1、2015-2016学年江苏省南通市如东县高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1设集合A=x|1x2，B=x|0x4，则AB=_2某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有_名3如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=_4函数f（x）=ln（xx2）的单调递减区间为_5如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是_6若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则
2、每个盒子中球数不小于其编号的概率是_7设等差数列an的前n项和为Sn，若S36，S520，则a6的最大值为_8若，（0，），cos（）=，sin（）=，则cos（+）的值等于_9设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（nN+），则（）=_10已知直线l：x2y+m=0上存在点M满足与两点A（2，0），B（2，0）连线的斜率kMA与kMB之积为1，则实数m的取值范围是_11某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27cm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为_cm12已知等比数列an，首项a1=2，公
3、比q=3，ap+ap+1+ak=2178（kp，p，kN+），则p+k=_13设函数f（x）=，若函数y=f（x）2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是_14对任意实数x1，y，不等式p+恒成立，则实数p的最大值为_二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知函数f（x）=2cos2x+sin2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长16如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，ADC1D（1）求证：AD平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求
4、证：平面A1EB平面ADC117在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，且右准线方程为x=4（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由18如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角ACD=30，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，
5、公路MA每千米造价为30万元（1）设AMC=，求出造价y关于的函数关系式；（2）当BM长为多少米时才能使造价y最低？19已知a0，且a1，函数f（x）=ax1，g（x）=x2+xlna（1）若a1，证明函数h（x）=f（x）g（x）在区间（0，+）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）g（x）在区间1，1上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F（x）=g（x），当ae时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值20已知等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，且数列bn的前n项和为Sn（1）若a1=b1=d=2，S3a1006+5b22016，求整数q
6、的值；（2）若Sn+12Sn=2，试问数列bn中是否存在一点bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（pN，p2）项的和？请说明理由？（3）若b1=ar，b2=asar，b3=at（其中tsr，且（sr）是（tr）的约数），证明数列bn中每一项都是数列an中的项2015-2016学年江苏省南通市如东县高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1设集合A=x|1x2，B=x|0x4，则AB=x|0x2【考点】交集及其运算【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=x|1x2，B=x|0x4，AB=x|0x2，故答案为：x|0x22某校春
7、季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有108名【考点】分层抽样方法【分析】根据样本容量和女生比男生多4人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数【解答】解：样本容量为50，女生比男生多4人，样本中女生数为27人，又分层抽样的抽取比例为=，总体中女生数为274=108人故答案为：1083如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数，解得a，再利用复数
8、模的计算公式即可得出【解答】解：复数z=的实部与虚部互为相反数，+=0，解得a=0z=|z|=故答案为：4函数f（x）=ln（xx2）的单调递减区间为，1）【考点】复合函数的单调性【分析】令t=xx20，求得函数的定义域，f（x）=g（t）=lnt，本题即求函数函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论【解答】解：令t=xx20，求得0x1，可得函数的定义域为（0，1），f（x）=g（t）=lnt本题即求函数t在定义域内的减区间，函数t在定义域内的减区间为，1），故答案为：，1）5如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是4【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根
9、据流程图所示的顺序，循环可得结论【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：第一次循环，s=5，k=1，第二次循环，s=13，k=2，第三次循环，s=13，k=3，第四次循环，s=29，k=4，退出循环，输出k=4故答案为：46若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，先求出基本事件总数，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，求出有多少种放法，由此能求出每
10、个盒子中球数不小于其编号的概率【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，有=3种放法，每个盒子中球数不小于其编号的概率：p=故答案为：7设等差数列an的前n项和为Sn，若S36，S520，则a6的最大值为10【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列的前n项和公式得到，由此能求出a6的最大值【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，若S36，S520，a6=a1+5d=3（a1+d）+4（a1+2d）32+44=10，a6的最大值为10故答案为：108若，（
11、0，），cos（）=，sin（）=，则cos（+）的值等于【考点】两角和与差的正弦函数【分析】根据题意可得 =，=，由此求得+的值，可得cos（+）的值【解答】解：，（0，），cos（）=，sin（）=，=，=，= 或+=0（舍去）cos（+）=，故答案为：9设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（nN+），则（）=1【考点】平面向量数量积的运算【分析】化简=cos于是根据诱导公式可得+=+=+=+=0，所以（）=+=cos+cos=1【解答】解： =sinsin+coscos=cos（）=cos+=cos+cos=0，同理， +=0， +=0，+=0（）=+=cos+cos=1故答
12、案为110已知直线l：x2y+m=0上存在点M满足与两点A（2，0），B（2，0）连线的斜率kMA与kMB之积为1，则实数m的取值范围是2，2【考点】圆方程的综合应用【分析】设出M的坐标，由kMA与kMB之积为3得到M坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m的取值范围【解答】解：设M（x，y），由kMAkMB=3，得=1，即x2+y2=4联立，得5y24my+m24=0要使直线l：x2y+m=0上存在点M满足与两点A（2，0），B（2，0）连线的斜率kMA与kMB之积为1，则=（4m）220（m24）0，即m220解得m2，2实数m的取值范围是：2
13、，2故答案为：2，211某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27cm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3cm【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】设底面半径为r，高为h，则由题意得S=2rh+r2=，由此利用导数能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值【解答】解：设底面半径为r，高为h，则由题意得h=，S=2rh+r2=，S=，当0r3时，S0，当r3时，S0，故r=3时，取得极小值，也是最小值，制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3故答案为：312已知等比数列an，首项a1=2，公比q=3
14、，ap+ap+1+ak=2178（kp，p，kN+），则p+k=10【考点】数列的求和【分析】通过an=23n1可知ap+ap+1+ak=3p1（3kp+11），利用2178=32（351）比较即得结论【解答】解：依题意，an=23n1，则2178=ap+ap+1+ak=3p1（3kp+11），又2178=9=32（351），即，p+k=10，故答案为：1013设函数f（x）=，若函数y=f（x）2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是（，2（0，2ln21）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由y=f（x）2x+b=0得f（x）=2xb，作出函数f（x）和y=2xb的图象，利用数形结合进
15、行求解即可【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：，由y=f（x）2x+b=0得f（x）=2xb，当g（x）=2xb经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点，此时b=2，即b=2，当b2，即b2时，满足条件，当g（x）=2xb与f（x）=ex1相切时，由f（x）=ex=2得x=ln2，y=eln21=21=1，即切点坐标为（ln2，1），此时2ln2b=1，即b=2ln21，当直线g（x）=2xb经过原点时，b=0，要使两个函数有两个交点，则此时0b2ln21，综上0b2ln21或b2，故实数b的取值范围是（，2（0，2ln21），故答案为：（，2（0，2ln21）14对任意实数x1，y，不
16、等式p+恒成立，则实数p的最大值为8【考点】函数恒成立问题【分析】根据不等式p+恒成立，转化为求+的最小值即可，利用换元法，结合基本不等式进行求解即可【解答】解：设a=2y1，b=x1，x1，y，a0，b0，且x=b+1，y=（a+1），则+=+2=2=2（+）2（2+）=2（2+2）=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时，取等号p8，即p的最大值为8，故答案为：8二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知函数f（x）=2cos2x+sin2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，
17、求AB的长【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+）+1，利用周期公式可求f（x）的最小正周期T（2）由已知可得sin（2A+2B+）=，由A，B是ABC的内角，解得：A+B=或A+B=，结合A+B+C=，C为锐角，可得C=，由余弦定理即可求得AB的值【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+1+sin2x=2sin（2x+）+1，4分函数f（x）的最小正周期T=7分（2）f（A+B）=0，sin（2A+2B+）=，A，B是ABC的内角，2A+2B+=，或2A+2B+=，解得：A+B=或
18、A+B=，A+B+C=，C=，或C=，C为锐角，可得C=，AC=2，BC=3，由余弦定理可得：AB2=AC2+BC22ACBCcosC=12+92，即AB=14分16如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，ADC1D（1）求证：AD平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB平面ADC1【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定【分析】（1）由于正三棱柱中，CC1平面ABC，得到ADCC1又已知ADC1D，利用线面垂直的判断定理得到结论（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，推导出ODA1B，由点E是B1C1的中点，可得BDEC1，即B
19、EDC1，由BEA1B=B，DC1OD=D，即可证明平面A1EB平面ADC1【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1平面ABC，AD平面ABC，ADCC1 又ADC1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，AD平面BCC1B1 （2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，正三棱柱ABCA1B1C1中，点D在棱BC上，ADC1D平面C1AD平面B1BCC1，D是BC中点，O是A1C中点，ODA1B，点E是B1C1的中点，D是BC中点，BDEC1，四边形BDEC1 为平行四边形，BEDC1，BEA1B=B，DC1OD=D，且A1B，BE平面A1EB，DC1，OD
20、平面ADC1，平面A1EB平面ADC117在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，且右准线方程为x=4（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）由椭圆的离心率为，且右准线方程为x=4，列方程组解得a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，y2），求出直线PM的方程和
21、直线PN的方程，分别令y=0，得m和n，由此能推导出mn为定值【解答】解：（1）由题意，得，且，解得a=2，c=1，=，椭圆的标准方程为（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，y2），+=1，直线PM的方程为yy1=，直线PN的方程为yy1=（xx1），分别令y=0，得m=，n=，mn=4为定值，mn为定值418如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角ACD=30，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米造价为30万
22、元（1）设AMC=，求出造价y关于的函数关系式；（2）当BM长为多少米时才能使造价y最低？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）通过锐角三角函数的定义易知AC=2、MC=、AM=、BM=10，进而利用y=30（BM+2AM）化简即得结论；（2）通过令y=0可知cos=，结合及tan=可知=，通过求导判定函数的单调性，进而可得结论【解答】解：（1）在RtADC中，由AD=1、ACD=30可知AC=2，在RtACM中，MC=，AM=，则BM=10，设造价y的单位为千万元，则y=30（BM+2AM）=30（10+）=60（5+），（，其中tan=）；（2）y=60=60，令y=0，得cos=，又
23、，其中tan=，=，列表：cosy0+y最小值当=时y有最小值，此时BM=10答：当BM长为（10）米时才能使造价y最低19已知a0，且a1，函数f（x）=ax1，g（x）=x2+xlna（1）若a1，证明函数h（x）=f（x）g（x）在区间（0，+）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）g（x）在区间1，1上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F（x）=g（x），当ae时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数
24、的关系进行求解（3）求出函数F（x）的解析式，结合导数的几何意义进行求解【解答】解：（1）h（x）=f（x）g（x）=ax1+x2xlna，则h（x）=（ax1）lna+2x，a1，当x0时，ax10，lna0，h（x）0，即此时函数h（x）在区间（0，+）上是单调增函数（2）由（1）知，当a1时，函数h（x）在区间（0，+）上是单调增函数，则在区间（，0）上是单调减函数，同理当0a1时，h（x）在区间（0，+）上是单调增函数，则在区间（，0）上是单调减函数，即当a0，且a1时，h（x）在区间1，0）上是减函数，在区间（0，1）上是增函数，当1x1时，h（x）的最大值为h（1）和h（1）中的最
25、大值，h（1）h（1）=（alna）（+lna）=a2lna，令G（a）=a2lna，a0，则G（a）=1+=（1）20，G（a）=a2lna，在a0上为增函数，G（1）=112ln1=0，a1时，G（a）0，即h（1）h（1），最大值为h（1）=alna，当0a1时，G（a）0，即h（1）h（1），最大值为h（1）=+lna（3）F（x）的图象过原点，且F（x）=g（x）=x2+xlna，设F（x）=x3+x2lna+c，F（x）的图象过原点，F（0）=0，即c=0，则F（x）=x3+x2lna设切点为B（x0，x03+x02lna），则B处的切线方程为：y（x03+x02lna）=（x02
26、+x0lna）（xx0），将A的坐标代入得m（x03+x02lna）=（x02+x0lna）（1x0），即m=x03（1+lna）x02+x0lna （），则原命题等价为关于x0的方程（）至少有2个不同的解，设（x）=x3（1+lna）x2+xlna，则（x）=2x02（2+lna）x+lna=（x1）（2xlna），ae，1，当x（，1）和（，+）时，（x）0，此时函数（x）为增函数，当x（1，）时，（x）0，此时函数（x）为减函数，（x）的极大值为（1）=1lna+lna=lna，（x）的极大值为（lna）=ln3aln2a（1+lna）+ln2a=ln3a+ln2a，设t=lna，则t，
27、则原命题等价为对t恒成立，由mt得m，s（t）=t3+t2的最大值为s（4）=，由mt3+t2，得m，即m=，综上所述当ae时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，此时实数m的值为20已知等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，且数列bn的前n项和为Sn（1）若a1=b1=d=2，S3a1006+5b22016，求整数q的值；（2）若Sn+12Sn=2，试问数列bn中是否存在一点bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（pN，p2）项的和？请说明理由？（3）若b1=ar，b2=asar，b3=at（其中tsr，且（sr）是（tr）的约数），证明数列bn中每一项都是数列an中
28、的项【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和【分析】（1）若数列bn的前n项和为Sn，且a1=b1=d=2，S35b2+a88180，借助于通项公式得到q的值（2）在（1）的条件下，假设数列bn中存在一项bk，使得b，k恰好可以表示为该数列中连续P（PN，P2）项和，然后推理证明（3）若b1=ar，b2=asar，b3=at（其中tsr，且（sr）是（tr）的约数），要证明数列bn中每一项都是数列an中的项，只要分析通项公式的特点可以得到【解答】解：（1）由题意知an=2+（n1）2=2n，S3a1006+5b22016，b1+b2+b3a1006+5b22016，b14b2+b320122
29、016，q24q+30，解得1q3，又q为整数，q=2（2）由Sn+12Sn=2，得Sn2Sn1=2，n2，两式相减得bn+12bn=0，n2，等比数列bn的公比为q，q=2，又n=1时，S22S1=2，b1+b22b1=2，解得b1=2，数列bn中存在一点bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（pN，p2）项的和，即bk=bn+bn+1+bn+2+bn+p1，bkbn+p1，2k2n+p1，kn+p1，kn+p，（*）又=2n+p2n2n+p，kn+p，这与（*）式矛盾，假设不成立，故数列bn中不存在一点bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（pN，p2）项的和，证明：（3）b1=ar，b2=asar，b3=at（其中tsr，且（sr）是（tr）的约数），b2=b1q=arq=as=ar+（sr）d，d=，asar，b1b2，q1，又ar0，q=，tsr，且（sr）是（tr）的约数，q是正整数，且q2，对于bn中的任一项bi（这里只讨论i3的情形），有=）=，由于（sr）（1q+qi1）+1为正整数，bi一定是数列an中的项2016年9月16日
