1、 1/10 学科网（北京）股份有限公司专题 5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法 1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本 不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。2、转为三角函数求最值：化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。二、边化角与角化边的变换原则 2/10
2、 学科网（北京）股份有限公司在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有 a、b、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理 2022全国甲卷（理&文）T16 1已知 ABC中，点 D 在边 BC 上，120,2,2
3、ADBADCDBD=当 ACAB 取得最小值时，BD=2022新高考 1 卷2记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cossin21sin1cos2ABAB=+(1)若23C=，求 B；(2)求222abc+的最小值 2020浙江卷3在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2 sin30bAa=（I）求角 B 的大小；（II）求 cosA+cosB+cosC 的取值范围 3/10 学科网（北京）股份有限公司2019 年全国卷文理 T18 4 ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知 sinsin2ACabA+=（1）求 B；（2）若
4、 ABC为锐角三角形，且1c=，求 ABC面积的取值范围 2018北京卷5若 ABC的面积为2223()4acb+,且C 为钝角，则B=；ca 的取值范围是 .2018江苏卷6在 ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，120ABC=，ABC的平分线交 AC 于点 D，且1BD=，则 4ac+的最小值为 4/10 学科网（北京）股份有限公司题型一 由不等式求最值 角平分线相关 1（多选）在 ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，3ABC=，内角 B 的平分线交 AC 于点 D 且3BD=，则下列结论正确的是（）A 111ac+=Bb 的最小值是 2 C3ac+的
5、最小值是4 3 D ABC的面积最小值是3 2（2024 届 湖 南 衡 阳 市八 中 校 考）在，中选一个，补充在下面的横线中，并解答.在中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足_.(1)求 A；(2)若内角 A 的角平分线交 BC 于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）中线相关 3（2024 届湖北校联考）已知分别是的三个内角的对边，且.(1)求角；(2)若在边上且，求面积的最大值.()()bca bcabc+=sin3(cos)aCaCb=(2)coscos0bcAaC+=ABCD3AD=ABC,a b cABC,A B Ccos
6、3 sin0aCaCbc+=ADBC,2BDDC AD=ABC重点题型归类精讲 5/10 学科网（北京）股份有限公司浙江省百校联盟 2022-2023 学年高三上学期 11 月模拟4在 ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若()tantan2 tanbABcB+=，BC 边的中线长为 1（1）求角 A；（2）求边 a 的最小值 福建省厦门双十中学高三上学期期中5在 ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且2 sin3 cossinbAaBaB=+.（1）求角 B 的大小；（2）设点 D 是 AC 的中点，若3BD=，求ac+的取值范围.定角定高 6如图，在 A
7、BC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，AH=4，BAC=60，求ABC 面积的最小值.HCAB 6/10 学科网（北京）股份有限公司对式子变形后利用基本不等式求最值 7在中，角，的对边分别为，已知.(1)若，求的面积；(2)求的最小值，并求出此时的大小.湖南省益阳市 2022 届高三上学期 9 月调研8已知 ABC的角,A B C 对边分别为,a b c，3 cossin0aBbA=.(1)求B；(2)若2ac+=，求b 的取值范围.题型二 构造函数求范围 9在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且，求的取值范围 2024 届雅礼中学月考（二）10记锐角的内角
8、的对边分别为，已知(1)求证：；(2)若，求的最大值 ABCABCabc()2222sin0acBCacb+=6A=2a=ABC2224sin3sin2sinCAB+B32c=2abABC,A B C,a b csin()sin()coscosABACBC=BC=sin1aC=2211ab+7/10 学科网（北京）股份有限公司 2023 届河北省唐山市三模11记 ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知 A 为钝角，sincosaBbB=.(1)若6C=，求 A；(2)求coscoscosABC+的取值范围.12（2024 届 湖 南 长 郡 中 学 校 考）在 锐 角中，内
9、角的 对 边 分 别 为，已 知.(1)求；(2)若，求的取值范围.ABC,A B C,a b c()2sincoscos3A cBbCa+=A3a=223bcbc+8/10 学科网（北京）股份有限公司2023 届广东江门市一模13在锐角 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，且1tanB，1sinA，1tanC 依次组成等差数列.(1)求2abc 的值；(2)若bc，求222bca+的取值范围.2024 届常德市一中校考 14在中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若，请完成以下问题：(1)求角 B 的大小；(2)若为锐角三角形，求的取值范围 2024 届长沙一中月考（
10、一）15在锐角中，角的对边分别为，且满足.(1)求证：；(2)设的周长为，求的取值范围.ABC1cos2bCca+=ABC1c=22ab+ABC,A B C,a b c22baac=2BA=ABClla 9/10 学科网（北京）股份有限公司2024 届长沙一中月考（二）16的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，点 O 为的内心，记，的面积分别为，已知，.(1)在；中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.17在中，角，所对的边分别为，.(1)求角的大小；(2)若是锐
11、角三角形，且其面积为，求边 的取值范围.ABCABCOBCOACOAB1S2S3S22213132SSS SS+=2AB=coscos1aCcA+=4sin sincos21BAA+=12cos12cos0sinsinABAB+=ABCABCABCABCABCABCabcsinsintancoscosABCAB+=+CABC3c 10/10 学科网（北京）股份有限公司18（2024 届扬州中学校考）在锐角 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，3b=，sinsin2 3AaB+=，则 ABC周长的取值范围为 .2024 届河南省实验中学校考 19在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且.(1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.湖北省腾云联盟 2023-2024 学年高三上学期 10 月联考20在锐角 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，且 ABC的面积()1 cosSbcA=，则2abc 的取值范围为 A 4,5+B 4 16,5 15 C 4 32,5 35 D 32 16,35 15ABC,A B Cabc222sinsinsin1sinsinAACCB=AC2BC=BDABC4a=BD
