1、广东省湛江市2020-2021学年高二数学上学期期末调研考试试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1设集合Ax|（x7）（x+12）0，Bx|x+60，则AB（）Ax|6x12Bx|6x7Cx|x12Dx|6x72“四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3双曲线x24y28的渐近线方程为（）Ay2xBCD4“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自庄子天下篇，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，第五天被截取剩下的
2、一半剩下a5尺，则（）A18B20C22D245已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为（）Ay24xBy23xCx26yDy8x26如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点，若O为底面A1B1C1D1的中心，则异面直线C1E与AO所成角的余弦值为（）ABCD7P为椭圆上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（）A（x+2）2+y234B（x+2）2+y268C（x2）2+y234D（x2）2+y2688如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分
3、钟后，到达B处，此时测得俯角为45已知小车的速度是20km/h，且，则此山的高PO（）A1kmBCD二、选择题（共4小题）.9设命题p：nN，6n+7为质数，则（）Ap为假命题Bp：nN，6n+7不是质数Cp为真命题Dp：nN，6n+7不是质数10设Sn是等差数列an的前n项和，且a12，a38，则（）Aa512B公差d3CS2nn（6n+1）D数列的前n项和为11已知ab0，且a+3b1，则（）Aab的最大值为Bab的最小值为C的最小值为16Da2+15b2的最小值为12已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P为上一点，且P不在坐标轴上，直线AP与直线y3交于点C，直线BP与直线y3交于点D设
4、直线AP的斜率为k，则满足|CD|36的k的值可能为（）A1BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13设向量，则实数m 14若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的离心率为 15在ABC中，若，AC2，则AB 16已知点P（m，n）是抛物线x28y上一动点，则的最小值为 四、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知，sinC2sinB（1）求cosA；（2）若ABC的周长为，求ABC的面积18如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACAA12BC，E，F分别为侧棱BB
5、1，CC1中点（1）证明：BF平面A1C1E（2）求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值19已知数列an的首项为4（1）若数列是等差数列，且公差为2，求an的通项公式（2）在a3a248且a20，a364且a40，a202116a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答问题，若an是等比数列，_，求数列（3n1）an的前n项和Sn20如图，平面ABCDE平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且ABBC，AC4（1）证明：ADCF（2）求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值21已知抛物线C：y22px（p0）与双曲线有相同的焦点F（1）求C
6、的方程，并求其准线l的方程；（2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），直线OA与准线l交于点N过点A作l的垂线，垂足为M证明：y1y2为定值，且四边形AMNB为梯形22已知椭圆的离心率为，且焦距为8（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求AOB面积的最大值参考答案一、选择题（共8小题）.1设集合Ax|（x7）（x+12）0，Bx|x+60，则AB（）Ax|6x12Bx|6x7Cx|x12Dx|6x7解：Ax|12x7，Bx|x6，ABx|6x7故选：B2“四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相
7、垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：当四边形ABCD是菱形时，根据菱形的性质可知，对角线互相垂直，当四边形ABCD的对角线互相垂直时，四边形不一定是菱形，比如可以是梯形，故“四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的充分不必要条件故选：A3双曲线x24y28的渐近线方程为（）Ay2xBCD解：根据题意，双曲线的方程为：x24y28，变形可得，则其焦点在y轴上，且a，b2，则其渐近线方程为：y2x，故选：A4“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自庄子天下篇，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”设第一天这根木棰
8、被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则（）A18B20C22D24解：设这根木棰的长度为1尺，第一天这根木棰被截取一半为，剩下a11尺，第二天被截取剩下的一半为，剩下a2尺，第三天被截取剩下的一半，剩下a3尺，第四天被截取剩下的一半，剩下a4尺，第五天被截取剩下的一半，剩下a5尺，则24，故选：D5已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为（）Ay24xBy23xCx26yDy8x2解：抛物线C的焦点到准线的距离大于2，可得p2，y24x中p2，所以A不正确；y23x中p，所以B不正确；x26y中p3，所以C正确；y8x2，即x
9、2y，所以p，所以D不正确；故选：C6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点，若O为底面A1B1C1D1的中心，则异面直线C1E与AO所成角的余弦值为（）ABCD解：如图所示，建立空间直角坐标系.不妨设AB2，则A（2，0，0），O（1，1，2），E（2，2，1），C1（0，2，2），（1，1，2），（2，0，1），cos，异面直线C1E与AO所成角的余弦值为故选：D7P为椭圆上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（）A（x+2）2+y234B（x+2）2+y268C（x2）2+y234D（x2）2+y268解：由
10、已知椭圆的方程可得：a217，b213，则a，由椭圆的定义可得|PF，又因为|PQ|PF2|，所以|PF，所以|QF，所以点Q的轨迹是以F1（2，0）为圆心，2为半径的圆，所以点Q的轨迹方程为：（x+2）2+y268，故选：B8如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45已知小车的速度是20km/h，且，则此山的高PO（）A1kmBCD解：设OPx，由题意可得：RtOBP中，PBO45，OBOPx在RtOAP中，PAO30，OAxtan60x又AB202.5，在OAB中，由余弦定理可得：，解得x1故选：
11、A二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9设命题p：nN，6n+7为质数，则（）Ap为假命题Bp：nN，6n+7不是质数Cp为真命题Dp：nN，6n+7不是质数解：命题p：nN，6n+7为质数，当n3时，63+725不是质数，故命题p为假命题，p：nN，6n+7不是质数，所以p为真命题故选：BC10设Sn是等差数列an的前n项和，且a12，a38，则（）Aa512B公差d3CS2nn（6n+1）D数列的前n项和为解：由题意，设等差数列an的公差为d，则d3，故选项B正确，a52+3（51）14，
12、故选项A不正确，S2n2n2+3n（6n+1），选项C正确，an2+3（n1）3n1，（），数列的前n项和为+（）+（）+（）（+）（），选项D正确故选：BCD11已知ab0，且a+3b1，则（）Aab的最大值为Bab的最小值为C的最小值为16Da2+15b2的最小值为解：对于A，B：ab0，且a+3b1，1a+3b2，故，0ab，故A正确，B错误；对于C：ab0，且a+3b1，+（+）（a+3b）10+3（+）10+3216，当且仅当ab时“”成立，故C正确；对于D：a2+15b2a2+15a2a+，当且仅当a时“”成立，故D正确；故选：ACD12已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P为上一
13、点，且P不在坐标轴上，直线AP与直线y3交于点C，直线BP与直线y3交于点D设直线AP的斜率为k，则满足|CD|36的k的值可能为（）A1BCD解：由椭圆的方程可得A（3，0），B（3，0），设P（x0，y0），则k，因为kPAk，所以k，又直线PA的方程为yk（x+3），则令y3，得x，直线PB的方程为y，令y3，得xD27k+3，所以|CD|27k+|36，整理可得：9k2+14k+10或9k210k+10，解得k或1或，故选：AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13设向量，则实数m6解：向量，m+2+40，解得m6，故答案为：614若双曲线的虚轴
14、长为，则该双曲线的离心率为2解：双曲线的虚轴长为，可得b3，a，所以c2，所以双曲线的离心率为：e2，故答案为：215在ABC中，若，AC2，则AB解：因为，可得cosC，又sin2C+cos2C1，所以，因为，AC2，由正弦定理得，可得故答案为：16已知点P（m，n）是抛物线x28y上一动点，则的最小值为3解：抛物线的准线为y2，焦点F坐标为（0，2），所以+，表示点P（m，n）与点F（0，2）的距离与点P（m，n）与点A（2，1）的距离之和，所以的最小值为线段AB长度，又|AB|min为点A到准线y2的距离，即|AB|min3，故答案为：3四、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出文字
15、说期、证时过程或演算步骤17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知，sinC2sinB（1）求cosA；（2）若ABC的周长为，求ABC的面积解：（1）因为，所以（2）因为sinC2sinB，所以c2b由余弦定理得，则因为ABC的周长为，所以，解得b2所以ABC的面积为18如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACAA12BC，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点（1）证明：BF平面A1C1E（2）求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值解：（1）证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点BEC1F，四边形BEC1F是平行四边形，BFEC1，BF
16、平面A1C1E，EC1平面A1C1E，BF平面A1C1E（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACAA12BC，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设ACAA12BC2，则B1（0，1，2），C（0，0，0），A1（2，0，2），C1（0，0，2），E（0，1，1），（0，1，2），（2，0，0），（0，1，1），设平面A1C1E的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，1），设B1C与平面A1C1E所成角为，则sinB1C与平面A1C1E所成角的正弦值为19已知数列an的首项为4（1）若数列是等差数列，且公差
17、为2，求an的通项公式（2）在a3a248且a20，a364且a40，a202116a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答问题，若an是等比数列，_，求数列（3n1）an的前n项和Sn解：（1）数列是等差数列，且公差为2，首项为4，所以，整理得（2）选：a3a248且a20，an是等比数列，设公比为q，由于首项为4，则由a3a248，得q4，所以，选：由于首项为4，且a364，an是等比数列，所以q4，且a40，所以，选：由于数列，an的首项为4，且满足a202116a2a2017，解得q4，所以，设，则，所以4，得3，所以20如图，平面ABCDE平面CEFG，四边形CE
18、FG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且ABBC，AC4（1）证明：ADCF（2）求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值解：（1）证明：四边形ACDE为正方形，ADCE，平面ABCDE平面CEFG，平面ABCDE平面CEFGCE，AD平面FECG又CF平面FECG，ADCF；（2）四边形CEFG为正方形，CGCE，平面ABCDE平面CEFG，平面ABCDE平面CEFGCE，CG平面ABCDE故EA，ED，EF两两垂直，所以以E为原点建立空间直角坐标系，ABBC，AC4，B到AC的距离为1B（5，2，0），F（0，0，4），G（4，4，4），则，设面BFG的法向量为，由，可得（4，
19、4，3）又平面ABCDE的法向量为，cos平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值为21已知抛物线C：y22px（p0）与双曲线有相同的焦点F（1）求C的方程，并求其准线l的方程；（2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），直线OA与准线l交于点N过点A作l的垂线，垂足为M证明：y1y2为定值，且四边形AMNB为梯形解：（1）因为双曲线的右焦点为（2，0），所以F（2，0），则，即p4，故C的方程为y28x，其准线l的方程为x2（2）证明：由题意可知，直线AB过点F且斜率存在，设其方程为yk（x2）（k0），联立，整理得ky28y16k0，所以6
20、4+64k20恒成立，所以，故y1y2为定值因为点N在准线l上，设点N为（2，m），则由kOAkON，可得又，所以因此BNx轴AM，易知，x1x2，|AM|BN，故四边形AMNB为梯形22已知椭圆的离心率为，且焦距为8（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求AOB面积的最大值解：（1）依题意可知，解得a2，b2，c4故C的方程为（2）依题意可设直线l的方程为，联立，整理得，则300m264（5m220）0，解得8m8设A（x1，y1），B（x2，y2），则，原点到直线l的距离，则AOB的面积，当且仅当m232，即时，AOB的面积有最大值，且最大值为2
