1、天津市第一中学2021届高三数学下学期第四次月考试题本试卷分为第卷（选择题）、第卷（非选择题）两部分，共150分，试用时120分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效祝各位考生考试顺利！一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集，集合，则等于（ ）A B C D2设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3函数的图象大致为（ ）A BC D4对一批产品进行了抽样检测，测量其净重（单位：克），将所得数据分为5组：，并整理得到如下频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中产品净重落
2、在区间内的个数为（ ）A90 B75 C60 D455已知函数，且，则、的大小关系为（ ）A B C D6球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）A B C D7已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）A B C D8已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论，其中所有正确结论的序号是（ ）函数是奇函数 的图象关于直线对称在上是增函数 当时，函数的值域是A B C D9已知函数对，总有，使成立，则的
3、范围是（ ）A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10已知，是虚数单位，若，则的值为_11的展开式的常数项为_12设直线与圆相交于，两点，若，则_13甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，则一次游戏摸出的白球不少于2个的概率为_14已知，且，则的最小值为_15平行四边形中，为上的动点，则的最小值为_三、解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文说明、证明过程或演算步骤16的内角，所对的边分别为，已知（）求；（）若，且的面积为，求及17如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中
4、点，且，（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）如果是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值18椭圆的离心率，（）求椭圆的方程；（），分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为证明：为定值19设是各项均为正数的等差数列，是和的等比中项，的前项和为，（）求和的通项公式；（）设，数列的前项和为，使为整数的称为 “优数”，求区间上所有“优数”之和（）求20已知（）求在处的切线方程以及的单调区间；（）对，有恒成立，求的最大整数解；（）令，若两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：参考答案1B 2A 3D 4A 5D 6C
5、7D 8C 9B102 1115 12 13 14 1516【解】（）因为，所以由正弦定理可得，即，而，所以，故（）由（）知，则，又的面积为，则，由余弦定理得，解得17证明：（）连结在中，又底面，平面（）如图建立空间直角坐标系，则，是棱的中点，所以，设为平面的法向，即，令，则，平面的法向量因为平面，是平面的一个法向量二面角为锐二面角，二面角的大小为（）因为是在棱上一点，所以设，设直线与平面所成角为，平面的法向量，解得，即，18解析：（1）因为，所以，代入得，故椭圆的方程为（2）证明：因为，不为椭圆顶点，则直线的方程为，把代入，解得直线的方程为与联立解得由，三点共线知，得所以的斜率为，则（定值）19【详解】（）解：设等差数列的公差为，因为，是和的等比中项，所以，即，解得，因为是各项均为正数的等差数列，所以，故，因为，所以，两式相减得：，当时，是以2为首项，2为公比的等比数列，（）2036（）两式相减得：，20【详解】解：（1）所以定义域为；所以切线方程为；，令解得令解得所以的单调递减区间为，单调递增区间为（2）等价于；，记，所以为上的递增函数，且，所以，使得即，所以在上递减，在上递增，且；所以的最大整数解为3（3），得，当，；所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，即；因为，令，由，即：，而要证，只需证，即证：即：，只需证：，令，则令，则故在上递增，；故在上递增，；
