .【解析】【分析】（）根据以及的范围，得到，代入到中，得到答案；（）对进行整理化简，得到，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间.【详解】解：（）因为，且，所以 .所以 . （）
11、 所以函数最小正周期. 由， 解得. 所以函数的单调递减区间.【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于简单题.18.为等差数列的前n项和，1，9（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先根据1，9求出公差，即可写出数列的通项公式；（2）首先写出数列的通项公式，再根据数列的通项公式求出即可.【详解】解：（1）等差数列的公差设为d，由1，9，可得，解得，则；（2），可知数列是首项，公差的等差数列，则前n项和【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求解，等差数列的
12、前项和，属于基础题.19.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）x22x（1）求f（0）及f（f（1）的值；（2）求函数f（x）的解析式；（3）若关于x的方程f（x）m0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，【答案】（1）f（0）0，f（1）1（2）（3）（1，0）【解析】【分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f（f（1）的值；（2）设x0，则x0，由函数的解析式分析f（x）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（3）若方程f（x）m0有四个不同的实数解，则函数yf（x）与直线ym
13、有4个交点，作出函数f（x）的图象，由数形结合法分析即可得答案【详解】（1）根据题意，当x0时，f（x）x22x；则f（0）0，f（1）121，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）f（1）1，则f（f（1）f（1）1；（2）设x0，则x0，则有f（x）（x）22（x）x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）f（x）x2+2x，则当x0时，f（x）x2+2x，（3）若方程f（x）m0有四个不同的实数解，则函数yf（x）与直线ym有4个交点，而yf（x）的图象如图：分析可得1m0；故m的取值范围是（1，0）【点睛】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数
14、形结合法分析与应用，是中档题20.如图，在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四棱锥PABCD的所有棱长均为6，底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD，BC平行于x轴，AB，CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上，点M，N分别在线段PA，BD上，且（1）求直线MN与PC所成角的大小；（2）求锐二面角APND的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，然后求出M，N，P，C点坐标，根据点坐标即可求出直线MN与PC所成角的大小；（2）首先求出平面APN与平面PND的法向量，根据二面角公式即可求出二面角APND的余弦值.【详解】解：（1）如图，已知正四棱锥PABCD的
15、所有棱长均为6，设，由，得，即，所以，由，得，故，所，所以，所以直线MN与PC所成的角为；（2）因为AC平面PBD，设平面PBD的法向量，设平面PAN的法向量为，由，得，故，所以，故锐二面角APND的余弦值为【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解几何体中线线角与面面角，属于一般题.21.某颜料公司生产A，B两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果A产品的利润为300元/吨，B产品的利润为200元/吨，设公司计划一天内安排生产A产
16、品x吨，B产品y吨（I）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中画出相应的平面区域；（II）该公司每天需生产A，B产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少?【答案】（）见解析（）该公司每天需生产甲产品40吨，乙产品10吨可获得最大利润，最大利润为14000元【解析】分析：（）由题意得到变量x，y满足的条件即可得到所求，然后在坐标系内画出图形即可（）由题意的利润z=300x+200y，然后据线性规划的有关知识解题可得所求详解：（I）设该公司一天安排生产甲产品x吨，乙产品y吨，则x，y满足条件的数学关系式为 画出该二元一次不等式组表示的平面区域(可行域)如下图所示（II）设利润为z元
17、，由题意得z=300x+200y， 可得，平移直线，结合图形可得当直线经过可行域上的点A时，截距最大，此时z页最大解方程组得，即 =300x+200y=14000 答：该公司每天需生产甲产品40吨，乙产品10吨时可获得最大利润，且最大利润为14000元【名师点睛】解线性规划应用题的步骤（1）转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；（2）求解解这个纯数学的线性规划问题；（3）作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案22.已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于，两点，点满足，点，若直线斜率为，求面积的最大值及此时直线的方程
18、.【答案】（1）（2），直线的方程为【解析】【分析】(1)有题意有可求解.(2)先讨论特特殊情况, 是否为原点，然后当的斜率存在时, 设的斜率为,表示出的长度，进一步表示出的面积,然后求最值.【详解】解：（1）由题设知 ，椭圆的方程为：（2）法一： 为的中点又1）当为坐标原点时当斜率不存在时，此时、为短轴的两个端点当的斜率存在时，设的斜率为设，则，代入椭圆方程整理得：，到的距离解一：令 令或 函数在单调递增，单调递减，单调递增时，为的极大值点，也是最大值点 直线方程为解二：设，则要得的最大值 ， 当，时，即，时等号成立，直线方程为2）当不为原点时，由，三点共线，设，的斜率为，在椭圆上，得，即 设直线代入椭圆方程，整理得，到直线的距离令，令，在上单调递增，在上单调递减，此时直线综上所述：，直线的方程为解二：设，为的中点，在椭圆上当直线的斜率不存在时，设则， 所以，则，为短轴上的两个端点当直线的斜率存在时，设，消去得 , ， 由得或下同解法一【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值，利用导数讨论单调性求最值的方法，考查运算能力，属于难题.
