1、北京市第四十三中学2020届高一上学期期中考试数学试题（必修1模块过关测试）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义求出，再由补集的定义求解即可.【详解】因为，所以，又因为， ，故选C【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐
2、标系和图2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由定义域不对称可判断不合题意；可判断不合题意，由结合二次函数的性质可判断符合题意.【详解】对于，定义域为，不对称，不是偶函数，错误；对于，不是偶函数，错误；对于定义域为，不对称，不是偶函数，错误；对于，是偶函数，由二次函数的性质可得在上单调递减，正确，故选【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（
3、1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.3. 若，是任意非零实数，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由对数函数的性质可判断错误；由指数函数的单调性可判断正确、错误；由不等式的性质可判断错误.【详解】对于时，错误；对于在上单调递增，所以，正确；对于在上单调递减，故，错误；
4、对于时，错误，故选【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性以及不等式的性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.4. 函数的零点所在的一个区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断函数为单调递增函数，再利用零点存在定理判断即可得结果.【详解】因为，所以函数在上单调递增，因为，根据零点存在定理可得在上有零点，故选【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题. 应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.5. 已知函数，的图象如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由图象，得在上单调递增
5、，即，在上单调递增，且增加得越来越慢，即，则.故选A.【点睛】本题考查对数函数、幂函数的图象和性质.解决本题的难点是利用幂函数的图象判定幂指数与1的大小，若时，幂函数在上单调递增，要与常见函数、的图象对照确定.6. 函数是幂函数，且在上是减函数，则实数（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】幂函数f（x）=（m2-m-1）xm2-2m-3，m2-m-1=1，解得m=2，或m=-1；f（x）为减函数，当m=2时，m2-2m-3=-3，幂函数为y=x-3，满足题意；当m=-1时，m2-2m-3=0，幂函数为y=x0，不满足题意；综上，幂函数y=x-3所以m=2，故选A7. 为了得到函数的
6、图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）A. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度B. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度C. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度D. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度【答案】C【解析】试题分析：因为，所以得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点左平移3个单位再向下平移1个单位故C正确考点：1对数的运算;2图像平移视频8. 函数与 且在同一坐标系中的图象只可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】讨论、两种情况，根据指数函数与对数函数的单调性，结合选项，利用排除法可得结果.【详解】因为，当时，所以指数函数单调递减，对数
7、函数单调递增，四个选项都不合题意；当时，所以指数函数单调递增，对数函数单调递减，只有符合题意，故选【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象9. 设定义在上的函数是奇函数，且在为增函数，则不等式的解为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由在为增函数可得在为增函数，结合单调性分两种情况讨论，从而可得结果.【详解】在为增函数， 时，由，可得 时， 函数是奇函数，所以，且在为增函数，时，由，可
8、得 ，的解集是，故选【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.10. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储蓄温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时【答案】D【解析】【分析】将代入可得，利用指数的运算法则可得，从而可得结果
9、.【详解】因为该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，所以，则，即，即该食品在的保鲜时间是小时，故选【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及指数幂的运算，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上11. 若幂函数的图象过点，则_【答案】【解析】设 ,则 12. 函数的图象必过定点_【答案】【解析】【分析】根据过定点可得函数的图象必过定点.【详解】因为，所
10、以，当时，总有，必过点，故答案为【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.13. 函数的定义域是_【答案】【解析】【分析】由，解不等式组即可得结果.【详解】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域是，故答案为【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、对数不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式
11、求出.14. 已知，则，的大小关系是_（用“”连接）【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质可得，根据对数函数的性质可得，从而可得结果.【详解】在上单调递减，且，在上单调递增，在上单调递增，得，故答案为【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.15. 已知函数，若，则_【答案】或【解析】【分析】分两种情况，分别令，结合的范围，从而可得结果.【详解】因为，所以，当时，成立，若，则，或（舍去），或，故答
12、案为或【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.16. 函数满足下列性质：（）定义域为，值域为（）图象关于对称（）对任意，且，都有请写出函数的一个解析式_（只要写出一个即可）【答案】【解析】【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式.【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式，此时对称轴为，开口向上，满足（），因为对任意，且，都有，等价于在上单调减，满足（），又，满足（），故答案为【点睛】本题主要考查二次函数
13、的对称性、二次函数的单调性以及二次函数的值域，意在考查综合运用所学知识，灵活解答问题的能力，考查了转化与划归思想、数形结合思想的应用，属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；把答案填在答题卡相应位置上）17. 计算：（）（）【答案】（）；（）【解析】【分析】（）直接利用指数幂的运算法则求解即可，解答过程注意避免符号错误；（）直接利用对数的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误.【详解】（）（）【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则以及对数的运算法则，属于基础题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）
14、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）.18. 已知全集，集合，（）当时，求集合（）若，求实数的取值范围【答案】（）；（）【解析】试题分析：（1）利用数轴求；（2）利用数轴处理集合间的包含关系，得到，解得试题解析：由得，即 由得，解得或，即 （1）当时， （2），又，解得实数的取值范围是19. 已知函数（）求函数的零点（）求函数在区间上的最大值和最小值（）已知，求
15、满足不等式的的取值范围【答案】（）和；（），；（）【解析】【分析】（）令，解方程即可得结果；（），在上单调递减，在上单调递增结合函数图象，可得，；（），利用一元二次不等式的解法可得结果.【详解】（），的零点为和（），在上单调递减，在上单调递增，时，（），即，或【点睛】本题主要考查二次函数的零点、一元二次不等式的解法，二次函数的单调性与最值，属于中档题.解答与二次函数有关的问题时，一定要注意运用二次函数的性质，特别是：开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性，必须熟练掌握.20. 已知函数（）求函数的定义域，值域，并指出其奇偶性，并作出其大致图像（不描点）（）判断函数在的单调性，并证明你的结论（用定义
16、证明）【答案】（），偶函数；（）单调递减【解析】【分析】（）由，得定义域为，由，得值域为，由，是偶函数，结合函数性质可得图象；（2）设，由，可得在上单调减【详解】（），分母不为，定义域为，值域为，是偶函数（）单调递减，设，在上单调减【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.21. 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，（）
17、设函数，求集合和（）求证：（）设函数，且，求证：【答案】（），；（）证明见解析；（证明见解析【解析】【分析】（）由，解得，；由，解得，；（）若，则成立；若，设为中任意一个元素，则有，可得，故，从而可得结果；（）当时，的图象在轴的上方，可得对于，恒成立，则当时，的图象在轴的下方，可得对于任意，恒成立，则【详解】（）由，得，解得，由，得，解得，（）若，则成立，若，设为中任意一个元素，则有，故，（）由，得方程无实数解，当时，的图象在轴的上方，所以任意，恒成立，即对于任意，恒成立，对于，则有成立，对于，恒成立，则当时，的图象在轴的下方，所以任意，恒成立，即对于，恒成立，对于实数，则有成立，所以对于任意
18、，恒成立，则，综上知，对于，当时，【点睛】本题主要考查集合的性质以及二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用，考查了分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.22. 已知函数（）求的定义域（）讨论的奇偶性（）求使的的取值范围【答案】（；（）奇函数；（）【解析】【分析】（）由，即，得，从而可得结果；（），从而可得结论；，即使，结合，解不等式即可得结果.【详解】（），即，得，定义域为（），是奇函数（），即使，又，即，得【点睛】本题主要考查函数的定义域、单调性以及对数函数的性质，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数） .
