1、3三个正数的算术几何平均不等式 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练 3三个正数的算术几何平均不等式 学习目标 学习目标 1.掌握理解三个正数的算术几何平均不等式定理，并掌握等式成立的条件；2会利用公式求函数的最值，证明不等式课前自主学案 1如果 a、b、cR，那么 a3b3c3_3abc，当且仅当 abc 时，等号成立2如果 a、b、cR，那么abc3_3 abc，当且仅当 abc 时，等号成立3 如 果 a1，a2，an R ，那 么a1a2ann_n a1a2an，当且仅当 a1a2an 时，等号成立思考感悟使用平均不等式求最值应注意什么？提示：(1)各项均为正数；(2)积与和中有一
2、者为定值；(3)等号能够取到课堂互动讲练 利用公式证明不等式 考点突破 若 a，b，cR，求证：abc33 abcab2 ab.例1【思路点拨】可作差消去 ab 后，实际证明 c2 ab33 abc(联想公式)【证明】(abc33 abc)(ab2 ab)c2 ab33 abcc ab ab33 abc33 c ab ab33 abc33 abc33 abc0，原不等式成立【名师点评】为了用三个正数的公式，要构造适合公式的形式变式训练 1 已知 a0，b0，c0 且满足 abc1，求证：4a1 4b1 4c10，4a11，4a14a114a1122a1.同理可得：4b14b1122b1，4c1
3、4c1122c1.又abc1.4a14b14c12(abc)35.即 4a1 4b1 4c10，求 y4x21x的最小值例3【思路点拨】为使其积为定值，即把 x2约掉，须把1x拆开为 12x 12x.【解】x0.y4x21x4x2 12x 12x3 34x2 12x 12x3.当且仅当 4x2 12x(x0)即 x12时，取“”，当 x12时 y4x21x(x0)的最小值为 3.【名师点评】“拆分”要求做到“平分”变式训练 3 当 x0 时，求 y3x 1x2的最小值解：x0，y3x 1x232x32x 1x233 32x32x 1x23 3 94，当且仅当32x 1x2，即 x3 23时取“
4、”，当 x3 23时，ymin3 3 94.当 x0 时，求 yx23x的最小值例【错解】yx23xx21x2x33x21x2x33 2.误区警示【错因】要使 y33 2，必须有 x21x2x，这时无解3x的拆项出错，使不等式不能取到“”【自我校正】x0，yx23xx2 32x 32x33x2 32x 32x33 94.当且仅当 x2 32x，即 x3 32时，ymin33 94.方法感悟 1公式ab2 ab，abc33 abc都是a1a2a3ann n a1a2a3an的特例其使用条件都是“R”中，“”成立条件都是“每个数都相等”2利用上述公式求最值时要注意三点：(1)函数式中各项(必要时还要考虑常数项)必须都是正数，若不是正数，必须变为正数(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，才能利用“定理”求出最值(3)必须取到“”号，若取不到等号，必须经过适当的变形，使之取到等号
