1、图形的相似(29 题)一、单选题1(2023重庆统考中考真题)如图，已知 ABC EDC，AC:EC=2:3，若 AB 的长度为 6，则 DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出【详解】解：ABC EDC，AC:EC=AB:DE，AC:EC=2:3，AB=6，2:3=6:DE，DE=9，故选：B.【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023四川遂宁统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形在如图所示的平面直角坐标系中，格点 ABC、DEF 成位似关系，则位似中心的坐
2、标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线 AD 的解析式为：y=x+1，由位似图形的性质得出 AD 所在直线与 BE 所在直线 x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解【详解】解：由图得：A 1,2,D 3,4，设直线 AD 的解析式为：y=kx+b，将点代入得：2=k+b4=3k+b，解得：k=1b=1，直线 AD 的解析式为：y=x+1，1AD 所在直线与 BE 所在直线 x 轴的交点坐标即为位似中心，当 y=0 时，x=-1，位似中心的坐标为-1,0，故选：A【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解
3、题关键3(2023浙江嘉兴统考中考真题)如图，在直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别为 A 1,2,B 2,1,C 3,2，现以原点 O 为位似中心，在第一象限内作与 ABC 的位似比为 2 的位似图形 ABC，则顶点 C的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得【详解】解：ABC 的位似比为 2 的位似图形是 ABC，且 C 3,2，C 2 3,2 2，即 C 6,4，故选：C【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键4(2023四川南充统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置
4、一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端已知小菲的眼睛离地面高度为 1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为 2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出 ACB=ECD，再利用垂直求 ABC EDC，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，2 由图可知，AB BD，CD DE，CF BD ABC=CDE=90.根据镜面的反射性质，ACF=ECF，90-ACF=90-ECF，ACB=ECD，ABC EDC，ABDE=BCCD.小
5、菲的眼睛离地面高度为 1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为 2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，AB=1.6m，BC=2m，CD=10m.1.6DE=210.DE=8m.故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023安徽统考中考真题)如图，点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，EF AB 于点 F，连接DE 并延长，交边 BC 于点 M，交边 AB 的延长线于点 G若 AF=2，FB=1，则 MG=()A.2 3B.3 52C.5+1D.10【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例得出 DEEM=AFFB=2
6、，根据 ADE CME，得出 ADCM=DEEM=2，则CM=12 AD=32，进而可得 MB=32，根据 BC AD，得出 GMB GDA，根据相似三角形的性质得出 BG=3，进而在 RtBGM 中，勾股定理即可求解【详解】解：四边形 ABCD 是正方形，AF=2，FB=1，AD=BC=AB=AF+FG=2+1=3，AD CB，AD AB,CB AB，EF AB，AD EF BC3 DEEM=AFFB=2，ADE CME，ADCM=DEEM=2，则 CM=12 AD=32，MB=3-CM=32，BC AD，GMB GDA，BGAG=MBDA=323=12 BG=AB=3，在 RtBGM 中，
7、MG=MB2+BG2=322+32=3 52，故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键6(2023湖北黄冈统考中考真题)如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 BC，BD 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 12 EF 长为半径画弧交于点 P，作射线BP，过点 C 作 BP 的垂线分别交 BD,AD 于点 M，N，则 CN 的长为()A.10B.11C.2 3D.4【答案】A【分析】由作图可知 BP 平分 CBD，设 BP 与 CN 交于点 O，与 C
8、D 交于点 R，作 RQ BD 于点 Q，根据角平分线的性质可知 RQ=RC，进而证明 RtBCR RtBQR，推出 BC=BQ=4，设 RQ=RC=x，则 DR=CD-CR=3-x，解 RtDQR 求出 QR=CR=43 利用三角形面积法求出 OC，再证 OCR DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出 CN【详解】解：如图，设 BP 与 CN 交于点 O，与 CD 交于点 R，作 RQ BD 于点 Q，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，4 CD=AB=3，BD=BC2+CD2=5由作图过程可知，BP 平分 CBD，四边形 ABCD 是矩形，CD BC，又 RQ BD，RQ=RC，在
9、 RtBCR 和 RtBQR 中，RQ=RCBR=BR，RtBCR RtBQR HL，BC=BQ=4，QD=BD-BQ=5-4=1，设 RQ=RC=x，则 DR=CD-CR=3-x，在 RtDQR 中，由勾股定理得 DR2=DQ2+RQ2，即 3-x2=12+x2，解得 x=43，CR=43 BR=BC2+CR2=4310 SBCR=12 CR BC=12 BR OC，OC=CR BCBR=43 44310=2510 COR=CDN=90，OCR=DCN，OCR DCN，OCDC=CRCN，即25103=43CN，解得 CN=10故选：A【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线
10、的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出 BP 平分 CBD，通过勾股定理解直角三角形求出 CR7(2023四川内江统考中考真题)如图，在 ABC 中，点 D、E 为边 AB 的三等分点，点 F、G 在边 BC上，AC DG EF，点 H 为 AF 与 DG 的交点若 AC=12，则 DH 的长为()5A.1B.32C.2D.3【答案】C【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出 BE=DE=AD，BF=GF=CG，AH=HF，DH 是AEF 的中位线，易证 BEF BAC，得 EFAC=BEAB，解得 EF
11、=4，则 DH=12 EF=2【详解】解：D、E 为边 AB 的三等分点，EF DG AC，BE=DE=AD，BF=GF=CG，AH=HF，AB=3BE，DH 是 AEF 的中位线，DH=12 EF，EF AC，BEF=BAC,BFE=BCA,BEF BAC，EFAC=BEAB，即 EF12=BE3BE，解得：EF=4，DH=12 EF=12 4=2，故选：C【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键8(2023湖北鄂州统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA=OB=3 5，点 C
12、为平面内一动点，BC=32，连接 AC，点 M 是线段 AC 上的一点，且满足 CM:MA=1:2当线段 OM 取最大值时，点 M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255【答案】D【分析】由题意可得点 C 在以点 B 为圆心，32 为半径的 OB 上，在 x 轴的负半轴上取点 D-3 52，0，连接 BD，分别过 C、M 作 CF OA，ME OA，垂足为 F、E，先证 OAM DAC，得 OMCD=OAAD=23，从而当 CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当 D，B，C 三点共线，且点 B 在线段 DC 上时，CD 取得最大值，然后分
13、别证 BDO CDF，AEM AFC，利用相似三角形的性质即可求解6【详解】解：点 C 为平面内一动点，BC=32，点 C 在以点 B 为圆心，32 为半径的 OB 上，在 x 轴的负半轴上取点 D-3 52，0，连接 BD，分别过 C、M 作 CF OA，ME OA，垂足为 F、E，OA=OB=3 5，AD=OD+OA=9 52，OAAD=23，CM:MA=1:2，OAAD=23=CMAC，OAM=DAC，OAM DAC，OMCD=OAAD=23，当 CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当 D，B，C 三点共线，且点 B 在线段 DC 上时，CD 取得最大值，OA=OB=3 5
14、，OD=3 52，BD=OB2+OD2=3 52+3 522=152，CD=BC+BD=9，OMCD=23，OM=6，y 轴 x 轴，CF OA，DOB=DFC=90，BDO=CDF，BDO CDF，OBCF=BDCD 即 3 5CF=1529，解得 CF=18 55，同理可得，AEM AFC，7 MECF=AMAC=23 即 ME18 55=23，解得 ME=12 55，OE=OM 2-ME 2=62-12 552=6 55，当线段 OM 取最大值时，点 M 的坐标是6 55，12 55，故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似
15、三角形的判定及性质是解题的关键9(2023山东东营统考中考真题)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别在边 DC，BC 上，且BF=CE，AE 平分 CAD，连接 DF，分别交 AE，AC 于点 G，M，P 是线段 AG 上的一个动点，过点 P作 PN AC 垂足为 N，连接 PM，有下列四个结论：AE 垂直平分 DM；PM+PN 的最小值为 3 2；CF 2=GE AE；SADM=6 2其中正确的是()A.B.C.D.【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明 DAE=FDC，通过等量转化即可求证 AG DM，利用角平分线的性质和公共边即可证明 ADG AMG A
16、SA，从而推出的结论；利用中的部分结果可证明 ADE DGE 推出 DE 2=GE AE，通过等量代换可推出的结论；利用中的部分结果和勾股定理推出 AM 和 CM 长度，最后通过面积法即可求证的结论不对；结合中的结论和的结论可求出 PM+PN 的最小值，从而证明不对.【详解】解：ABCD 为正方形，BC=CD=AD，ADE=DCF=90，BF=CE，DE=FC，ADE DCF SAS.DAE=FDC,ADE=90,ADG+FDC=90，ADG+DAE=90，AGD=AGM=90.AE 平分 CAD，DAG=MAG.AG=AG，8 ADG AMG ASA.DG=GM，AGD=AGM=90，AE
17、垂直平分 DM，故正确.由可知，ADE=DGE=90，DAE=GDE，ADE DGE，DEGE=AEDE，DE 2=GE AE，由可知 DE=CF，CF 2=GE AE.故正确.ABCD 为正方形，且边长为 4，AB=BC=AD=4，在 RtABC 中，AC=2AB=4 2.由可知，ADG AMG ASA，AM=AD=4，CM=AC-AM=4 2-4.由图可知，DMC 和 ADM 等高，设高为 h，SADM=SADC-SDMC，4 h2=4 42-4 2-4 h2，h=2 2，SADM=12 AM h=12 4 2 2=4 2.故不正确.由可知，ADG AMG ASA，DG=GM，M 关于线段
18、 AG 的对称点为 D，过点 D 作 DN AC，交 AC 于 N，交 AE 于 P，PM+PN 最小即为 DN，如图所示，由可知 ADM 的高 h=2 2 即为图中的 DN，DN=2 2.故不正确.综上所述，正确的是.故选：D.【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023内蒙古赤峰统考中考真题)如图，把一个边长为 5 的菱形 ABCD 沿着直线 DE 折叠，使点C 与 AB 延长线上的点 Q 重合 DE 交 BC 于点 F，交 AB 延长线于点 E DQ 交 BC 于点 P，D
19、M AB于点 M，AM=4，则下列结论，DQ=EQ，BQ=3，BP=158，BD FQ正确的是()9 A.B.C.D.【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得 QDF=CDF=QEF，根据等角对等边即可判断正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出 MQ=AM=4，再求出 BQ 即可判断正确；由 CDP BQP 得CPBP=CDBQ=53，求出 BP 即可判断正确；根据 EFDE QEBE 即可判断错误【详解】由折叠性质可知：CDF=QDF,CD=DQ=5，CD AB，CDF=QEF QDF=QEF DQ=EQ=5故正确；DQ=CD=AD=5，DM AB，MQ=AM=4 MB=AB-AM=5
20、-4=1，BQ=MQ-MB=4-1=3故正确；CD AB，CDP BQP CPBP=CDBQ=53 CP+BP=BC=5，BP=38 BC=158 故正确；CD AB，CDF BEF DFEF=CDBE=CDBQ+QE=53+5=58 EFDE=813 QEBE=58，EFDE QEBE EFQ 与 EDB 不相似 EQF EBD BD 与 FQ 不平行故错误；故选：A10【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键11(2023黑龙江统考中考真题)如图，在正方形 ABCD
21、中，点 E,F 分别是 AB,BC 上的动点，且 AF DE，垂足为 G，将 ABF 沿 AF 翻折，得到 AMF,AM 交 DE 于点 P，对角线 BD 交 AF 于点 H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：AF=DE；BM DE；若 CM FM，则四边形 BHMF 是菱形；当点 E 运动到 AB 的中点，tanBHF=2 2；EP DH=2AG BH()A.B.C.D.【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答【详解】解：四边形 ABCD 是正方形，DAE=ABF=90，DA=AB，AF DE，BAF+AED=90，BAF+AFB=90，AED=BFA，
22、ABF AED AAS，AF=DE，故正确，将 ABF 沿 AF 翻折，得到 AMF，BM AF，AF DE，BM DE，故正确，当 CM FM 时，CMF=90，AMF=ABF=90，AMF+CMF=180，即 A,M,C 在同一直线上，MCF=45，MFC=90-MCF=45，通过翻折的性质可得 HBF=HMF=45，BF=MF，HMF=MFC，HBC=MFC，BC MH,HB MF，四边形 BHMF 是平行四边形，BF=MF，平行四边形 BHMF 是菱形，故正确，当点 E 运动到 AB 的中点，如图，设正方形 ABCD 的边长为 2a，则 AE=BF=a，11在 RtAED 中，DE=A
23、D2+AE 2=5a=AF，AHD=FHB,ADH=FBH=45，AHD FHB，FHAH=BFAD=a2a=12，AH=23 AF=2 53a，AGE=ABF=90，AGF ABF，AEAF=EGBF=AGAB=a5a=55，EG=55 BF=55 a，AG=55 AB=2 55a，DG=ED-EG=4 55a，GH=AH-AG=4 515 a，BHF=DHA，在 RtDGH 中，tanBHF=tanDHA=DGGH=3，故错误，AHD FHB，BHDH=12，BH=13 BD=13 2 2a=2 23a，DH=23 BD=23 2 2a=4 23a，AF EP，根据翻折的性质可得 EP=2
24、EG=2 55a，EP DH=2 55a 4 23a=8 1015a2，2AG BH=2 2 55a 2 23a=8 1015a2，EP DH=2AG BH=8 1015a2，故正确；综上分析可知，正确的是故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键二、填空题12(2023湖北鄂州统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，ABC 与 A1B1C1位似，原点 O 是位似中心，且 ABA1B1=3若 A 9,3，则 A1点的坐标是12 【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段
25、的长【详解】解 设 A1 m,n ABC 与 A1B1C1位似，原点 O 是位似中心，且 ABA1B1=3若 A 9,3，位似比为 31，9m=31，3n=31，解得 m=3，n=1，A1 3,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键13(2023吉林长春统考中考真题)如图，ABC 和 ABC 是以点 O 为位似中心的位似图形，点 A在线段 OA 上若 OA:AA=1:2，则 ABC 和 ABC 的周长之比为 【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案【详解】解：OA:AA=1:2，OA:OA=1:3，设 ABC 周长为 l1，设 ABC 周长为
26、l2，ABC 和 ABC 是以点 O 为位似中心的位似图形，l1l2=OAOA=13 l1:l2=1:3 ABC 和 ABC 的周长之比为 1:3故答案为：1:3【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质14(2023四川乐山统考中考真题)如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是线段 AB 上一点，连结 AC、13DE 交于点 F若 AEEB=23，则 SADFSAEF=【答案】52【分析】四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB=CD,AB CD，可证明 EAF DCF，得到 DFEF=CDAE=ABAE，由 AEEB=23 进一步即可得到答案【详解】解：四边形 A
27、BCD 是平行四边形，AB=CD,AB CD，AEF=CDF,EAF=DCF，EAF DCF，DFEF=CDAE=ABAE,AEEB=23，ABAE=52，SADFSAEF=DFEF=ABAE=52 故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明 EAF DCF 是解题的关键15(2023江西统考中考真题)周髀算经中记载了“偃矩以望高”的方法“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的 ABC)“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点 A，B，Q 在同一水平线上，ABC 和 AQP 均为直角，AP 与 BC 相交于点 D测得 AB=40
28、cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高 PQ=m 【答案】6【分析】根据题意可得 ABD AQP，然后相似三角形的性质，即可求解【详解】解：ABC 和 AQP 均为直角 BD PQ，ABD AQP，14 BDPQ=ABAQ AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，PQ=AQ BDAB=12 2040=6m,故答案为：6【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键16(2023四川成都统考中考真题)如图，在 ABC 中，D 是边 AB 上一点，按以下步骤作图：以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 M，N；以点 D 为圆心，以 A
29、M 长为半径作弧，交DB 于点 M；以点 M 为圆心，以 MN 长为半径作弧，在 BAC 内部交前面的弧于点 N：过点 N 作射线 DN 交 BC 于点 E若 BDE 与四边形 ACED 的面积比为 4:21，则 BECE 的值为 【答案】23【分析】根据作图可得 BDE=A，然后得出 DE AC，可证明 BDE BAC，进而根据相似三角形的性质即可求解【详解】解：根据作图可得 BDE=A，DE AC，BDE BAC，BDE 与四边形 ACED 的面积比为 4:21，SBDCSBAC=421+4=BEBC2 BEBC=25 BECE=23，故答案为：23【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相
30、似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键17(2023内蒙古统考中考真题)如图，在 RtABC 中，ACB=90,AC=3,BC=1，将 ABC 绕点A 逆时针方向旋转 90，得到 ABC连接 BB，交 AC 于点 D，则 ADDC 的值为15 【答案】5【分析】过点 D 作 DF AB 于点 F，利用勾股定理求得 AB=10，根据旋转的性质可证 ABB、DFB是等腰直角三角形，可得 DF=BF，再由 SADB=12 BC AD=12 DF AB，得 AD=10DF，证明AFD ACB，可得 DFBC=AFAC，即 AF=3DF，再由 AF=10-DF，求得
31、DF=104，从而求得 AD=52，CD=12，即可求解【详解】解：过点 D 作 DF AB 于点 F，ACB=90，AC=3，BC=1，AB=32+12=10，将 ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 90 得到 ABC，AB=AB=10，BAB=90，ABB 是等腰直角三角形，ABB=45，又 DF AB，FDB=45，DFB 是等腰直角三角形，DF=BF，SADB=12 BC AD=12 DF AB，即 AD=10DF，C=AFD=90，CAB=FAD，AFD ACB，DFBC=AFAC，即 AF=3DF，又 AF=10-DF，DF=104，AD=10 104=52，CD=3-52=12，A
32、DCD=5212=5，故答案为：5【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键18(2023河南统考中考真题)矩形 ABCD 中，M 为对角线 BD 的中点，点 N 在边 AD 上，且 AN=AB=1当以点 D，M，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为【答案】2 或2+116【分析】分两种情况：当 MND=90 时和当 NMD=90 时，分别进行讨论求解即可【详解】解：当 MND=90 时，四边形 ABCD 矩形，A=90，则 MN AB，由平行线分线段成比例可得：ANND=BMMD，又 M 为对角线 BD 的
33、中点，BM=MD，ANND=BMMD=1，即：ND=AN=1，AD=AN+ND=2，当 NMD=90 时，M 为对角线 BD 的中点，NMD=90 MN 为 BD 的垂直平分线，BN=ND，四边形 ABCD 矩形，AN=AB=1 A=90，则 BN=AB2+AN 2=2，BN=ND=2 AD=AN+ND=2+1，综上，AD 的长为 2 或2+1，故答案为：2 或2+1【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键19(2023辽宁大连统考中考真题)如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，延长 BC 至 E，使 CE=2，连接 AE
34、，CF 平分 DCE 交 AE 于 F，连接 DF，则 DF 的长为17【答案】3 104【分析】如图，过 F 作 FM BE 于 M，FN CD 于 N，由 CF 平分 DCE，可知 FCM=FCN=45，可得四边形 CMFN 是正方形，FM AB，设 FM=CM=NF=CN=a，则 ME=2-a，证明 EFM EAB，则 FMAB=MEBE，即 a3=2-a3+2，解得 a=34，DN=CD-CN=94，由勾股定理得 DF=DN 2+NF 2，计算求解即可【详解】解：如图，过 F 作 FM BE 于 M，FN CD 于 N，则四边形 CMFN 是矩形，FM AB，CF 平分 DCE，FCM
35、=FCN=45，CM=FM，四边形 CMFN 是正方形，设 FM=CM=NF=CN=a，则 ME=2-a，FM AB，EFM EAB，FMAB=MEBE，即 a3=2-a3+2，解得 a=34，DN=CD-CN=94，由勾股定理得 DF=DN 2+NF 2=3 104，故答案为：3 104【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用20(2023广东统考中考真题)边长分别为 10，6，4 的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为18 【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进
36、行求解【详解】解：如图，由题意可知 AD=DC=10,CG=CE=GF=6,CEF=EFG=90，GH=4，CH=10=AD，D=DCH=90,AJD=HJC，ADJ HCJ AAS，CJ=DJ=5，EJ=1，GI CJ，HGI HCJ，GICJ=GHCH=25，GI=2，FI=4，S梯形 EJIF=12 EJ+FI EF=15；故答案为：15【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键21(2023天津统考中考真题)如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 的外侧，作等腰三角形 ADE，EA=ED=52 (1)ADE 的面积
37、为；(2)若 F 为 BE 的中点，连接 AF 并延长，与 CD 相交于点 G，则 AG 的长为【答案】3；13【分析】(1)过点 E 作 EH AD，根据正方形和等腰三角形的性质，得到 AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到 ADE 的面积；(2)延长 EH 交 AG 于点 K，利用正方形和平行线的性质，证明 ABF KEF ASA，得到 EK 的长，进而得到 KH 的长，再证明 AHK ADG，得到 KHGD=AHAD，进而求出 GD 的长，最后利用勾股定理，即19可求出 AG 的长【详解】解：(1)过点 E 作 EH AD，正方形 ABCD 的边长为 3，AD=3，ADE
38、是等腰三角形，EA=ED=52，EH AD，AH=DH=12 AD=32，在 RtAHE 中，EH=AE 2-AH 2=522-322=2，SADE=12 AD EH=12 3 2=3,故答案为：3；(2)延长 EH 交 AG 于点 K，正方形 ABCD 的边长为 3，BAD=ADC=90，AB=3，AB AD，CD AD，EK AD，AB EK CD，ABF=KEF，F 为 BE 的中点，BF=EF，在 ABF 和 KEF 中，ABF=KEFBF=EFAFB=KFE，ABF KEF ASA，EK=AB=3，由(1)可知，AH=12 AD，EH=2，KH=1，KH CD，AHK ADG，KHG
39、D=AHAD，GD=2，在 RtADG 中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键22(2023四川泸州统考中考真题)如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AB 的三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当 PE+PF 取得最小值时，APPC 的值是20 【答案】27【分析】作点 F 关于 AC 的对称点 F，连接 EF 交 AC 于点 P，此时 PE+PF 取得最小值，过点 F 作 AD 的垂线段，交 AC 于点 K，根
40、据题意可知点 F 落在 AD 上，设正方形的边长为 a，求得 AK 的边长，证明AEP KFP，可得 KPAP=2，即可解答【详解】解：作点 F 关于 AC 的对称点 F，连接 EF 交 AC 于点 P，过点 F 作 AD 的垂线段，交 AC 于点 K，由题意得：此时 F 落在 AD 上，且根据对称的性质，当 P 点与 P 重合时 PE+PF 取得最小值，设正方形 ABCD 的边长为 a，则 AF=AF=23 a，四边形 ABCD 是正方形，FAK=45，PAE=45，AC=2a FK AF，FAK=FKA=45，AK=2 23a，FPK=EPA，EKP EAP，FKAE=KPAP=2，AP=
41、13 AK=292a，CP=AC-AP=792a，APCP=27，当 PE+PF 取得最小值时，APPC 的值是为 27，故答案为：27【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键2123(2023山西统考中考真题)如图，在四边形 ABCD 中，BCD=90，对角线 AC,BD 相交于点 O若 AB=AC=5,BC=6,ADB=2CBD，则 AD 的长为 【答案】973【分析】过点 A 作 AH BC 于点 H，延长 AD，BC 交于点 E，根据等腰三角形性质得出 BH=HC=12 BC=3，根据勾股定理求出 AH=AC2-
42、CH 2=4，证明 CBD=CED，得出 DB=DE，根据等腰三角形性质得出 CE=BC=6，证明 CD AH，得出 CDAH=CEHE，求出 CD=83，根据勾股定理求出 DE=CE 2+CD2=62+832=2 973，根据 CD AH，得出 DEAD=CECH，即2 973AD=63，求出结果即可【详解】解：过点 A 作 AH BC 于点 H，延长 AD，BC 交于点 E，如图所示：则 AHC=AHB=90，AB=AC=5,BC=6，BH=HC=12 BC=3，AH=AC2-CH 2=4，ADB=CBD+CED，ADB=2CBD，CBD=CED，DB=DE，BCD=90，DC BE，CE
43、=BC=6，EH=CE+CH=9，DC BE，AH BC，CD AH，ECDEHA，CDAH=CEHE，即 CD4=69，解得：CD=83，DE=CE 2+CD2=62+832=2 973，CD AH，DEAD=CECH，即2 973AD=63，22解得：AD=973故答案为：973【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质三、解答题24(2023湖南统考中考真题)在 RtABC 中，BAC=90，AD 是斜边 BC 上的高 (
44、1)证明：ABD CBA；(2)若 AB=6，BC=10，求 BD 的长【答案】(1)见解析(2)BD=185【分析】(1)根据三角形高的定义得出 ADB=90，根据等角的余角相等，得出 BAD=C，结合公共角B=B，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解【详解】(1)证明：BAC=90，AD 是斜边 BC 上的高 ADB=90，B+C=90 B+BAD=90，BAD=C又 B=B ABD CBA，(2)ABD CBA ABCB=BDAB，又 AB=6，BC=10 BD=AB2CB=3610=185【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定
45、是解题的关键25(2023湖南统考中考真题)如图，CA AD,ED AD，点 B 是线段 AD 上的一点，且 CB BE已知 AB=8,AC=6,DE=4 23(1)证明：ABC DEB(2)求线段 BD 的长【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出 A=D=90,C+ABC=90，ABC+EBD=90，则 C=EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解【详解】(1)证明：AC AD,ED AD，A=D=90,C+ABC=90，CE BE，ABC+EBD=90，C=EBD，ABC DEB；(2)ABC DEB，ABDE=ACB
46、D，AB=8,AC=6,DE=4，84=6BD，解得：BD=3【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键26(2023四川眉山统考中考真题)如图，ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F (1)求证：AF=AB；(2)点 G 是线段 AF 上一点，满足 FCG=FCD，CG 交 AD 于点 H，若 AG=2,FG=6，求 GH 的长【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得 AB CD，AB=CD，证明 AEF DEC ASA，推出 AF=CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证
47、明 GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到 DC=AB=AF=8，最后证明AGH DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答【详解】(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AB CD，AB=CD，EAF=D，E 是 AD 的中点，AE=DE，24 AEF=CED，AEF DEC ASA，AF=CD，AF=AB；(2)解：四边形 ABCD 是平行四边形，DC=AB=AF=FG+GA=8，DC FA，DCF=F，DCG=CGB，FCG=FCD，F=FCG，GC=GF=6，DHC=AHG，AGH DCH，GHCH=AGDC，设 HG=x,则 CH=CG-GH=6-x，可得方程x6-x=28，解
48、得 x=65，即 GH 的长为 65【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键27(2023四川凉山统考中考真题)如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，CAB=ACB，过点 B 作 BE AB 交 AC 于点 E (1)求证：AC BD；(2)若 AB=10，AC=16，求 OE 的长【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证 AB=CB，从而可证四边形 ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求 OB=6，再证 EBO BAO，可得 EOBO=BOAO，即可求解【详解】(1)证明：C
49、AB=ACB，AB=CB，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD 是菱形，AC BD(2)解：四边形 ABCD 是平行四边形，25 OA=12 AC=8，AC BD，BE AB，AOB=BOE=ABE=90，OB=AB2-OB2=102-82=6，EBO+BEO=90，ABO+EBO=90，BEO=ABO，EBO BAO，EOBO=BOAO，EO6=68解得：OE=92【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键28(2023江苏扬州统考中考真题)如图，点 E、F、G、H 分别是 ABCD 各边的中点，连
50、接 AF、CE相交于点 M，连接 AG、CH 相交于点 N (1)求证：四边形 AMCN 是平行四边形；(2)若 AMCN 的面积为 4，求 ABCD 的面积【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形 AECG，四边形 AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM CN,AN CM，即可得证；(2)连接 HG,AC,EF，推出 SANHSANC=HNCN=12，SFMCSAMC=12，进而得到 SANH+SFMC=12 SANC+SAMC=12 SAMCN=2，求出 SAFCH=SANH+SFMC+SAMCN=2+4=6，再根据 SABCD=2
51、SAFCH，即可得解【详解】(1)证明：ABCD，AB CD,AD BC,AB=CD,AD=BC，点 E、F、G、H 分别是 ABCD 各边的中点，AE=12 AB=12 CD=CG,AE CG，四边形 AECG 为平行四边形，同理可得：四边形 AFCH 为平行四边形，AM CN,AN CM，四边形 AMCN 是平行四边形；26(2)解：连接 HG,AC,EF，H,G 为 AD,CD 的中点，HG AC,HG=12 AC，HNG CNA，HNCN=HGAC=12，SANHSANC=HNCN=12，同理可得：SFMCSAMC=12 SANH+SFMC=12 SANC+SAMC=12 SAMCN=
52、2，SAFCH=SANH+SFMC+SAMCN=2+4=6，AH=12 AD，SABCD=2SAFCH=12【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键29(2023上海统考中考真题)如图，在梯形 ABCD 中 AD BC，点 F，E 分别在线段 BC，AC 上，且FAC=ADE，AC=AD (1)求证：DE=AF(2)若 ABC=CDE，求证：AF 2=BF CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得 DAE=ACF，再根据三角形的全等的判定可得 DAE ACF，
53、然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得 AFC=DEA，从而可得 AFB=CED，再根据相似三角形的判定可得 ABF CDE，然后根据相似三角形的性质即可得证【详解】(1)证明：AD BC，DAE=ACF，27在 DAE 和 ACF 中，DAE=ACFAD=CAADE=CAF，DAE ACF ASA，DE=AF(2)证明：DAE ACF，AFC=DEA，180-AFC=180-DEA，即 AFB=CED，在 ABF 和 CDE 中，AFB=CEDABF=CDE，ABF CDE，AFCE=BFDE，由(1)已证：DE=AF，AFCE=BFAF，AF 2=BF CE【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键28
