1、第2课时 用空间向量研究夹角问题A级基础巩固1.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略).设AB=1,则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),所以A1B=(0,1,-2),AD1=(-1,0,2),cos=A1BAD1|A1B|AD1|=-455=-45,所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45.答案:D2.若平面的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一
2、个方向向量a=(-2,-3,3),则l与所成角的余弦值为()A.-1111B.1111C.-11011D.91333解析:设与l所成的角为,则sin =|cos|=|(-2,-3,3)(4,1,1)|4+9+916+1+1=-82218=41133,故直线l与所成角的余弦值为1-411332=91333.答案:D3.如图,正方形ABCD所在平面外一点P,PA平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为()A.30B.45C.60D.90解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以AD=(0,1,0).取PD中
3、点为E,则E0,12,12.所以AE=0,12,12.易知AD是平面PAB的一个法向量,AE是平面PCD的一个法向量,所以cos =ADAE|AD|AE|=22,所以平面PAB与平面PCD的夹角为45.答案:B4.如图所示,在四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2.(1)求证:AO平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.(1)证明:如图,连接OC.由题意,知BO=DO,AB=AD,所以AOBD.因为BO=DO,BC=CD,所以COBD.在AOC中,由已知可得AO=1,CO=3,因为CA=2,所以AO2+CO2=CA2,所以AOC=90,即AO
4、CO.因为BDCO=O,所以AO平面BCD.(2)解:如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0, 3,0),A(0,0,1),所以BA=(-1,0,1),CD=(-1,-3,0),所以cos=BACD|BA|CD|=24.所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为24.5.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,点E在棱PB上.(1)求证:平面AEC平面PDB;(2)当PD=2AB,且E为PB的中点时,求直线AE与平面PDB所成角的大小.(1)证明:如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,设AB=a,PD=h,则A(a,0,0),B(
5、a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),P(0,0,h).所以AC=(-a,a,0),DP=(0,0,h),DB=(a,a,0),所以ACDP=0,ACDB=0,所以ACDP,ACDB.因为DPDB=D,所以AC平面PDB.又因为AC平面AEC,所以平面AEC平面PDB.(2)解:当PD=2AB,且E为PB的中点时,P(0,0,2a),E12a,12a,22a,O12a,12a,0.如图,连接OE,由(1)知AC平面PDB于点O,所以AEO为直线AE与平面PDB所成的角.因为EA=12a,-12a,-22a,EO=0,0,-22a,所以cosAEO=EAEO|EA|EO|=22,所以
6、AEO=45,即直线AE与平面PDB所成角的大小为45.B级拓展提高6.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A.60B.90C.45D.以上都不对解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以A1E=(0,1,-1),D1E=(1,1,-1),EA=(0,-1,-1).设平面A1ED1的法向量为n=(x,y,z),则nA1E=0,nD1E=0,得y-
7、z=0,x+y-z=0.令z=1,得y=1,x=0,所以n=(0,1,1)是平面A1ED1的一个法向量.因为cos=nEA|n|EA|=-222=-1.所以=180.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90.答案:B7.如图,在空间直角坐标系Dxyz中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体,AA1=AB=2AD,E为C1D1的中点,则平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为() A.-33B.-32C.33D.32解析:设AD=1,则A1(1,0,2),B(1,2,0).因为E为C1D1的中点,所以E(0,1,2),所以A1E=(-1,1,0),A1B=(0,2,-2).设m=(x,y
8、,z)是平面A1BE的法向量,则A1Em=0,A1Bm=0,所以-x+y=0,2y-2z=0,所以x=y,z=y.取y=1,则x=1,z=1,所以平面A1BE的一个法向量为m=(1,1,1).由题意可知,DA平面A1B1B,所以DA=(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量,所以cos=mDA|m|DA|=13=33.所以平面A1B1B与平面A1BE的夹角的余弦值为33,故选C.答案:C8.在空间直角坐标系中,若A(1,-2,0),B(2,1,6),则向量AB与平面Oxz的法向量的夹角的正弦值为74.解析:设平面Oxz的法向量为n=(0,t,0)(t0).由题意知AB=(1,3, 6),所以
9、cos=nAB|n|AB|=3t4|t|.因为0,所以sin=1-3t4|t|2=74.9.如图,已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,若B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC的夹角的正切值等于23.解析:如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E1,1,13,F0,1,23,所以AE=0,1,13,EF=-1,0,13.由题意,知平面ABC的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面AEF的法向量为n2=(x,y,z),则n2AE=0,n2EF=0,即y+13z=0,-x+13z=0.取z=3,则x=1,y=-1.故
10、n2=(1,-1,3)是平面AEF的一个法向量.所以cos=n1n2|n1|n2|=31111.所以平面AEF与平面ABC的夹角满足cos =31111,sin =2211,所以tan =23.10.如图,已知矩形ABCD与ABEF全等,D-AB-E为直二面角,M为AB的中点,直线FM与BD所成的角为,若cos =39,则线段AB与BC的长度之比为22.解析:设AB=a,BC=b,以A为坐标原点,AF,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则F(b,0,0),M0,a2,0,B(0,a,0),D(0,0,b).所以FM=-b,a2,0,BD=(0,-a,b),
11、所以|FM|=b2+a24,|BD|=a2+b2,FMBD=-a22.因为|cos|=-a22b2+a24a2+b2=39,整理,得4b4a4+5b2a2-26=0,解得b2a2=2或b2a2=-134(舍去),所以ABBC=ab=22.11.如图,在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=12AD.(1)求异面直线BF与DE所成角的大小;(2)证明:平面AMD平面CDE;(3)求平面ACD与平面CDE的夹角的余弦值.(1)解:如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设AB=1
12、,依题意得B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),M12,1,12,A(0,0,0).则BF=(-1,0,1),DE=(0,-1,1),所以cos=BFDE|BF|DE|=0+0+122=12.所以异面直线BF与DE所成角的大小为60.(2)证明:易知AM=12,1,12,CE=(-1,0,1),AD=(0,2,0),所以CEAM=0,CEAD=0.所以CEAM,CEAD.又因为AMAD=A,AM平面AMD,AD平面AMD,所以CE平面AMD.又因为CE平面CDE,所以平面AMD平面CDE.(3)解:设平面CDE的法向量为u=(x,y,z),则
13、uCE=0,uDE=0,即-x+z=0,-y+z=0,令z=1,则x=1,y=1,所以u=(1,1,1)是平面CDE的一个法向量.又由题意,知平面ACD的一个法向量为v=(0,0,1).所以cos=uv|u|v|=0+0+131=33.所以平面ACD与平面CDE的夹角的余弦值为33.C级挑战创新12.多空题如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.异面直线AB与A1C所成角的大小为2;若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB=2,则直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105.解析:如图,取AB中点O,连接CO,A1B,A1O.因为AB=AA1,BA
14、A1=60,所以BAA1是正三角形,所以A1OAB.因为CA=CB,所以COAB.因为COA1O=O,所以AB平面COA1,所以ABA1C.所以异面直线AB与A1C所成角的度数为2.由上可知,OCAB,OA1AB,因为平面ABC平面AA1B1B,平面ABC平面AA1B1B=AB,所以OC平面AA1B1B,所以OCOA1,所以OA,OC,OA1两两相互垂直.如图,以O为坐标原点,OA,OA1,OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.由题设知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),则BC=(1,0,3),BB1=AA1=(-1,3,0),A1C=
15、(0,-3,3).设n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,则nBC=0,nBB1=0,即x+3z=0,-x+3y=0,令x=3,得y=1,z=-1.所以平面BB1C1C的一个法向量是n=(3,1,-1),所以cos=nA1C|n|A1C|=-105,所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105.13.开放性问题如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=23,E为PB的中点,.试证明四边形ABCD是直角梯形,并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.从下列两个条件中选一个,补充在上面问题中,并完成解答.CDBC;BC平面PAD.解:选择
16、条件.因为PA平面ABCD,所以PAAD,PACD.因为PA=AD=CD=2,所以PD=22.又因为PC=23,所以CD2+PD2=PC2,得CDPD.因为PAPD=P,所以CD平面PAD,则CDAD.又因为CDBC,所以ADBC.所以四边形ABCD是直角梯形.如图,过点A作AD的垂线,交BC于点M.因为PA平面ABCD,所以PAAM,PAAD.如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1,0).所以PC=(2,2,-2),PD=(0,2,-2).因为E为PB的中点,所以E1,-12,1.所以AE=1,-12,1.设平面PCD
17、的法向量为n=(x,y,z),则nPC=2x+2y-2z=0,nPD=2y-2z=0,令y=1,得n=(0,1,1).设直线AE与平面PCD所成的角为,所以sin =|cos|=-121+11232=26.所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为26.选择条件.因为PA平面ABCD,所以PAAD,PACD.因为PA=AD=CD=2,所以PD=22.因为PC=23,所以CD2+PD2=PC2,得CDPD.因为PAPD=P,所以CD平面PAD,则CDAD.因为BC平面PAD,BC平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以BCAD,则四边形ABCD是直角梯形.求直线AE与平面PCD所成角的正弦值同.
